例談動點設立的技巧

■許小如(指導教師：徐 揚)

作者單位：浙江省天臺中學2018級(14)班

由圓錐曲線上一個主動點而產生的相關問題的解決，都回避不了主動點的假設，如何設立這個主動點，這正是許多讀者感到困難的一點。

例題已知直線x-2y+2=0經過橢圓C：(a＞b＞0)的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：分別交于M，N兩點。

(Ⅰ)求橢圓C的方程。

(Ⅱ)求線段MN的長度的最小值。

解：(Ⅰ)橢圓C的方程為。

(Ⅱ)總體視角。若S點確定，則直線AS，BS，點M，N都也跟著確定。這需先找一個主動變量t，變化范圍是清楚的，使得(變量)表示為主變量t的函數，然后求的最小值。

視角1：參數設置法——換元法。由于圓錐曲線既有普通方程，又有參數方程，所以設定坐標時可以只含有一個參數，參數設置法應該是首選的方法。

解法1：設點S的坐標為(2cosθ，sinθ)(θ∈(0，π))，則直線AS的方程為y=，得M，所以。設即3tsinθ+6cosθ=10，由題意得10，即。

所以線段MN的長度的最小值為，對應的點S為。

視角2：一般坐標(x，y)設置法——直接設置法。圓錐曲線的普通方程有其“普通性”，則其應用一定有“廣泛性”。直接設置法的特點是設置(x，y)時簡單，應要充分注意這個主動點所在曲線的性質——x與y的制約關系。

解法2：設點S(x0，y0)，，，且yM＞0，yN＜0，則。故，所以有，即。

視角3：在能決定點S的相近關系中設置方法——間接設置法。如果直線AS確定了，那么點S也就定了，這樣，有時也對產生點S的“源頭”進行設定。間接設置法的特點是運算量大，但思路自然，操作簡單。不過，有時在“源頭”中有多個“頭”，這樣就要選擇一個適當、合理、清晰的條件設置。但有時這些“頭”的地位是并列的，此時就要選其中的一個進行設置。

解法3：因為直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，所以可設直線AS的方程為y=k(x+2)，得。由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0，它的一個根為-2。

設S(x1，y1)，則得。又B(2，0)，得kBS=。

總結：這里我們共同探索了常用的三種方法，其中解法3的思路最優，解法2的思路最巧，解法1的思路最自然。