網收斂在刻畫拓撲空間中重要概念的作用分析

田俊英

(長治學院 沁縣師范分院，山西 長治 046400)

0 引言

眾所周知，拓撲學中點列的收斂在描述度量空間許多重要的概念有不可或缺的作用。反映這些作用的方法在第一可數空間中得到了推廣和實現，例如聚點、閉包、開集、連續等都可以以序列收斂為出發點來刻畫。但是在非第一可數空間的背景下，一般的拓撲空間中，不能像上述一樣通過序列收斂的性質來刻畫聚點，也就沒法用序列收斂來刻畫閉包、連續等重要概念。在這里，序列收斂的作用就不充分了，就需要將序列收斂進行推廣。網是序列概念的一般化，自然地想到嘗試用網收斂來實現各種刻畫。本文旨在挖掘網收斂對于刻畫拓撲空間基本概念的作用，進而為實現網收斂和拓撲的等價地位打好基礎。

1 預備知識

定義1[1]設X是一個集合,F是X的一列子集，若F滿足如下條件：

(1)X,?∈F；

(2)若A,B∈F,則A∩B∈F;

(3)若F1?F,則∪A∈F1A∈F,

則稱偶對(X,F)是一個拓撲空間，F是集合X的一個拓撲。

定義2[1]有序集(D,≤)稱為定向集(directed set),當且僅當對于任意α,β∈D,有γ∈D使α≤γ,β≤γ。

定義3[1]定向集(D,≤)的子集A是共尾的(cofinal),當且僅當對于任意的α∈D,有α1∈A使α≤α1。

定義4[1]定向集(D,≤)的子集A是等終的(eventially),當且僅當有α0∈D,若α≥α0，α∈D時,α∈A。

引理1[2]定向集的等終子集是共尾子集。

引理2[2]A是定向集(D,≤)的共尾子集,即A是D的子有序集，則A也是定向集。

引理3[2]設定向集D=A1∪A2,若A1不是等終的,則A2是共尾的。若A1不是共尾的,則A2是等終的。特別地,A1,A2中至少有一個是共尾的。

由于序列收斂只有在拓撲空間中滿足第一可數性公理時才有完整作用,條件比較苛刻。網收斂是序列收斂的推廣形式,故在一般拓撲中引進了如下網的概念。

定義5[2]設Y為集合,(D,≤)為定向集,以α∈D為下標的Y的點Sα的全體{Sα:α∈D}，稱為(Y的)網(net),簡記作{Sα:α∈D,≤}或S。

設X是拓撲空間,X的網{Sα:α∈D,≤}收斂于X中的點x0,等價于對于任意U?A(x0),存在α0∈D，當α≥α0,有Sα∈U，即S(D(α0))?U。

網的概念是序列概念的一般化。特別地,當D=N(N為自然數集)時,網就是通常的序列。

網{Sα:α∈D,≤}終于A,當且僅當有α0∈D，當α≥α0,α∈D時,有Sα∈A。

網{Sα:α∈D,≤}經常在A中,當且僅當對于D中的每個α,有β∈D,使β≥α,Sβ∈A。

若拓撲空間X中有網{Sα:α∈D,≤},對于任意的α∈D,有Sα=x,稱Sα為X中的常值網。

定義6[1]設X是一個拓撲空間,A?X,U是點x的任意一個鄰域，存在x0∈U,且x0≠x,即U∩(A-{x}≠?),則稱點x是集合A的聚點(也稱為極限點)。將A的全部聚點組成的集合稱為A的導集,記作d(A)或limA。

定義7[1]設X是一個拓撲空間,A?X,若x∈d(A)，有x∈A,即d(A)?A,則稱A是拓撲空間X中的閉集。

定義9[1]設X是一個拓撲空間,A?X，如果A是點x∈A的一鄰域,即存在開集V使得x∈V?A,則稱點x是A的內點。集合A的全部內點組成的集合稱為集合A的內部，記作Ao。

定義10[1]設X是一個拓撲空間,A?X,U?X,如果A?Uo,則稱集合U是集合A的一個鄰域。集合A的全部鄰域組成的集合稱為A的鄰域系,記作A(A)。

定義11[1]設X,Y是兩個拓撲空間,f:X→Y，任取U?Y,且U為開集，其原像f-1(U)?X，且為開集,則稱映射f:X→Y連續。

2 主要結果

定理1(刻畫聚點)設X是一個拓撲空間,A?X,x0∈X,x0是A的聚點,當且僅當在A(x0}上有網S收斂于x0。

證明設x0是A的聚點,則對于x0的任一鄰域U,必有點xu∈U∩A,xu≠x0,由于x0的鄰域系A(x0)按關系“?”是定向集,于是作成網{xU,U?A(x0),?}收斂于x0。

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若在A/{x0}上有網S收斂于x0,則由網收斂的定義,知S終于x0的每一個F鄰域,故x0的每個鄰域中必有異于x0的S的點,即x0的每一個鄰域U,必有U∩S≠?。而U∩S?U∩A(x0},故x0是A的聚點。

定理3(刻畫閉集)設X是一個拓撲空間,A?X,且A是閉集,當且僅當對A中任一網S,均有limS∈A。

定理4[4](刻畫開集)設X是一個拓撲空間,A?X,且A是開集，當且僅當對于任意收斂于A內點的網終于A(或者說A中的任意點x0和收斂于x0的任意網{Sα:α∈D,≤},必有{Sα:α∈D,≤}∩A≠?。

證明設A為開集,由網收斂于一點的定義,若一個網收斂于A內的點, 故其終于A。

假設A不是X的開集,則XA不是閉集,由定理3知,XA中存在網Sα,limSαXA,即limSα∈A。顯然,{Sα}是收斂于A內點的網,但是該網不終于A,與條件矛盾。

定理5(刻畫連續)設X、Y為拓撲空間,映射f:X→Y連續,當且僅當在X中,若{Sα:α∈D,≤}收斂于x0,則在Y中{f(Sα):α∈D,≤}收斂于f(x0)。

3 結語

對一般的拓撲空間，當序列收斂不充分時，用其推廣形式——網收斂，對拓撲空間中的一些相關概念(聚點、閉包、閉集、開集以及連續)進行了完整刻畫。在上面的論述中,可以看到,用網收斂可以刻畫拓撲學的許多結果，在拓撲空間中，網收斂和拓撲的地位是等價的。事實上，Kelley在他的專著中介紹了任意論域上的拓撲都可以用基于網的收斂類來導出的重要結果。只是習慣了平時所說的拓撲,而且用不同的方法，其描述問題的復雜程度不同而已。其實，嘗試用不同的視角來刻畫拓撲空間，會發現拓撲空間中看似不相關的內容，實則聯系緊密。因此，網收斂還可以進一步刻畫分離公理。網收斂如何對分離公理以及正規、正則空間進行刻畫，值得進一步分析研究。