老師搭臺 學生唱戲
——例談高中數學課堂中學生創造性思維的培養

■王蘭靈

一、創造性思維及創造性思維培養的必要性

創造性思維指打破常規、具有創意、帶有創新的思維。具有創造性思維的學生，觀察力強，思維敏捷，邏輯縝密，能夠更快速地認清問題的本質。他們能夠更便捷地解決問題，甚至能對問題產生具有影響力的見解，進而豐富自身的數學思維，提升數學素養。高中階段是學生思維和思想形成的黃金時期，創造性思維的培養在此階段顯得尤為必要。

二、例談學生創造性思維的培養

學生的創造性思維，只能培養，不能灌輸。基于這個理念，筆者嘗試搭建了培養學生創造性思維的平臺。在課前，布置適量的有利于培養學生創造性思維的習題，給他們足夠的探究時間，鼓勵學生獨立思考，思考之后再互相交流。在課堂上，營造輕松和諧的氛圍，鼓勵大家對課堂的問題提出自己的見解，或者推薦優秀的解法。當解法巧妙時，就以學生的名字命名該解法。在課后，把學生的優秀解法記錄下來，積累到一定程度后，形成論文，論文發表之后與學生一起分享其創造性的成果。將課前、課堂和課后三個環節綜合起來，就形成了“老師搭臺，學生唱戲”的創造性思維培養局面。現選取2020屆高三12班(理科普通班)李樂恒、劉沛杰、戴志鍇三位同學的三個案例跟大家一起分享。

案例一：“樂恒法”妙解“非線性”的線性規劃題

例1已知變量x、y滿足則目標函數的值域為_____。

圖1

評注：該解法符合大部分學生的思維。根據目標式子的特點，聯想到了向量的夾角公式，通過恒等變形，把目標式子轉化成了2cos，最終根據夾角的范圍求出結果。

解法2：樂恒法(極坐標法)。將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入中，得z=，根據圖1中可行域的位置，得，又因為cosθ和-sinθ在上都是單調遞減的，所以代入端點值可快速求得結果。

評注：李樂恒同學的解法有兩點被全班稱贊。第一是他想到了極坐標，瞬間就把目標式子化簡，變得簡潔且熟悉；第二是他直接判斷出了的單調性，而不是繼續利用輔助角公式進行復雜化處理。這個解法非常新穎漂亮，很多經驗豐富的老師都未必能想到這個處理方法。

案例二：“沛杰法”挑戰函數法

例2已知函數f(x)=ex-1，g(x)=。若f(a)=g(b)成立，則b-a的最小值為_____。

解法1：常規解法(函數法)。令f(a)=g(b)=m，顯然m＞0。由得所以。記，，所以φ′(m)在(0，+∞)上單調遞增。又，所以φ(m)在上單調遞減，在上單調遞增，即φ(m)的最小值為。

評注：函數法是大多數學生采用的方法，思路清晰，只要掌握了用導數研究函數單調性的技能，就能比較順利地完成。

解法2：沛杰法(雙等值法)。由得即為所求的最小值。

圖2

圖3

評注：該方法由劉沛杰同學提出，答案是正確的，但是課堂上他沒有完全說清楚這種解法的理由。受沛杰同學的啟發，經過課后的研究發現，這種雙等值法(函數值和導數值均相等)是有根據的。如圖2所示，兩條“背靠背”的曲線相切時，它們有唯一的公切點P，也有唯一的公切線。當它們水平分開到某個值時，如圖3所示，兩條曲線水平距離的最小值是|P1P2|，其中P1和P2都是由公切點P水平移動衍生出來的。兩條曲線在P1和P2處的切線與它們水平分開前的公切線平行。在本例中，因為f″(x)=ex-1＞0，，所以f(x)的圖像開口向上，g(x)的圖像開口向下，兩條曲線屬于“背靠背”型，故沛杰同學的解法是正確的，而且解法簡便，值得推廣。

案例三：“志鍇法”秒殺構造商函數法

例3已知定義在(0，+∞)上的函數f(x)恒為正數，f(x)滿足f(x)＜f′(x)＜2f(x)，則f(1)∶f(2)的取值范圍是____。

解法1：常規解法(構造商函數)。由f(x)＜f′(x)＜2f(x)得f′(x)-f(x)＞0，f′(x)-2f(x)＜0。令，所以h′(x)＞0，φ′(x)＜0，得在(0，+∞)上h(x)單調遞增，φ(x)單調遞減。。

評注：該解法是根據f(x)＜f′(x)＜2f(x)而構造出和φ(x)=兩個函數，利用這兩個函數的單調性得出進而求得的范圍。

解法2：志鍇法(構造指數型函數)。根據f(x)＜f′(x)＜2f(x)，設f(x)=enx，得f′(x)=nenx，代入f(x)＜f′(x)＜2f(x)中，得enx＜nenx＜2enx，化簡得1＜n＜2，，因此。

評注：戴志鍇同學的方法計算量小，方便快捷。戴志鍇同學還說“看到了f(x)＜f′(x)＜2f(x)這個條件后，發現了導函數和原函數級別一樣(可以比較)，想到了函數y=ex，經過思考、修正之后，就發現了y=enx這個函數能夠解決這類問題”。