高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)實(shí)踐探索

張志剛

【摘 要】在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)活動當(dāng)中，涉及到數(shù)形結(jié)合的思想方法有很多，而直線與圓的位置關(guān)系是一個很好的案例。本文對高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)案例進(jìn)行了全面分析，并且對教學(xué)活動進(jìn)行了總結(jié)及反思。希望通過本文可以為相關(guān)工作提供一些參考。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;教學(xué)實(shí)踐;直線與圓位置關(guān)系

1高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)案例分析

就當(dāng)前的高中教材而言，很多內(nèi)容都涉及到了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)方法，直線和圓的位置關(guān)系這一內(nèi)容是一個很好的案例。在教學(xué)活動實(shí)際進(jìn)行中，筆者通過這樣的方式對該節(jié)內(nèi)容進(jìn)行有效引入：大家都在初中學(xué)習(xí)過直線與圓的相切、相交以及相離三種位置關(guān)系。當(dāng)時是通過公共點(diǎn)個數(shù)以及直線到圓的距離兩個角度對該問題進(jìn)行學(xué)習(xí)。將直線和圓的位置關(guān)系化為基于r大小以及交點(diǎn)個數(shù)的問題。這節(jié)課程將從解析幾何的角度對直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行深入研究?？纯锤咧须A段會給這種問題搭建怎樣的溝通橋梁。

在課程實(shí)際進(jìn)行中，首先讓學(xué)生對位置關(guān)系進(jìn)行有效判斷，并且引導(dǎo)其從熟悉的幾何角度入手，利用簡單直觀的圖形隊(duì)圓和直線位置之間的距離進(jìn)行有效判斷。接下來利用剛剛學(xué)習(xí)的方程思想對問題進(jìn)行全面分析，把方程解的個數(shù)作為解決問題的切入點(diǎn)，這一方式負(fù)責(zé)符合學(xué)生的思維發(fā)展過程。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中很容易對該節(jié)課程內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)想，并且利用形解決的問題轉(zhuǎn)化為利用數(shù)進(jìn)行解決，從而達(dá)到第1個思維跳躍。教師引導(dǎo)學(xué)生對切線方程進(jìn)行求解，對弦長進(jìn)行求解。這樣可以將塑形圖形與數(shù)量關(guān)系密切結(jié)合起來，讓學(xué)生思維產(chǎn)生二次鏈接。利用同一思維模式解決不同問題情景，從而讓學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生更加深入的思考。最后在課堂當(dāng)中為學(xué)生引入一些實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生利用這種思想對這些實(shí)際問題進(jìn)行有效的求解活動，將文字性的問題通過學(xué)生的思維加工，最終達(dá)到應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式解決問題，讓學(xué)生思維產(chǎn)生第三次鏈接。具體的教學(xué)過程如下所示：

首先，教師為了將學(xué)生引入本次課程，應(yīng)當(dāng)為學(xué)生利用多媒體播放了直線與圓之間的位置關(guān)系。

教師：第1種方法通過數(shù)形結(jié)合的有效應(yīng)用，將直線與圓位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系。通過d和r之間的大小判斷直線和圓之間的位置關(guān)系，從幾何的角度對問題進(jìn)行有效分析。最終從數(shù)量關(guān)系去對問題進(jìn)行有效解決，然后把求解的數(shù)量關(guān)系翻譯為幾何問題。這種思想方法叫做幾何法解題。通過對課本前幾章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，同學(xué)們認(rèn)為如何才能更加有效的求解其中的d和r呢？

學(xué)生則結(jié)合已有知識對該該問題進(jìn)行解答。

教師：很好，該名同學(xué)的思路非常清晰，接下來看另一種解題思路。利用圓與直線交點(diǎn)的個數(shù)對其位置關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確判斷，有心的同學(xué)可能已經(jīng)猜到老師接下來要問什么問題了。

學(xué)生：發(fā)表意見討論高中方法如何對圓與直線之間的位置關(guān)系進(jìn)行判斷，并且說出這種方法叫什么如何去轉(zhuǎn)化。

教師：回答教師，將兩個方程聯(lián)立變成一個一元二次方程對位置關(guān)系進(jìn)行有效判斷。因?yàn)橐辉畏匠逃袔讉€問題解的問題可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為根的判別式問題，因此位置關(guān)系問題和根的判別式就產(chǎn)生了直接聯(lián)系。

教師與同學(xué)們在課堂上非常活躍，能勇敢發(fā)表自己的看法。下面對本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行一個小節(jié)并且為學(xué)生出示小結(jié)提綱。

例1：已知直線1：3x+y-6=0和圓心為c的圓對直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷。如果相交得出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)

變式訓(xùn)練1：已知圓的方程是，直線y=x+b。

求解：

當(dāng)b為何值時，圓與直線相切

當(dāng)b為何值時，圓與直線相離

引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行思考、求解以及展示。教師則根據(jù)學(xué)生的活動進(jìn)行有效點(diǎn)評：這幾個同學(xué)在求解的過程當(dāng)中非常認(rèn)真，而且最終解答的敘述完整，思路清晰，相信這些同學(xué)的良好習(xí)慣將會在今后高考時取得一個好成績。

2鞏固新知，形成技能

教師這種求解思路在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解時有著很好的效果，接下來我們利用這種求解思路來研究圓的切線方程以及相交弦長問題，大家一起看圖。

你認(rèn)為對于這類問題應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行有效求解？

學(xué)生則發(fā)表自己對這類問題如何求解發(fā)表自己的看法。

教師則稱贊學(xué)生：分析的非常到位，請同學(xué)們根據(jù)這種思路在活頁紙上對例2、例3進(jìn)行求解。

在學(xué)生練習(xí)的過程當(dāng)中，教師對這個課堂進(jìn)行巡視，對個別學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)。

例2 直線3x+y-6=0和圓心為o的圓，相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長度

教師：剛才大家對這一問題進(jìn)行解答的過程當(dāng)中，老師在下面收集到了幾個同學(xué)的檢查過程，假如你是閱卷老師你會給這些同學(xué)判多少分。

然后教師利用實(shí)物投影投出學(xué)生的檢查過程，并且在班級內(nèi)部進(jìn)行評比活動。

學(xué)生對這些解答過程進(jìn)行觀看并且發(fā)表自己的看法。

教師：剛才同學(xué)們積極的發(fā)表了自己的看法，解答過程中有問題的同學(xué)及時改正，沒有的同學(xué)繼續(xù)努力。接下來大家分析變式2中的問題。

然后教師再次進(jìn)行巡視學(xué)生，個別輔導(dǎo)

變式訓(xùn)練2：已知過一點(diǎn)M（-3，-3）的直線1被圓所截得的弦長為，求解直線1的方程。

3教學(xué)總結(jié)及反思

在本節(jié)課堂實(shí)際進(jìn)行的過程當(dāng)中，為了加深學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的理解程度筆者在學(xué)生對知識的了解基礎(chǔ)上通過螺旋上升的教學(xué)方式讓學(xué)生能夠在教師的指導(dǎo)下對問題進(jìn)行愈加深入的學(xué)習(xí)。筆者認(rèn)為，要想有效保障教學(xué)質(zhì)量，教師應(yīng)當(dāng)在對課堂內(nèi)容進(jìn)行全面了解的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)好教學(xué)環(huán)節(jié)，防止碎片化教學(xué)。要進(jìn)行整單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)以及問題串的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師要對數(shù)學(xué)進(jìn)行全面了解。要理解各個學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對學(xué)習(xí)教學(xué)以及技術(shù)進(jìn)行充分了解。為此教師需要有豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識，合理解讀教材，有效保障教學(xué)質(zhì)量。通過這節(jié)課程的有效學(xué)習(xí)，讓學(xué)生們逐步學(xué)會了對知識的遷移以及轉(zhuǎn)化，并且對數(shù)形結(jié)合有了進(jìn)一步深入的了解。

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（作者單位：山西省運(yùn)城市萬榮中學(xué)）