一類連續分段線性Hamilton 系統在線性擾動下極限環個數的估計

鄧 蕊，李寶毅，張永康

（天津師范大學數學科學學院，天津300387）

1 引言與主要結論

分段微分系統在控制理論和機械工程等領域具有廣泛應用，因此對于分段微分系統極限環個數的估計成為常微分方程定性理論中的熱點問題.目前，多數文獻考慮將平面分成左右或上下2個半平面，或幾個扇形區域，研究分段系統的極限環個數問題[1-5]，關于平行的k 條直線將平面分成k+1個帶狀區域的分段微分系統的研究相對較少.1991 年，Lum 等[6]猜想由1 條直線將平面分成2個區域的連續分段線性系統至多存在一個極限環，1998 年，Freire 等[7]證明了此猜想，并于2002 年運用相同的方法研究2 條平行直線將平面分成3個區域的平面對稱連續分段線性系統[8]，給出了一類連續的分段線性系統分別存在1個、2個、3個極限環的充分條件.文獻[9]給出了由2 條平行線將平面分成3個區域的分段光滑近Hamilton 系統的一階Melnikov 函數的計算公式，并證明了Kukles系統在某一閉軌附近可分支出2個極限環.本文將平面用2 條平行直線分成3個區域，研究一類連續的分段線性Hamilton 系統在線性擾動下的極限環個數，利用Chebyshev 系統的性質[10-11]計算一階Melnikov 函數零點的個數，從而估計出該分段線性Hamilton 系統極限環個數的上確界.

在平面內定義2 條直線l1= {（x，y）|x = -1}，l2={（x，y）|x = 1}. 這2 條直線將平面分為3個區域D1∪D2∪D3，其中：D1={（x，y）|x≤-1}，D2={（x，y）|-1 ＜x ＜1}，D3={（x，y）|x≥1}.考慮分段Hamilton 系統

其中：0 ＜ε?1，且

易知，在直線上l1，有?H1（x，y）/?x≡?H2（x，y）/?x，?H（1x，y）/?y≡?H（2x，y）/?y；在直線l2上，有?H（2x，y）/?x≡?H3（x，y）/?x，?H2（x，y）/?y≡?H3（x，y）/?y.連續的分段線性Hamilton 系統（1）ε=0存在一族跨越3個區域的逆時針走向的周期閉軌族Γh=Γh1∪Γh2∪Γh3∪Γh4，如圖1 所示.

圖1 系統（1）ε=0 的周期閉軌Fig.1 Periodic closed orbits of System（1）ε=0

設周期閉軌Γh與直線l1、l2的交點分別為A1（-1，其中u∈（0，+∞）.由h=H1（x，y）=H1（x，y）|A1=H1（x，y）|A2=-（u2+1），可得軌線在區域D1上的參數方程為

其中：θ∈[β-π，π-β]，β=由h4（h）= h2（h）= H2（x，y）= H2（x，y）|B1= H2（x，y）|A1=-（u2+2）=h-1，可得軌線在區域D2上的參數方程為

本文得到如下結論.

定理對于系統（1）ε，當其一階Melnikov 函數M1（h）?0 時，

（1）若擾動是連續的，即P1（-1，y）≡P2（-1，y），Q1（-1，y）≡Q2（-1，y），P2（1，y）≡P3（1，y），Q2（1，y）≡Q3（1，y），則系統（1）ε在周期閉軌族Γh附近分支出極限環個數的上確界為2；

（2）若擾動是非連續的，則系統（1）ε在周期閉軌族Γh附近分支出極限環個數的上確界為4.

2 一階Melnikov 函數

引理1[9，12]系統（1）ε的一階Melnikov 函數為

M1（h）=I1+μ2I2+μ2μ3I3+μ2μ3μ4I4=I1+I2+I3+I4其中：P4（x，y）=P2（x，y），Q4（x，y）=Q2（x，y）.

注因為分段Hamilton 系統（1）ε=0是連續的，所以μ2=μ3=μ4=1.

利用式（2）～式（5）可得

因此，由引理1 可得

其中：

引理2式（6）中c1、c2、c3、c4、c5關于18個多項式系數pij、qij（1≤i≤3，0≤j≤2）是獨立的.

證明記Δ1=d（c1，c2，c3，c4，c5）/d（pij，qij），1≤i≤3，0≤j≤2，則

容易驗證Δ1是滿秩矩陣，所以c1、c2、c3、c4、c5關于pij、qij（1≤i≤3，0≤j≤2）獨立.證畢.

若擾動是連續的，則有

由方程組（7）可得

將式（8）代入式（6）可得

引理3式（9）中關于10個多項式系數p10、q10、pi1、qi1、p12、q12（i=1、2、3）是獨立的.

證明記q12），i=1、2、3，則

Δ2是滿秩矩陣，因此結論成立.證畢.

3 定理的證明

定義[10，13]設{ f0（x），f1（x），…，fn-1（x）}為開區間L 上的有序解析函數組，若對于任意k=1，2，…，n，非恒為零的實系數線性組合λ0f0（x）+λ1f1（x）+…+λk-1fk-1（x）在L 上的孤立零點個數（計重數）至多為k-1，則稱{ f0（x），f1（x），…，fn-1（x）}在L 上為擴展的完備Chebyshev 系統（簡稱ECT-系統）.

引理4[10]{f0（x），f1（x），…，fn-1（x）}在開區間L 上為ECT-系統的充分必要條件為，對任意k=0，1，…，n -1，Wronskian 行列式Wk（x）=W[f0（x），f1（x），…，在L 上無零點.

定理的證明（1）若擾動為連續的，系統（1）ε的一階Melnikov 函數如式（9）所示.

由v2=u2+4 得dv/du=u/v，由tan α=sin α/cos α=u得（1+tan2α）dα/du=1，即dα/du=1/（u2+1），所以有

注意到tan β=v，于是

所以有

其中：

引理5當u∈（0，+∞）時，φ1（u）＞0 恒成立.

證明當u∈（0，0.5]時，φ1（u）的圖像見圖2，φ1（u）＞0 顯然成立.

圖2 φ1（u）在u∈(0，0.5]的圖像Fig.2 Function image of φ1（u）when u∈(0，0.5]

當u∈（0.5，+∞）時，注意到

則β*= β - π∈（-13π/20，-π/2），故α + β*∈（-21π/40，0）?（-π，0）.又因為故0 ＜v/u-1 ＜2/u2.從而對于φ1（u）的每項，有

由式（10）～式（15）可得，當u∈（0.5，+∞）時，φ1（u）＞0.證畢.

（2）若擾動為非連續的，系統（1）ε的一階Melnikov函數如式（6）所示.

設f0（u）= u，f1（u）= v，f2（u）= u3- v3，f3（u）=α（u2+1），f4（u）=β*（v2+1）.計算得

顯然W0（u）、W1（u）、W2（u）在L=（0，+∞）上無零點.

同理，由fi（u）計算得W3（u）= [（v - u）φ2（u）]/[v9（u2+1）3]，其中

引理6當u∈（0，+∞）時，φ2（u）＞0 恒成立.

證明當u∈（0，1]和（1，2]時，φ2（u）的圖像見圖3（a）和（b），φ2（u）＞0 顯然成立.

圖3 φ2（u）在u∈(0，1]，（1，2]的圖像Fig.3 Function image of φ2（u）when u∈(0，1]，（1，2]

當u∈（2，+∞）時，注意到

故v/u-1 ＞2u-2-2u-4，且v/u=（1+4u-2）1/2＞1+1.6u-2（等價于0.8 ＞2.56u-2）.從而對于φ2（u）的每項，有

由式（16）～式（29）可得，當u∈（2，+∞）時，φ2（u）＞0.證畢.

計算得W4（u）=-φ3（u）/[（u2+5）6（u2+1）6v16]，對u∈（0，10]和（10，+∞）分別討論，通過類似于引理6 的證明過程可得如下引理7 成立.

引理7當u∈（0，+∞）時，φ3（u）＞0 恒成立.

由引理6、引理7 和引理4 可知，M1（h）=0 在開區間（0，+∞）上零點個數的上確界為4，即若擾動是非連續的，則系統（1）ε在周期閉軌族Γh附近分支出極限環個數的上確界為4.