火炮控制區域問題的運動學分析與應用

韓佳佳 陶宗明 張 輝 史 博 陳 驍

(中國人民解放軍陸軍炮兵防空兵學院基礎部，安徽 合肥 230031)

火炮是利用機械能、化學能等能量拋射炮彈，由炮身和炮架兩大部分組成的射擊武器[1]。圖1為火炮戰場作戰圖。戰斗中，首要問題就是求出火炮的火力控制區域，并將其標繪在作戰文書上[2]。當目標進入火炮控制區域時，指揮員要及時下達射擊任務，保障火炮在控制區域內擊中目標。

1 火炮控制區域問題分析

假設空氣阻力為零，火炮發射的炮彈質心在空中運動的軌跡稱為真空彈道[3]。此時炮彈只受重力作用，在空中的運動是一種拋體運動，炮彈質心的運動軌跡取決于初速度v0與發射角α。真空彈道雖不存在，但火炮在空氣較為稀薄的高原地帶射擊，或者在空氣稠密的地面附近以較小彈速射擊時，可以忽略空氣阻力的影響，應用真空彈道模型進行分析。

圖1 火炮戰場作戰圖

真空彈道中，由于火炮射擊時初速度和發射角的不同，在豎直平面上，炮彈質心的運動軌跡是形狀各異的拋物線。對于一門火炮，炮彈的初速度v0為定值的情況下，發射角α變化時所有可能的彈道曲線組成了一個曲線簇。圖2為初速度v0=1000m/s的火炮以不同發射角發射炮彈時，彈道曲線在二維平面內形成的曲線簇。在曲線簇的邊界，平面內存在一條每一點都與其中拋物線上的點相切的曲線，稱為該曲線簇的包絡線。火炮射擊時的控制區域就是該包絡線旋轉曲面的覆蓋區域。

圖2 曲線簇的包絡線

2 分析與求解

火炮射擊時，初速度為v0，發射角為α的炮彈質心運動的軌跡方程為

(1)

在火炮結構與炮彈類型不變的情況下，火炮發射炮彈的初速度v0為固定值。為便于分析炮彈質心的運動軌跡與發射角α之間的關系，根據量綱分析方法[4]，可以將式(1)寫為無量綱形式。取長度L和時間T為基本量，軌跡方程中各參量的量綱分別為

(2)

(3)

將上式代入炮彈質心的軌跡方程(1)，可得方程的無量綱形式

(4)

真空彈道中以不同發射角發射的炮彈質心軌跡形成了一簇曲線。包絡線中的每一點都在其中一條曲線上，因此包絡線方程滿足式(4)。并且對于控制區域內水平方向上的某一固定位置x，以不同發射角α發射的炮彈質心軌跡經過豎直方向的不同高度y，包絡線上的點對應炮彈質心軌跡的最大高度。根據極值定理[5]：

(5)

由上式可得最大高度對應的發射角α：

(6)

將上式代入式(4)，消去參數α，得到方程：

(7)

式(7)表示一條開口向下的拋物線。曲線簇中，火炮以任意發射角α發射的炮彈質心運動軌跡與該拋物線的交點可由以下方程組求得：

(8)

聯立以上方程，得到拋物線與炮彈質心運動軌跡唯一交點為

(9)

炮彈質心運動軌跡方程(4)中該點處的斜率為

(10)

拋物線式(7)中該點處的斜率為

(11)

因此該拋物線與任意發射角α發射的炮彈質心運動軌跡相切。拋物線方程(7)為曲線簇的包絡線方程。

以火炮位置為坐標原點，彈道曲線所在的平面為xOy面，炮彈飛行過程中的水平位置和豎直位置分別為x軸和y軸。根據方程(13)，二維平面內火炮的控制區域是一個開口向下的拋物線，如圖3(a)所示。三維空間中的火炮控制區域為該包絡線的旋轉曲面，其方程的無量綱形式為

(12)

在三維空間中的圖形如圖3(b)所示。

圖3 火炮控制區域(a) 二維平面火炮控制區域; (b) 三維空間火炮控制區域

3 火炮控制區域問題在軍事上的應用

3.1 間接瞄準射擊發射角的范圍

間接瞄準射擊也稱間瞄射擊，是指火炮不直接瞄準目標，而是用瞄準裝置賦予火炮射向和射角所進行的射擊[6]。在火炮不能通視目標時，主要采用間瞄射擊。此時炮陣地可以選擇在障礙物后面，便于隱蔽，可達成火力突然性。

(13)

圖4 火炮與障礙物的最大距離

當火炮與障礙物的距離xs

(14)

上式為發射角α滿足的方程，可以求出：

火炮射擊時，發射角在αmin與αmax之間的炮彈都能夠越過障礙物。兩發射角對應的彈道曲線在障礙物后側的交叉區域為間瞄射擊時的火炮控制區域，如圖5所示。

圖5 火炮間瞄射擊控制區域

3.2 山坡或洼地射擊的最大射程與發射角

在火炮射擊過程中，如果前方有一傾角為θ的山坡(θ為正值)或洼地(θ為負值)。為保證炮彈擊中目標，我方首先需要確定火炮的最大射程及最大射程所對應的發射角。

該問題可以用拋體運動的軌跡方程求解，但過程比較復雜[7]，使用包絡線方程能夠簡化求解過程。二維平面內，火炮的最大射程為包絡線與山坡或洼地直線的交點，根據下列關系式：

(17)

可以求出火炮最大射程所對應的坐標(x,y)為

其中，x是火炮射擊目標的最遠距離；y是目標的縱坐標，如圖6與圖7所示。由于該點在包絡線

圖6 火炮面向山坡射擊最大射程與發射角

圖7 火炮面向洼地射擊最大射程與發射角

上，將式(18)代入式(11)，可得最大射程所對應的發射角：

(20)

4 結語

在真空彈道中，火炮以不同發射角發射的炮彈都是作拋體運動后到達目標，火炮火力能夠覆蓋的范圍為火炮控制區域。本文在對火炮不同發射角的彈道曲線進行分析的基礎上，采用包絡線的方法求解出火炮的控制區域，并利用數值計算的結果進行了演示。這一問題不僅為彈道學理論提供了參考，而且在軍事上也有一定的應用價值。