“三探三思”：借微專題提升初三學生的幾何綜合能力

高 飛

（沈陽市第一三四中學)

“一切為了學生的發展”是新課程改革的核心理念之一，它要求學校教育教學方針的制定及管理方式的運用都要建立在以學生為本的基礎上，要有利于促進學生的健康成長，要有利于學生的終身發展，要以學生獲得今后走向社會的基本能力為出發點。這些基本能力包括自主學習的能力、與人合作的能力、信息收集的能力以及信息處理的能力，而這些能力在初三幾何學習過程中都有綜合體現。

初三階段的數學復習時間緊，任務重。在對“圖形與幾何”這部分內容進行復習時，我發現有如下狀況存在：首先，“圖形與幾何”這一內容是初中數學新課程改革后的重要組成部分。從整個北師版教材的課時安排來看，“圖形與幾何”知識占據的比重很大，與其他章節的聯系很密切，在教材中的地位也非常高；從教材的編排上來看，“圖形與幾何”知識跨越整個初中三年的數學教學，“戰線”較長，學生整體感較弱；從近幾年的中考知識考察來看，“圖形與幾何”的知識大約占整個考卷的55%以上，是中考學生得到理想分數的“必爭之地”；從試卷出題的角度看，從簡單到復雜，從單獨命題到幾何綜合或者代幾綜合，難度跨越也很大，學生掌握起來有困難。其次，在初三數學備考的一輪復習中，很多教師在對“圖形與幾何”這部分內容進行教學時，大多是按照數與代數、空間與幾何、概率與統計這樣的知識模塊，遵循著“先復習相應知識點，然后按照知識點復習典型例題，做對應習題的方式進行復習”的模式。這樣復習的缺點是知識點仍然獨立，例題與例題之間沒有承接，缺乏數學知識的整體聯系，不利于數學思維的培養。學生復習后仍然停留在現有水平，不能得到更好的發展。對于大多數學生而言，他們能夠掌握最基本的知識內容及簡單做法，但是不具備很強的題目綜合能力，無法完成難度較大的題目，這就需要教師為他們搭出向上的階梯，指明思考的方向。適當地應用微專題來進行教學，可使課堂的教學主題明確、集中。由于選擇的例題、習題都為同一主題而服務，從而讓學生能夠對某一知識點從理論到實踐都有一個認識的過程，能進一步提升解題能力、思維能力，不失為一個有效教學途徑。

一、“一探”引例尋出路，憶思專題知識點（引例+相關知識點）

微專題是指教師針對某一具體知識點、能力點、易錯點或檢測點，從其涉及的基本概念、基本原理或基本方法入手，精選例題和習題，編制成的能夠在一節或兩節課內完成的專題（教學任務）。其主要目的是幫助學生更好地彌補盲點、強化重點、突破難點、糾正易錯點。也就是說，教師要在教學過程中發現學生比較集中的問題，經過梳理整合，確定編制微專題的主題，然后精選與該主題相關的典型例題來進行教學。更為重要的是，要通過對典型問題的分析，總結出一般的規律、方法或者技巧，最后通過一定數量的相關練習進行鞏固拓展，進而讓學生提高解題能力。

在教學中，根據學生的學習需要，我結合微專題的特點，總結出了“三探三思”微專題教學法，其基本的教學模式及操作方法如下圖所示。

（一）設計引例

引例是“三探三思”微專題教學法的入口，要想獲得好的教學質量，必須設計出適當且高質量的引例。引例的設計要有一定的思維容量和思維強度，需要經過努力思考才能解決的問題才是最適合的問題。

在設置問題引例時，我遵循了以下幾個原則：

1.符合要求，特點鮮明

由于互聯網絡的發展，我們很容易能看到各年份的全國各地的中考題，其數目龐大。因此，我會選擇那些符合沈陽市命題特點的題目作為引例。近幾年沈陽的綜合題目大多是3～4個問題，由淺入深，問題內部思維方法相互關聯。而三角形的綜合題目考察多從教材上的母題入手，在圖形變化中考察知識。

2.方法統一，前后貫穿

數學的綜合題目，涉及的知識比較廣泛，命題者為了考察學生的綜合思維能力，往往會把很多知識點融合在一起，那種難度過大，多種知識點混雜的題目就不適合作為引例使用。我們要選擇的題目是那種解題方法非常針對本節微專題的內容的題目，從而讓學生在上課前對教師要講授的知識和方法有一個初步的理解，不能解決的也可以帶著問題學習。

3.由淺入深，層層遞進

引例的問題要有層次，做到“入口易，出口難”，“入口易”是指題目為是中等偏下水平的學生也要很熟悉，解題快速。“出口難”是指題目的呈現有很大變化，大多需要添加輔助線復原模型，才能解題，從而達到對學生的思維能力的提升。

（二）設置相關知識點

要設置微專題所涉及的基礎知識點，給出每一個微專題所用到的教材中的基礎的定理、定義，明晰內容，規范書寫。如“手拉手”問題。

【問題探究】

如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由。

【深入探究】

如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長。

如圖3，在（2）的條件下，當△ACD在線段AC的左側時，求BD的長。

圖1

圖2

圖3

這道引例是“手拉手”問題中非常典型的例子，其模型單一，并且涉及到的知識點相對集中，符合沈陽市近幾年的命題方式。題目的三個問題有層次，分別適合低、中、高能力的學生解答。第一個問題，學生在七年級學完全等知識之后就開始接觸這類問題，非常熟悉。中間的問題則需要學生根據第一問題的解答方法做輔助線，構造出“手拉手”的模型。最后一問不但需要學生自己構造出“手拉手”模型，還需要變換方向。這道題目對于學生從更高角度體會“手拉手”模型有很大的幫助。為了讓學生明晰此模型的基本原理，題目最后還以填空的形式復習了定理的內容。

二、“二探”范例索途徑，巧思模型通用法（例題+模型+習題）

（一）典型例題，見微知著

我在選取例題時采取了以下的方法：

1.分解難度，呈現精華

課堂上所選取的例題，均為問題背景單一、敘述簡單、未經過變化的題目，這類題目可以根據教師授課的需要編寫，也可以在復雜的題目中抽取出自己想要的題干。我認為，在進行專題教學時，一定要剔除掉那些屬于另外一個難點范疇的問題，避免課堂上學生因為其他難點的干擾，造成思維的困惑，使得課堂教學主次不分。如下邊的這道題目：

基本問題：如下圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B、A、D在同一條直線上，連接CD、BE，M、N分別為BE、CD的中點，連接MN、AM、AN.請判斷△AMN的形狀，并說明理由。

這道題目就不適合作為例題。原因是圖形的推導比較復雜，位置也不夠隨意，推導的過程方法不通用，不適合大多數的學生作為基礎圖形記憶理解。

所以，我們要把這樣的題目進行修改，變成如下的方式呈現：

在△ABC和△ADE中，AO=BO，OD=CO，∠BAC=∠DAE＝α，你能得到那些結論？

練習1：在上圖中分別取BD和AC的中點E，F，連接OE，OF，EF，則上述結論是否還成立？你還能得到哪些結論？（如下圖）

練習2：如下圖，已知AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=ɑ，點N、點M分別為CD、BE的中點。

求證：①BE=AC；②AN=AM。

通過這樣的改變，我實現了以下幾個目的：

（1）使題目變得具有典型性、基礎性、示范性，更利于學生掌握、記憶

（2）分解了原題的難度，在例題和習題的配合下，學生理解原題目的變換由來，加深了對模型的理解。

（3）使微專題的思路前后貫穿，難度緩慢提高。

2.類型全面，階梯上升

對于一個微專題的模型，題目的變化是多種多樣的，例題要把這些變化的最基礎形式反映全面。主要需要考慮的方面有：知識層面、方法層面、思維層面以及模型自身特點等。如我選取的“手拉手”模型的例題：

基本問題一：如下圖，兩個有公共頂點的等邊△AOB和△COD，你能得到哪些結論？

基本問題二：將上題中“∠AOB＝∠COD＝60°”改為“∠AOB＝∠COD＝α”，如下圖，其他條件不變，那么上述結論又會有怎樣的變化呢？

基本問題三：如 下圖，在Rt △ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α。

（1）問題發現

（2）拓展探究

試判斷：當0°≤α＜360°時的大小有無變化？請僅就其中圖的情形給出證明。（3）問題解決

當△EDC旋轉至A，D，E三點共線時，直接寫出線段BD的長。

在選取這些例題時，我的思考是：知識點的角度涵蓋了三角形的全等證明和相似證明；從方法的角度，涵蓋了無輔助線證明到輔助線添加；從模型角度涵蓋了模型完整的類型到自主構建模型的類型；從思維的角度涵蓋了基礎思維到高層次思維。

（二）基本模型，一通百通

給出每一個專題所涉及的典型方法，這是整個微專題的中心之所在。要讓學生在此過程中提煉出本節微專題的典型特點，適用于這樣特點題目的典型方法。這是每節課的教學重點。這部分的講解應該包括模型定義，模型特點，通用方法，常用結論四個部分。如＂手拉手＂的基礎問題二的歸納總結。

模型：如下圖所示的兩個頂角相等且有共頂點的等腰三角形形成的圖形。（左手拉左手，右手拉右手）

方法：可證通過“邊角邊”定理證明△AOC?△BOD。

重要結論：AC=BD，∠APB=∠AO’B，若PO連線，則PO平分∠BPC。

全等、相似“手拉手”模型說明：這個模型是由兩個共頂點且頂角的三角形構成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等或者相似的三角形；遇到“手拉手”模型時我們可以采用“邊角邊”的方法進行證明；“手拉手”模型常和旋轉結合，在考試中作為幾何綜合題目出現。

（三）鞏固練習，舉一反三

每道例題后的習題選擇也很重要，我按照如下的原則選擇習題：與例題的模型方法必須一致，達到模仿熟悉的目的；對例題的背景進行更高思維量的變形，達到對模型的深層思考；習題的題干盡量能與例題一致，可以節省課堂時間。

如上述的“手拉手”模型基本問題二的兩道習題。對應練習1 是對基本問題二的延伸和拓展，學生在證明此題目的過程中，加深了對手拉手問題的理解；化解了原有題目的難度，分層次的把題目的思維角度展現給了學生。這樣做的目的是讓學生明確，在條件改變的情況下，怎樣從題目背景中分辨出手拉手模型，并且利用手拉手模型結論繼續證明出其他問題。對應訓練2是對應訓練1圖形的變形，目的是讓學生能夠在圖形變化較大的情況下，仍然能準確的找到證明“手拉手”模型的條件，并且熟練解決問題。

微專題方法的應用是每節課的教學重難點，也是是教學活動的落腳點，對整個教學活動具有很強的引領性，所以在難點處設計的練習題需要是具有導向性的問題，突破難點，達到深刻理解的目的。

三、“三探”復例求提升，善思數學多變化（復做引例+反思提升）

（一）復做引例

教學對于教師來說，是一個至關重要的過程，而思考對于學生來說更重要。教師對教學思想的理解不僅要建立在以往的教學經驗上，更要以客觀的、辯證的思想觀來向學生傳遞信息。因此，在授課后讓學生用所學到的模型思想重新思考引例，尋找問題突破口，解決問題，可以達到自身的融會貫通。教師也可以通過學生復做引例的成績對比，及時修改學案和課堂教學，使得課堂教學更為精準。

（二）反思提升

反思提升部分的習題是針對部分學有余力的學生設計的題目，體現了學生在學習上的差異性。這部分習題選擇的思路用到了微專題的模型思路和方法，但是習題的給出超越了單一知識的命題范疇，讓學生從更加廣闊的背景認識到了模型的精髓，以達到了真正的知識遷移。具體要求是，延伸課堂的思維方法，增加思維量，添加輔助線。

還以“手拉手”模型為例，在課后的反思提升中，我們可以繼續呈現給學生如下的圖形變化：

這些圖形以多邊形為背景，前三個用到全等的知識，最后一個用到相似的知識，這是對“手拉手”模型的更高階思維的補充，題目還可以根據學生的實際情況選擇是否添加輔助線。