0.9循環等于1

李秀敏

摘?要：中學教材小數與分數之間的轉化，導致了等式的出現。而學生認為等式兩邊的數，個位數字1>0，所以。為解決中學生現階段對于該等式的疑惑，本文從除法、等式的性質、等比數列前項和等中學角度，解釋了這個等式，并說明以上初等理解并不嚴格。接著本文從高等數學的角度給出了等式的兩種證明方法，第一種為實數的構造，第二種為Dedekind分割，從根本上證明了等式成立的事實。本文啟發中學生從教材出發探究真理，感受數學的嚴謹美。

關鍵詞：分數 無限循環小數 轉化 運算

一、問題的來源

人教版初中數學七年級上冊第一章有理數對小學的正整數、正分數、0進行了擴充，加入了負數，形成了有理數的概念。整數，分數統稱為有理數。對于小數，小學已經接過“一般的”小數可以轉化為分數，分數也可以化為小數。

有了有理數的知識我們更知道：分數和有限小數或無限循環小數是可以相互轉化的。像這種可以轉化為有限小數的，很顯然可以在分數和小數之間建立等價關系;而對于像和無限循環小數對應的分數，如何轉化建立之間的等價關系呢？直到學習了一元一次方程，該問題才得以明確提出和解決。人教版教材七年級數學上冊第92頁解一元一次方程的“實驗與探究”，以循環位數從一 位，二位，三位...依次變大，探究了分數和無限小數之間的相互轉化，從方程的角度，利用解方程給出了以上問題的具體解決方法。教材先以循環單位是一位的為例，將其轉換為分數。具體過程為：設，由，所以，解方程，得.根據等式的傳遞性，接著教材給出“想一想”以鞏固學生對一位單位循環的小數轉化為分數的過程和結論。具體如下所述：“想一想：如何把像，，...，這樣的無限小數化為分數形式？”由上面的證明，以上想一想的問題不難得出結論，即，，...，，且有 ？對于這個結論，中學生是幾乎不能接受的，他們認為顯然是小于1的，因為和1兩個數比較大小，個位數字上的數字顯然是1大，但事實是兩個不同的數數值是相等的，學生的比較方法是錯誤的，錯誤產生于在無限循環小數比較大小，已經不能用有限小數比較大小的方法進行比較。

二、相等關系的接受和初步理解

下面從幾個角度感受這個相等關系：

1.除法

小學階段學習了整數的除法，，在這個除法算式中，1除以1，若先商0而不是商1，商的結果就是。，由等式的傳遞性。這里會存在，余數不能大于等于除數的疑惑，但注意，這里的除法并沒有余數，而是要一直進行下去，這樣結果也才是。

2.等式的性質

初中階段，大家對于是接受的，觀察這個等式，根據等式的性質，在等式兩邊同時乘以3，等式變為。到這里，學生基本可以接受這個相等關系，但這并不是嚴格的數學證明。因為其中有兩個要考慮單被忽略的問題：

其一，當數從有限位擴大為無限位的時候，等式的性質是否依然是成立的？

其二，和是等價的兩個等式，并不能以其一作為另一的證明條件。

3.等比數列

對于2，3直接應用四則運算法則是不嚴謹的，可參考《陶哲軒實分析》附錄B。若要利用等式的性質證明，必須以皮亞諾公理（Peano）為前提，以下附皮亞諾公理[1]。

皮亞諾公理：

①1是自然數;

②每一個確定的自然數，都有一個確定的后繼數，也是自然數（一個數的后繼數就是緊接在這個數后面的數;

③如果都是自然數的后繼數，那么;

④1不是任何自然數的后繼數;

⑤任意關于自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對也真，那么，命題對所有自然數都真。

推論：當含1和中的每個后繼者時，含有全部自然數。

由定理可知：實數的四則運算是有理數上四則運算的推廣，并且實數集是全序集。

2.Dedekind分割

設兩個非空實數集合和??滿足：為全體有理數，且對任意?和?，都有。則稱和??構成有理數集的一個?Dedekind?分割，簡稱分割，記為?。

實數集是完備的，即實數集中沒有"空隙"，數軸上的任何一個點都可以用某個實數唯一精確表示。實數集的完備性的證明可參考《知乎》申力立關于“怎么證明？”的回答。

實數：由全體有理數，以及有理數的分割所確定的無理數，統稱實數。

五、總結

無限循環小數定義在實數范圍內，而這個定義在初等數學階段尚沒有給出完整的證明。導致直接應用實數的四則運算法則證明，顯得不夠嚴謹。而無限循環小數屬于實數，本質上要從實數的構造論起，本文從接受和初步理解、嚴格證明、到本質證明，全面論述了該等式成立的原因。

數學學習就是在不斷地追問過程中，把前提到結論的推理過程說清楚，中間我們可能會用到一系列定理、引理。而最終都會追溯到一些公認的基礎事實上，這些事實既是公理。理解數學需要不斷追問，過程中更能體會探索真理的樂趣。

參考文獻

[1]?皮亞諾，用一種新方法陳述的算術原理，[M]1891，32-48

[2]?HB Griffiths，PJ Hilton，A Interpretation H.B.Griffith P.J.Hilton，Springer-VerlagS，[M]1970，7（5）：459–463

[3]?陶哲軒，陶哲軒實分析 人民郵電出版社，[M]，2008