機器人柔性變形誤差模型建模

付 婷， 魏端麗

（1.長江職業學院機電汽車學院，武漢430074；2.武漢工程大學材料科學與工程學院，武漢430070）

0 引 言

誤差模型建模是完成參數辨識的重要步驟。由于所要辨識的參數之間在對整機誤差的影響過程中存在互相耦合的現象，除了需要分別建立機器人運動學參數辨識模型、關節柔性參數模型以及連桿柔性參數模型外，還需要建立三者的耦合誤差模型。通過耦合誤差模型的推導和簡化，分解出各參數在耦合誤差模型中的誤差傳遞矩陣，從而有針對性地進行參數辨識和補償。

本文以傳統機器人為研究對象，進行以下工作：①機器人運動學參數辨識模型的建模［1］。針對工業機器人的特點，結合DH 模型和Hayati 模型完成機器人辨識模型的建模。②機器人關節柔性模型建模。將機器人各關節等效為線性扭簧并考慮關節傳動過程中由于重力方向改變而引發的關節回差，建立關節的柔性模型。③機器人連桿柔性模型建模。將機器人連桿視為Euler-Bernoulli梁，根據線彈性梁的理論計算連桿在受力作用下的變形，完成連桿的柔性模型建模。④運動學參數與柔性參數的耦合誤差模型建模［2-3］。將連桿柔性模型、關節柔性模型與機器人的DH 參數模型相結合，建立機器人整機的誤差傳遞模型［4-5］。

1 機器人運動學參數誤差模型建模

1.1 運動學傳遞矩陣

機器人實到位姿pr可由三維測量設備（如激光跟蹤儀、視覺測量儀）測量得到，而指令位姿pt則是由機器人的運動學模型計算而來的［6］。若將機器人視為一個由n組剛體鉸接而成的多剛體系統，則機器人可由多剛體之間的位姿轉換坐標系的連乘表示。如圖1所示，相鄰剛體i和i ＋1 通過關節Oi聯接，各剛體固聯對應的坐標系，則機器人末端連桿的位姿矩陣可通過下式得到：

式中：Ti為連桿i 的坐標系Oi相對于連桿i -1 的坐標系Oi-1之間的位姿轉換矩陣。

圖1 機器人關節聯接示意圖

由于串聯關節型機器人各連桿之間的轉動關節約束，剛體位姿轉換坐標系可由4 個獨立參數表示，一種比較常用的位姿轉換方法是由Denavit等在1955 年提出的DH法，其連桿之間的傳遞關系矩陣如圖2 所示，表示為

圖2 坐標系轉換示意圖

關節坐標系Oi和Oi-1的轉換Ti基于4 個參數αi-1，ai-1，θi，di，其中關節轉角位移θi是變量。Ti可看作4 個子變換的乘積：①繞Xi-1軸轉動αi-1；②沿Xi-1移動ai-1；③繞Zi軸轉動θi；④沿Zi軸移動di。

以SR210B機器人為研究對象進行機器人運動學誤差建模，該機器人由6 個關節串聯而成，前3 關節用于確定機器人的位置；后3 關節用于確定機器人的姿態［7-9］。除第2 和第3 關節之外，其他相鄰關節均為垂直的關系。機器人各關節坐標系O1～O6的建立如圖3 所示。

圖3 SR210B機器人關節坐標系建立示意圖

Hayati發現DH模型在描述相鄰的處于平行或接近平行的連桿時，微小的軸偏置可能會造成DH 模型參數的大幅變化，這種DH 參數不連續的行為將導致標定過程的不穩定現象，并針對這一問題提出Hayati模型（見式（3）與圖4），但當相鄰連桿兩軸處于垂直或接近垂直狀態時，該模型也具有奇異性。

圖4 Hayati模型示意圖

在對運機器人進行建模時，針對機器人第2 和第3 關節軸相互平行，其他相鄰各軸間互相垂直的現象，在第3 關節選用Hayati 模型，用繞y 軸的轉動的角β代替原來的d，其他關節選用DH 模型，這兩種模型均為4 參數模型，建模后待辨識的參數可保證均為組成機器人辨識模型的獨立參數。

機器人末端測量對象的位姿可表示相對于機器人基坐標系的齊次變換矩陣

式中：矢量n0、o0、a0分別表示測量對象在機器人基坐標系O1中的方向余弦矢量，三者之間相互正交，且各自的模為1；矢量p0表示為測量對象在基坐標系中的位置矢量。

將Ti-1i簡寫為Ti，則機器人末端法蘭坐標系與其基坐標系之間的變換矩陣可表示為：

1.2 參數誤差模型建模

實際使用三維非接觸測量設備，如激光跟蹤儀進行機器人位姿測量時，存在跟蹤儀測量坐標系Tm、機器人基坐標系T0以及機器人測量點工具坐標系T7，如圖5 所示。

圖5 機器人三維測量坐標系建立示意圖

因此，在誤差矩陣建模中還應考慮機器人基坐標系T0與測量坐標系Tm之間的轉換關系Tm0以及末端測量工具坐標系T7與末端關節坐標系T6之間的轉換矩陣T67，如圖5 所示。顯然三者之間具有以下轉換關系：

式中：Tm7為機器人測量對象在激光跟蹤儀測量坐標系中的位姿矩陣表示，可通過直接測量得到，而Tm0可通過間接的方法獲取。為避免參數辨識時出現辨識雅克比矩陣的奇異現象，使用激光跟蹤儀對機器人進行精度測試時，盡量將靶球安裝偏離六軸轉動軸線的位置（圖6），相應地T67表示為

圖6 靶球在機器人六軸法蘭安裝示意圖

Tm0可通過“Circle-Point”間接測量方法得到，方法是在機器人關節i運動時，鎖定其他關節，使機器人關節i作圓弧運動，測得m（m≥3）個呈空間圓弧分布的數據點。再通過對m個點的最小二乘擬合，獲取空間圓及通過該空間圓點并與該空間圓法向量平行的軸線，該軸線即為轉動關節i 的旋轉軸線（見圖7）。步驟如下：①通過“Circle-Point”法分別獲取1 軸和2 軸的軸線（在使用圓點法獲取2 軸軸線的過程中，務必將1 軸鎖定在零位值）；②計算1、2 軸軸線之間的公垂線；③以公垂線和1 軸軸線之間的交點作為基坐標系的原點，分別以1 軸軸線和公垂線作為基坐標系的Z軸和X 軸，使用右手定則獲取基坐標系的Y 軸，建立機器人的基坐標系。

圖7 機器人坐標系測量示意圖

機器人運動學參數存在誤差Δφ，表達形式為：

式中：

由于Δφ 的存在，機器人將產生位姿誤差ΔT07，其線性化形式表達為Δpg，則有：

式中：J ＝［JαJaJθJdJβ］為誤差傳遞的雅克比矩陣。可用矢量積的方法獲得Ji（i ＝1，2，…，6）中各參數，形式為：

2 機器人關節柔性變形誤差模型建模

若忽略由機器人臂／桿引起的彈性變形，工業機器人各關節軸可視為扭簧，一種典型的串聯關節型機器人彈性關節示意圖如圖8 所示。

圖8 機器人等效關節彈性模型

由于機器人連桿自重及負載的影響，機器人在處于靜態時關節i（i ＝1，2，…，6）將產生彈性變形。考慮關節回差的存在，加入關節回差后，得到實際的關節角位移如下：

式中：Miz為關節轉動方向的力矩；λi為比例系數；ki為機器人關節i的關節剛度；（sign）為符號函數，因回差與關節力矩的方向有關。

3 機器人連桿柔性變形誤差模型建模

3.1 機器人變形分析

由于機器人手臂的長度一般遠大于其截面尺寸，可將手臂等效為Euler-Bernoulli 梁，忽略剪切及旋轉對梁橫向變形的影響，只考慮彎曲和扭轉效應［10-11］。假設彈性變形相對于連桿長度很小，彈性變形量與所受力或力矩之間遵循胡克定律。設機器人連桿i 在末端受到合力Wi的作用下產生變形Δpfi，則兩者的關系為：

式中：fi為機器人連桿i的柔度矩陣；Wi為6 ×1 的力／力矩矢量；Δpfi為6 ×1 的位姿變形矢量，兩者分別表示如下：

圖9 給出了連桿i 在Wi作用下的變形示意圖。坐標系Oi和Oi＋1分別建立在連桿i 的首、末關節軸上，且坐標系Oi與連桿i的DH模型建模中的關節坐標系重合。連桿i 的末端Oi＋1在Wi的作用下產生變形至Oi＋1。

圖9 機器人連桿受力柔性變形示意圖

3.2 機器人連桿受力柔性變形

結合圖9，將Wi中各分量對桿i的撓度和轉角的影響計算如下：如圖10 所示，正視于坐標系Oi的X -Y面，連桿i受力矩Miz和力Fiy的共同作用，產生沿Y方向的撓度dfiy和繞Z軸方向的轉角δfiz。

圖10 機器人連桿X-Y面受力柔性變形示意圖

力矩Miz作用下連桿末端Y方向的撓度：

力Fiy作用下連桿末端Y方向的撓度：

在力矩Miz作用下連桿末端繞Z方向的轉角，

力Fiy作用下連桿末端繞Z方向的轉角，

X-Y面撓度dfiy和轉角δfiz分別為：

式中：Iiz為梁i相對于Z 軸的截面慣性矩；E 為材料的彈性模量；Keiz定義為位移線性柔性系數（N-1·m-2），Keiz＝1／（EeiIeiz）。

如圖11 所示，正視于坐標系Oi的X-Z軸面，連桿i受力矩Miy和力Fiz的共同作用，產生沿Z方向的撓度dfiz和繞Y軸方向的轉角δfiy。

圖11 機器人連桿X-Z面受力柔性變形示意圖

力矩Miy作用下連桿末端Z方向的撓度：

力Fiz作用下連桿末端Z方向的撓度：

力矩Miy作用下連桿末端繞Y方向的轉角：

力Fiz作用下連桿末端繞Y方向的轉角：

式中：Iiy為梁i 相對于Y 軸的截面慣性矩；Keiy定義為位移線性柔性系數（N-1·m-2）：Keiy＝1／（EeiIeiy）。同樣地，正視于坐標系Oi的Y-Z軸面，力矩Mix作用下連桿繞X方向產生扭轉變形，扭轉角為：

式中：Keiz定義為角線性柔性系數（rad·N-1·m-2）；Keiz＝1／（GiJi）。

Gi為連桿i的剪切模量，Ji梁i的截面極慣性矩。

綜上，連桿i的柔度矩陣fi應為：

機器人連桿i的末端相對于關節首端的坐標系Oi的位姿變化Δpf可計算得到。連桿i的末端變形后的坐標系為O′i＋1與變形前的坐標系Oi＋1之間可通過空間位姿變換矩陣表示為：

式中：c為cos；s 為sin；Ei＋1i＋1表示連桿i 末端的位姿變換關系，假設連桿彈性變形很小，將Ei＋1i＋1簡寫為Ei，則Ei可表示為以下形式：

4 運動學參數與柔性參數的耦合誤差模型建模

由于工業機器人關節之間是串聯的，必然會造成運動學參數和柔性參數之間的互相耦合，因此，有必要建立兩者之間的耦合誤差模型［12-13］，反映機器人的運動學模型和關節柔性模型之間的耦合關系，等效后的全柔性模型如圖12 所示。

圖12 機器人柔性模型示意圖

圖13 給出了在DH 模型建模方法的基礎上加入關節和連桿柔性變形后的坐標系變化。連桿i的末端坐標系Oi＋1在Wi的作用下分別由于關節柔性和連桿柔性轉換至坐標系O′i＋1。

圖13 運動學參數與柔性參數的耦合誤差模型建模

從圖中可以看出，Ei與Ti之間存在一個沿Xi軸的平移，即坐標系O′i＋1與Oi-1之間的轉換關系，可以表示如下：

則對于SR210B玻璃基板機器人，不考慮末端執行器的柔性變T67，考慮關節和連桿柔性后的末端位姿傳遞矩陣應為：

分別令：

考慮連桿柔性變形后機器人整體誤差的傳遞模型為：

將Ei拆分為誤差部分Eri和非誤差部分I兩部分，如下式所示：

式中：I為4 ×4 的單位矩陣。

將式（38）代入式（37），展開并忽略二階及以上項，得到：

結合式（36），可將式（39）表示為：

式中：

式（41）給出了機器人末端連桿變形ET與各連桿彈性變形Ei之間的線性關系。由連桿柔性造成的位姿誤差Δpf可從式（41）中取誤差變化矩陣ET分離出的線性位移和歐拉角中得到，如下式所示：

由實測的機器人幾何參數及關節柔性參數造成的誤差

又因為關節柔性誤差

式中：Jθ是的J列分量，表示關節轉角誤差的傳遞雅克比矩陣。已知Δpf和Δpe，則由機器人的運動學參數Δφ引起的位姿誤差Δpg可表示為

上式顯示，在進行機器人運動學參數辨識時，由機器人柔性變形造成的位姿誤差將對辨識過程產生一定程度的干擾，干擾的大小與機器人的關節剛度和連桿的柔度有關［14-15］。對于研究的玻璃基板機器人而言，由于機器人自身和負載的特點，柔性變形誤差的引入相對較大，在運動學參數辨識中不可忽略。

5 結 語

本文分別建立了機器人運動學參數辨識模型、關節柔性參數辨識模型以及連桿柔性參數辨識模型，并在此基礎上推導出運動學參數與柔性參數的耦合誤差模型。推導結果顯示，對于研究的機器人，在進行運動學參數辨識時有必要考慮機器人柔性變形的影響，已有的有關運動學參數辨識的研究均沒有考慮到這一特點。

本文針對機器人零位參數模型提出一種快速零位標定算法，同時闡述了計算零位的方法和原理。依靠其相應的零位模型能夠較為精確地標定機器人的零位參數，分別對軸銷和快速零位標定設備標定出的零位結果進行分析與比較。實驗結果表明，快速零位標定算法不僅考慮了傳統工業機器人零位模型，同時具備軸銷標定的標定效果，具有更好的誤差模型。下一步將研究傳統工業零位模型是否對運動學參數標定的效果也具有一定的提升作用進行研究。