淺談正方形中的旋轉變換

桂俊林

摘 要：圖形的旋轉是初中幾何圖形變換的基本內容之一，通過旋轉改變位置后重新組合，然后作為全等變換，需要在新舊圖形之間找到其中的變量和不變量，從而在新圖形中分析出有關圖形間的關系，進而揭示條件與結論間的內在聯系，找到解題途徑.

關鍵詞：正方形 旋轉變換 應用

圖形的平移、旋轉和翻折是幾何變換中的三種基本變換.所謂幾何變換就是根據確定的法則，對給定的圖形（或其中一部分）施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關圖形之間的關系.本文就正方形的旋轉舉例分析：

例1.將五個邊長都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點AAAA分別是四個正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和為（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

解析：連接AP、AN，點A是正方形的對角線的交點，則AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得△PAF≌△NAE，進而可得四邊形AENF的面積等于△NAP的面積，而△NAP的面積是正方形的面積的四分之一，又知正方形的面積為4，∴四邊形AENF的面積為1cm，四塊陰影面積的和為4cm.故選B.

點評：本題考查旋轉的性質.旋轉變化前后，對應點到旋轉中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉中心連線所構成的旋轉角相等. 要注意旋轉的三要素：定點-旋轉中心;旋轉方向;旋轉角度.

例2.如圖，正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞D逆時針旋轉90°得到△DCM.

求證：（l）EF=FM .（2）當AE=1時，求EF的長.

解析：（1）容易證得△DAE與△DCM全等，

所以∠ADE=∠MDC，DE=DM .且∠EDF=45°所以，∠ADE+∠CDF=45°，∠CDM+∠CDF=∠EDF=45°，再證得 △EDF全等于△MDF，所以EF=FM .

（2）因為正方形ABCD的邊長為3，且AE=1，所以EB=2，在直角三角形EBF中，設BF=x，則EF=FM=FC+CM=（3-x）+1=4-x，利用勾股定理得2+x=（4-x）求出BF=1.5，所以EF=2.5 .

例3.如圖，點P為正方形ABCD內一點，且PA=1，PB=2，PC=3，試求∠APB的度數.

解析：將△ABP繞點B順時針方向旋轉90°得△BQC并連接PQ，則△BQC≌△BPA，∠APB=∠BQC，而∠BQC=∠BQP+∠PQC，然后根據旋轉的性質得到△BQP為等腰直角三角形，從而得到∠BQP=45°，再根據勾股定理的逆定理證明∠PQC=90°，從而求出∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=135°.

點評：本題重點考查了旋轉的性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理逆定理的應用等知識，應當明確旋轉前后圖形的對應關系，清楚旋轉前后兩個圖形全等，即對應邊、對應角相等.

例4.如圖，正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，且BE=BC，連接CE，將△CDE繞點C逆時針旋轉90°，得到△CBF.連接EF，交BC于點G，H為EF的中點，連接CH，則下列說法：①△CDE≌△EBG;②BC平分∠HCF;③S=S;④FG=GH;⑤在不添加其他線段的條件下，圖中有8個等腰三角形，其中正確的說法是（）

A.①②③ B.①②④ C.①②⑤ D.①③⑤

解析：根據旋轉的性質可得∠BCF=∠DCE，△CEF是等腰直角三角形，然后求出∠EBG=∠CDE=45°，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠BCE=∠BEC=67.5°，然后求出∠BEG=∠DCE=22.5°，利用“角邊角”證明△CDE和△EBG全等，判定①正確;再求出∠GCH=22.5°，從而得到∠GCH=∠BCF，判定②正確;連接BH，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BH=EF，CH=EF，CH是△CGF的邊GF的高，BH不是△BGF的邊GF的高，所以，兩個三角形的面積不相等，判定③錯誤;△CFH中CH≠CF，所以角平分線CG不平分FH，判定④錯誤;根據正方形的性質找出等腰直角三角形有：△ABD，△BCD，△CEF，△CEH，△CFH;根據角度找出等腰三角形有△BCE，△CEG，△BFG.所以判定⑤正確.綜上所述，說法正確的有①②⑤.故正確答案是C.

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的判定，旋轉的性質，等腰三角形的判定.

例5.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點M.下列結論：①AE=CG，②AE⊥CG，③DM∥GE，④OM=OD，⑤∠DME=45°.正確結論的個數為（）

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

解析：根據正方形的性質可得AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，然后求出∠ADE=∠CDG，再利用“邊角邊”證明△ADE和△CDG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CG，判定①正確;根據全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，再求出∠MEG+∠MGE=∠DEG+∠DGE=90°，然后求出∠EMG=90°，判定②正確;根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OM=GE=OD，判定④正確;根據OM=OD=OG=OE判斷點D、E、G、M四點共圓，再根據同弧所對的圓周角相等可得∠DME=∠DGE=45°，判定⑤正確;根據∠DME=45°，又知∠GEM﹤∠GED=45°可得∠DME≠∠GEM，判定DM∥GE錯誤.綜上所述，正確的有①②④⑤共4個.故選C.

點評本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，以及四點共圓，熟練掌握各性質是解題的關鍵.

例6.如圖，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE.我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：

（1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系;說明理由.

（2）將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度α，得到如圖2.如圖3情形.請你通過觀察、測量等方法判斷（1）中得到的結論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷.

解析：在三個圖形中，根據正方形的旋轉都可以得到△CDE≌△CBG，所以三個圖形中都存在BG=DE，直線BG⊥DE.

點評：線段BG和線段DE的長度相等，這個可以通過證明△CDE≌△CBG，由全等三角形對應邊相等得到，這兩條線段所在的直線互相垂直，只需要證明90°角即可.

例7.已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG.

（1）求證：EG=CG;EG⊥CG.

（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG.問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由.

解析：（1）根據直角三角形斜邊中線的性質，在Rt△DEF和Rt△DCF中，G是斜邊DF的中點，由此可知EG=DF，CG=DF，所以EG=CG.再根據三角形外角定理可得∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠GDC，

∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=2（∠EDG+∠GDC）=90°，∴EG⊥GC.

（2）作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N交CD于H，證明△GNE≌△GMC.

∴GE=GC，∠NGE=∠MGC，∴∠EGC=∠NGM=90°，∴EG⊥GC.

點評：本題考查全等三角形的判定和性質、正方形的性質、矩形的判定和性質等知識，添加輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵.

總之：旋轉是幾何變換中的基本變換之一，它一般先對給定的圖形或其中一部分，通過旋轉，改變位置后重新組合，然后在新的圖形中分析有關圖形之間的關系，進而揭示條件與結論之間的內在聯系，從而找到解決問題的途徑.