依托核心問題 促進深度思考
——以北師版《義務教育教科書·數學》六年級下冊“平面圖形面積總復習”為例

張春新

（江蘇省海安市教師發展中心附屬小學）

復習，并不僅僅是重復先前學習的知識，而是在原有知識復習的基礎上促進學生知識思維素養的再生長。生長，是夯實基礎后的求異與創新。教學“平面圖形面積總復習”這一課，如何在夯實平面圖形面積計算的基礎上讓學生抓住平面圖形面積計算的本質，促使其“換個腦筋”，進一步在知識的深處進行思考呢？我通過三個核心問題的引領，使學生的知識、思維、方法策略在不斷被豐富、被審視、被調整的過程中得到了深度發展。

一、依托核心問題，引領學生感悟數學本質

學生的學習不能流于形式，更不能淺表化。只有抓住了所復習知識的核心問題，激發出學生積極思考的熱情，促使學生深入交流、探究，才能使學生進一步地感悟到平面圖形面積計算的本質，學生的學習才能觸類旁通，達到“牽一發而動全身”的效果。如在學生交流了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積推導過程之后——

師：回顧學習這些平面圖形的過程，我們先學習的是什么圖形的面積？

生：長方形的面積計算。

師：大家有沒有想過，為什么我們先學習長方形、正方形的面積計算，然后學習平行四邊形、三角形、梯形的面積計算，最后學習圓的面積計算？可不可以換一下順序呢？請大家在小組內交流。（學生在小組內熱烈地交流起來）

生：長方形的面積計算最簡單。

生：長方形的四個角都是直角，其他圖形沒有這樣的特點。

生：面積單位都是邊長1 厘米、1 分米、1 米的正方形，長方形的面積可以直接用這些面積單位去擺，從而算出面積，其他圖形不行。

生：是的，長方形可以用邊長1厘米、1分米、1米的小正方形去擺，看看沿著長可以擺幾個，沿著寬可以擺幾排，用每排的單位面積的個數×排數=總的單位面積的個數，也就是長方形的面積。而其他平面圖形，比如平行四邊形，用面積單位擺就不好擺滿。（學生邊說邊在黑板上畫）

生：我知道了，所以我們先學長方形的面積計算，用擺面積單位的方式推導出了長方形的面積公式，然后再學習平行四邊形、三角形、梯形的面積計算，它們不好用面積單位去擺，可以用轉化的思想轉化成已學過的長方形來計算面積。

在以前的學習中，學生是一個圖形一個圖形地接著學，他們現在回過頭來一看，確實先學習的是長方形的面積，為什么呢？可不可以先學習其他圖形呢？學生感覺非常好奇，這激起了他們思考和探究的欲望。實際上，這也是學生思維的盲點，同時又是學習平面圖形面積的核心問題。抓住了它，就抓住了面積計算的本質，即圖形中所含單位面積的個數。通過對這一核心問題的思考，學生不但知道了為什么要先學習長方形面積的計算，而且對后面所學的圖形計算面積為什么都要轉化成已經學過的圖形，也有了進一步的、清晰的認識。

這樣，通過“瞻前”——對先學習長方形面積計算的這一核心問題追問，讓學生回到原點思考，從源頭抵其實質；同時也為“顧后”——體積度量的本質理解作了知識和方法上的鋪墊。

二、依托核心問題，引導學生整體建構數學知識和思維

多維度關聯是將學生所學的零散的知識根據它們內在的邏輯關系從多種角度進行統整與建構，從而讓學生整體建構。

（一）以長方形面積為基礎整體建構，感受由易到難的過程

通過“為什么先學習長方形的面積”這一核心問題的追問，學生從本質上理解了長方形面積的計算是其他平面圖形面積計算的基礎。這時，可以再讓學生用圖來梳理各種圖形面積之間的聯系。

師：通過回顧，我們知道了長方形面積公式是學習其他平面圖形面積的基礎，這六個圖形之間是有聯系的。你能用圖表示出它們之間的聯系嗎？

（學生分組展示，出現了這樣兩種圖）

生：（小組1，指第一幅圖）我們小組是這樣梳理的，長方形的面積計算由數含有多少面積單位獲得，這也是計算其他平面圖形面積的基礎，所以將長方形畫在最下面。由長方形的面積公式推導出了正方形、平行四邊形、圓的面積公式，將這三個圖形畫在第2 層，再由平行四邊形面積公式推導出了三角形和梯形的面積公式，將三角形和梯形畫在最上層。

生：（小組1，指第一幅圖）我來補充一下。從上往下看，三角形、梯形的面積公式是通過轉化成平行四邊形推導出來的，平行四邊形、圓的面積公式是通過轉化成長方形推導出來的，它們都不能直接用含有面積單位的小正方形去擺、去數，都巧妙地運用了轉化的方法。

生：（小組4，指第二幅圖）我們是這樣整理的。將其他五種平面圖形面積公式都轉化成長方形推導出來。第1、2、3、5 小組都是把三角形和梯形轉化成平行四邊形推導出面積公式的，我們是把三角形和梯形也轉化成長方形來推導出面積。

生：（小組4）我補充。雖然我們小組之間轉化的圖形不一樣，但共同的地方都是轉化成已經學過的圖形來推導出面積的，都是以長方形面積公式為基礎來轉化的。

（二）以梯形為中心整體建構，感受化繁為簡的過程

緊扣“六個平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計算嗎”這一核心問題展開探究，可以讓學生感受到其他平面圖形與梯形的緊密聯系。

師：前面我們以長方形的面積公式為基礎推導出了其他五個平面圖形的面積，由易到難。我們還能化繁為簡，把這六個圖形的面積公式都用梯形的面積這一個公式來計算，大家相信嗎？

（學生搖頭）

師：看著圖形想一想，可以把這些平面圖形看作怎樣的梯形？

（電腦出示：梯形下底不變，上底慢慢縮短變成三角形，上底慢慢延長，變成平行四邊形。）

（學生討論交流）

生：三角形可以看作上底為0 的特殊的梯形。（如下面第一個圖形）

生：平行四邊形可以看作上底a和下底b相等的特殊的梯形。（如下面第二個圖形）

生：長方形可以看作上底a和下底b相等，且上底a、下底b與高h垂直的特殊的梯形。（如下面第三個圖形）

生：正方形可以看作上底、下底和高相等即a=b=h，a、b與h垂直的特殊的梯形。（如下面第四個圖形）

生：圓可以看作上底為0，下底為圓的周長即2πr，高為半徑r的特殊梯形。

師：圓是封閉的曲線圖形，你是怎樣想的？

生：我將圓心看成梯形的上底，上底為0，將圓的一周拉直，將圓的周長（即2πr）看成梯形的下底，這時半徑r就是梯形的高。

師：真不簡單，能化曲為直，將圓看作這樣的特殊梯形，真是愛動腦筋的孩子。

師：那么這些平面圖形能用梯形的面積公式計算嗎？怎么辦？

生：用梯形的面積公式算算看行不行。

師：好，每人選一個平面圖形算算看。計算好后，仔細觀察，說說你發現了什么，然后小組內交流各自的發現。

生：我選的是三角形。用梯形的面積公式計算（0＋a）h÷2=ah÷2，我發現用梯形面積公式算下來和三角形的面積公式一樣。所以，計算三角形面積可以用梯形的面積公式。

生：我選的是平行四邊形。用梯形的面積公式計算（a＋a）h÷2=ah，我發現用梯形面積公式算下來和平行四邊形的面積計算公式一樣。所以平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計算。

生：平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計算，長方形、正方形是特殊的平行四邊形，所以不需要計算，就知道長方形和正方形也可以用梯形的面積計算公式計算。

生：我選的是圓。用梯形的面積公式計算（0＋2πr）r÷2=πr2，所以圓的面積公式也可以用梯形的面積計算公式。

生：圓也可以等積變形為梯形（如下圖），所以圓的面積公式可以用梯形的面積計算。

師：現在你們想說什么？

生：梯形面積公式真神奇呀，這些圖形都可以用它來計算。

這時黑板上形成的流程圖如下所示：

在這一片段中，學生緊扣“六個平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計算嗎”這一核心問題展開探究。通過梯形的下底和高不變、上底變這一條件，讓學生感受到其他平面圖形與梯形的緊密聯系。學生驚喜地發現用梯形的面積公式算下來竟然和原來圖形的面積公式相同。

這樣，先通過核心問題“為什么先學長方形面積”的思考，讓學生感受到了平面圖形面積公式由易到難的學習過程，再通過核心問題“六個平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計算嗎”的思考探究，將梯形面積公式與其他圖形的面積公式勾連了起來，讓學生感受到了化繁為簡的驚喜。這樣由易到難、化繁為簡的整體建構，不再只是知識的整體建構，同時也是思維的整體建構。

三、依托核心問題，發展學生的深度數學思維

以上兩個核心問題的思考探究，既使學生抓住了平面圖形面積的本質，又將平面圖形面積之間的關系進行了整體建構。在此基礎上，還可以通過核心問題“兩個圖形陰影部分的面積相等嗎”來促使學生進一步深度思考，靈活運用轉化的思想來解決問題。

師：（出示下面兩幅圖）大正方形的邊長為10 厘米，陰影部分的面積相等嗎？為什么？

生：第一個圖形陰影部分左邊雖然是三角形，但它的底長不知道，也很難求出。陰影部分右邊部分一般用圓的面積減去空白小三角形的面積，但空白小三角形的面積的底是10 厘米，高也不知道，所以也不好求出。所以，我們小組思考能不能用轉化的方法，把復雜的圖形轉化成簡單的圖形。

生：我們發現第一個圖形中三角形ABG 的面積等于空白三角形DEG 的面積。把△ABG 的面積移到△EDG 上，整個陰影部分的面積就等于圓的面積。求出圓的面積，就求出了陰影部分的面積。這樣就把陰影部分這一復雜的圖形轉化成了簡單的圖形圓，就很好算了。

生：第二個圖形也是將陰影部分這一復雜的圖形轉換成簡單的圖形。空白三角形ABE 的面積是（a＋b）×b÷2，梯形ABCF 的面積也是（a+b）×b÷2，所以空白三角形ABE 的面積等于梯形ABCF 的面積。空白梯形ABGF 是公共的，那么△EFG 的面積等于△CBG 的面積，將△CBG 的面積移到△EFG上，這樣陰影部分的面積就等于圓的面積了。

師：你們真不簡單。在常用的方法無法解決問題的情況下，想到了運用轉化的策略來解決。

生：平面圖形面積推導的過程給了我們啟示，在推導平行四邊形、三角形、梯形等面積公式時，都是轉化成我們已經學過的簡單的圖形來推導的。

生：是的，當計算較復雜的平面圖形面積時，如果無法直接計算，我們就可以換一種思路，看看能不能將較復雜的不規則圖形轉化成簡單的規則圖形來求。

本教學片斷中，核心問題“陰影部分的面積相等嗎”激起了學生探究的熱情。因為常用的整分法（大面積減去多余的小面積）和分割法（將復雜的陰影部分分割成幾個小的規則的圖形）都無法解決，所以這種思維困境激起了學生進一步挑戰該問題的強烈欲望。學生通過進一步思考，想到了運用轉化的策略可以將復雜的陰影部分轉化成簡單的圖形。怎樣轉化呢？學生小組內繼續思考，他們積極尋求面積相等的圖形，發現了圖形之間的關系，將陰影部分的一小部分圖形面積移到了與之面積相等的空白部分上，就轉化成了簡單的圖形圓，問題也就迎刃而解了。

此外，這節課以猜平面圖形的游戲開始也以同樣的游戲作為結束。這種游戲就是一個學生說，另一個學生猜。比如，猜長方形。課前，學生都是說它的特征（兩組對邊相等，四個角都是直角）而讓其他的學生猜。課終，還是長方形，再猜，說法就多了：是其他平面圖形的基礎，是學習的第一個平面圖形，可以用表示面積單位的小正方形去擺求出面積；是上底下底相等，且上下底和高垂直的特殊的梯形等。這樣，通過課始和課終猜平面圖形的游戲，既激發了學生學習的興趣，又讓學生感受到了通過一節課的學習所帶來的知識思維生長的喜悅。