Lévy穩定過程均值變點監測在GEWMA和GLR控制圖中的對比

胡松瀛,李 泰

(亳州學院 電子與信息工程系，安徽 亳州 236800)

變點問題是統計學中非常熱門的一個課題，研究變點問題的一個重要工具是控制圖，比較常見的控制圖有累計和控制圖CUSUM[1]、累積分控制圖Cusore[2]、廣義似然比控制圖GLR[3]、廣義指數加權移動平均控制圖GEWMA[4]等。常用平均運行長度ARL來對比不同控制圖的監測結果。現實中,很多隨機變量是服從穩定分布的,有無限方差,被稱為Lévy穩定過程。首先給出了GEWMA和GLR控制圖監測Lévy穩定過程均值變點ARL的區間估計，然后對監測的效果進行了數值模擬比較。

1 預備知識

引理1[5]相互獨立的隨機變量Wi,Wi～Sλ(ai,bi,μi),i=1,2,則

W1+W2～Sλ(a,b,μ)

(1)

引理2[5]隨機變量W～Sλ(a,b,μ),d是實常數，則

S+d～Sλ(a,b,μ+d)

(2)

引理3[5]隨機變量W～Sλ(a,b,μ),實常數d≠0,則

dW～

{Sλ(|d|a,sign(d)b,dμ)λ≠1，

(3)

引理4[5]隨機變量W～Sλ(a,b,μ),0<λ<2,則

(4)

其中

2 平均運行長度ARL的估計

隨機變量W1,W2,…,Wn是獨立穩定的,檢驗問題:

H0:Xi～Sλ(a,b,μ0),i=1,2,…,m

H1:Xi～Sλ(a,b,μ0),i=1,2,…,δ-1

Xi～Sλ(a,b,μ),i=δ,δ+1,…,m

(5)

其中,變點δ未知,μ0≠μ，λ∈(0,2]，b∈[-1,1]，a≥0。

假設檢驗(5)是對過程均值是否有變點進行檢驗，沒有變點接受H0,有變點接受H1。從時刻δ開始，均值發生μ-μ0的變化。μ>μ0時為向上漂移，μ<μ0時為向下漂移。不論是向下漂移,還是向上漂移,監測的方法上沒有實質區別，故只討論向上漂移的監測并且假設μ0=0，a=1，b=0，δ=1。另外設ARL0是受控平均運行長度,ARLμ是失控平均運行長度,

ARL0(T)=E(T)ARLμ(T)=Eμ(T)

其中T是過程失控預警的時間。考慮到實際情況,求出控制極限c充分大時控制圖的平均運行長度ARL的估計。

定理1穩定過程的第i個觀測值Wi～Sλ(1,0,μi),i=1,2,…，且相互獨立，設μ0=inf[μi],μ0=sup[μi]，其中1<λ≤2，μi≥0，那么對于GEWMA控制圖

(6)

證明由于

得

所以當0≤s<1時，有g′(s)≤0，因此當l≤n0時，有

那么

因而

定理2穩定過程的第i個觀測值Wi～Sλ(1,0,μi),i=1,2,…,且相互獨立，設μ0=inf[μi],μ0=sup[μi]，其中1<λ≤2，μi≥0，對于GLR控制圖,有

(1+o(1))c2λ/(6-λ)e-Cλ/4≤ARLμi(TGL)

≤(c2/μ02+cb/μ0)(1+o(1))

(7)

故當1≤l≤N，F(l)在N處取得最小值，那么

(7)式的向下不等式得證。

設M(c)=c2/μ02+cb/μ0，Mi=M(c)i，i≥0

因為

(7)式的向上不等式得證。

3 數值模擬

在ARL0相等的條件下取定μ，然后比較ARLμ，ARLμ越小說明這種控制圖的效果就越好。表1、表2是GEWMA和GLR這兩種控制圖監測向上漂移的模擬結果。首先設時間序列服從Sλi(1,0,μ)，其中αi∈(1,2]，然后運用rstalbe程序生成隨機變量序列Wi～Sλi(1,0,μ)，τ=1，模擬結果是由10000次重復實驗得出。

表1 Wi～S1.8(1,0,μ)

表2 Wi～S1.5(1,0,μ)

4 數據分析

通過對比，可以得到，如果λ=1.5，這時控制圖GLR的效果優于GEWMA，如果λ=1.8，兩種控制圖效果不相上下。