常見(jiàn)壽命分布組件初始貯存方案評(píng)估及優(yōu)化

徐立，張寧，李華，阮旻智，周亮

1. 海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院， 武漢 430033

2. 海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院， 武漢 430033

3. 海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 武漢 430033

現(xiàn)代航天、航空等領(lǐng)域的武器、裝備以及戰(zhàn)儲(chǔ)器材通常具有“長(zhǎng)期貯存、一次使用”的特點(diǎn)，如某重點(diǎn)型號(hào)設(shè)定的服役年限為30年，分解到元器件級(jí)要求其貯存期為32年。元器件經(jīng)長(zhǎng)期貯存會(huì)出現(xiàn)主要參數(shù)漂移、材料性能下降等問(wèn)題[1]。隨著貯存時(shí)間的增長(zhǎng)，元器件性能的變化必然給其所屬單元帶來(lái)影響，導(dǎo)致貯存單元及裝備可用數(shù)量降低。裝備貯存單元的完好情況直接影響著保障部門(mén)日常維護(hù)保養(yǎng)工作能否正常開(kāi)展，也決定著裝備的完好數(shù)量能否滿(mǎn)足要求。

針對(duì)貯存期內(nèi)各類(lèi)單元性能下降及故障對(duì)裝備造成的影響，國(guó)內(nèi)外開(kāi)展了大量研究。在考慮不同環(huán)境及使用條件下的可靠性評(píng)估方面，文獻(xiàn)[2]研究了非恒定溫度場(chǎng)合性能退化型部件貯存可靠性評(píng)估模型。文獻(xiàn)[3]研究了火箭等航天裝備在貯存和運(yùn)輸階段的可靠度評(píng)估問(wèn)題。文獻(xiàn)[4]基于Bootstrap算法對(duì)貯存系統(tǒng)的可靠度進(jìn)行了置信限評(píng)估。文獻(xiàn)[5-7]基于導(dǎo)彈多部件退化數(shù)據(jù)，開(kāi)展導(dǎo)彈關(guān)鍵性能參數(shù)研究，給出多部件競(jìng)爭(zhēng)失效的可靠度評(píng)估模型。在考慮不同類(lèi)型、不同可靠性結(jié)構(gòu)的壽命單元可靠性評(píng)估方面，文獻(xiàn)[8]基于導(dǎo)彈儀器設(shè)備的貯存可靠性和貯存使用過(guò)程中采取的技術(shù)準(zhǔn)備措施，提出了一種以能執(zhí)行任務(wù)率為判據(jù)的導(dǎo)彈貯存壽命評(píng)估方法。文獻(xiàn)[9-10]構(gòu)建了多類(lèi)部件組成系統(tǒng)的貯存可靠度模型，研究使平均可靠度最大的檢修策略。文獻(xiàn)[11]針對(duì)貯存壽命和使用壽命均服從指數(shù)分布的部件，通過(guò)將貯存時(shí)間轉(zhuǎn)化為使用時(shí)間，對(duì)貯存可靠性置信下限進(jìn)行了估計(jì)。在綜合考慮貯存延壽及保障費(fèi)用優(yōu)化方面，文獻(xiàn)[12-13]建立了包含不同壽命分布組件的系統(tǒng)混合檢測(cè)模型，并用仿真方法確定了長(zhǎng)期運(yùn)行的可用度和費(fèi)用率。文獻(xiàn)[14-17]對(duì)于定期檢測(cè)與機(jī)會(huì)檢測(cè)、隨機(jī)檢測(cè)結(jié)合的維修更換模型的費(fèi)用進(jìn)行了對(duì)比分析。文獻(xiàn)[18]以固定貯存期內(nèi)的費(fèi)用率最低為目標(biāo)，對(duì)檢測(cè)周期以及更換周期進(jìn)行了綜合優(yōu)化。文獻(xiàn)[19]在分析部件瞬態(tài)貯存可用度變化規(guī)律基礎(chǔ)上，研究了系統(tǒng)的平均貯存可用度，建立了貯存壽命的評(píng)估與優(yōu)化模型。

目前，考慮裝備子單元貯存方案對(duì)裝備完好數(shù)量影響的文獻(xiàn)較少，難以建立單元貯存數(shù)量、貯存時(shí)間和裝備可用數(shù)量之間的關(guān)系，缺乏貯存方案的優(yōu)化方法。本文以貯存期內(nèi)裝備完好數(shù)量為著眼點(diǎn)，分析常見(jiàn)壽命分布單元的貯存可靠度，建立初始貯存方案下的裝備完好數(shù)量評(píng)估模型；以達(dá)標(biāo)概率指標(biāo)為約束條件，貯存單元購(gòu)置費(fèi)用為優(yōu)化目標(biāo)，建立單元初始貯存方案優(yōu)化模型，給出相應(yīng)的優(yōu)化算法。為裝備保障部門(mén)制定不同壽命分布單元貯存方案提供理論支撐。

1 問(wèn)題描述及模型假設(shè)

1.1 貯存過(guò)程描述

裝備通常具有多層級(jí)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，按照從低到高的次序，常見(jiàn)的層級(jí)劃分有：元器件、零部件、組件、裝備、分系統(tǒng)、系統(tǒng)等。本文將裝備劃分為2層，由高到低分為裝備層和組件層。各組件之間的關(guān)系以可靠性連接關(guān)系進(jìn)行描述，常見(jiàn)的連接關(guān)系有串聯(lián)、并聯(lián)、混聯(lián)等。若按照是否關(guān)重件的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)裝備各組件可靠性結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃分，對(duì)于由一般數(shù)量規(guī)模關(guān)重件組成的裝備系統(tǒng)，可簡(jiǎn)化為由多項(xiàng)關(guān)重組件串聯(lián)而成。裝備結(jié)構(gòu)如圖1所示。

對(duì)于“長(zhǎng)期貯存，一次使用”的裝備而言，在貯存期內(nèi)需對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)維護(hù)，及時(shí)修復(fù)或更換出現(xiàn)故障或到壽組件以維持裝備性能，保證貯存期內(nèi)裝備的完好數(shù)量。為了使得貯存期間的檢修、修復(fù)工作順利進(jìn)行，對(duì)于分段貯存或整體貯存的裝備系統(tǒng)，在裝備交付的同時(shí)需配備一定數(shù)量的組件。裝備組件在貯存過(guò)程中，受環(huán)境因素和維修管理措施的影響，會(huì)引起貯存組件失效或性能下降，導(dǎo)致不可用，組件完好的數(shù)量隨著貯存時(shí)間的增長(zhǎng)呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢(shì)，如圖2所示，圖中：t為貯存時(shí)間；n為組件完好數(shù)量；N0為初始組件完好的數(shù)量。

圖1 裝備組織結(jié)構(gòu)

圖2 組件可用數(shù)量隨時(shí)間變化

1.2 模型假設(shè)

一般情況下，新型裝備技術(shù)密集，信息化、集約化程度高，在新型裝備批量交付初期，裝備保障部門(mén)難以配齊相應(yīng)的維修設(shè)備和具有對(duì)應(yīng)維修能力的技術(shù)人員。在裝備保障現(xiàn)場(chǎng)，較難開(kāi)展故障組件的維修和裝備原位維修，對(duì)裝備的維修僅具備換件維修能力。另外一方面，裝備的重要組件通常為非貨架產(chǎn)品，需要組織專(zhuān)門(mén)的生產(chǎn)線(xiàn)進(jìn)行生產(chǎn)，訂貨周期通常較長(zhǎng)。因此，在裝備交付時(shí)，需建立組件的初始庫(kù)存以滿(mǎn)足貯存期內(nèi)裝備的故障維修。為了方便研究，本文在進(jìn)行建模和優(yōu)化時(shí)做如下假設(shè)：① 貯存期內(nèi)不考慮組件的再補(bǔ)給；② 裝備發(fā)生故障僅進(jìn)行換件維修；③ 貯存期內(nèi)的故障組件無(wú)法修復(fù)；④ 裝備是否處于完好狀態(tài)僅與各組件是否處于完好狀態(tài)有關(guān)；⑤ 當(dāng)組件到壽或故障后，必然出現(xiàn)故障，如有組件可換，故障裝備可及時(shí)恢復(fù)完好；⑥ 在裝備修復(fù)過(guò)程中，裝備是不完好的。

在裝備保障領(lǐng)域，戰(zhàn)備完好率是裝備保障部門(mén)關(guān)注的重要綜合性指標(biāo)，對(duì)于一定數(shù)量的裝備而言，戰(zhàn)備完好率的要求可以轉(zhuǎn)換成裝備完好數(shù)量上的要求。為了衡量貯存期內(nèi)任意時(shí)刻提供某一具體數(shù)量可用裝備的能力，本文引入達(dá)標(biāo)概率這個(gè)指標(biāo)。達(dá)標(biāo)概率定義為貯存期t內(nèi)，裝備完好數(shù)量n大于等于某一規(guī)定數(shù)量M的概率，記為P(n≥M)。達(dá)標(biāo)概率反映的是裝備戰(zhàn)備完好率達(dá)到某一水平的概率，衡量的是裝備戰(zhàn)備完好性水平。若將達(dá)標(biāo)概率的門(mén)限值記為P0，P0為對(duì)組件初始貯存方案的達(dá)標(biāo)概率指標(biāo)要求，只有滿(mǎn)足P(n≥M)≥P0的貯存方案才是合格的方案。

2 初始貯存方案評(píng)估模型

裝備組件從交付入庫(kù)到其無(wú)法正常工作之間的時(shí)間間隔稱(chēng)為貯存壽命。貯存壽命呈現(xiàn)出一定的規(guī)律如服從指數(shù)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布等常見(jiàn)分布[20]。

2.1 常見(jiàn)壽命分布組件可靠度

2.1.1 指數(shù)型組件可靠度

將貯存壽命T服從指數(shù)分布的組件稱(chēng)為指數(shù)型組件，記作T～Exp(μ)，其中μ為平均貯存壽命，則該單元在貯存時(shí)間t的可靠度函數(shù)為

(1)

2.1.2 對(duì)數(shù)正態(tài)型組件可靠度

將貯存壽命T服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的組件稱(chēng)為對(duì)數(shù)正態(tài)型組件，記作T～LN(μ,σ2)，其中μ為對(duì)數(shù)均值，σ為對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。該組件在貯存時(shí)間t的可靠度函數(shù)為

(2)

2.1.3 威布爾型組件可靠度

將貯存壽命T服從威布爾分布的組件稱(chēng)為威布爾型組件，記作T～W(α,b)，其中尺度參數(shù)α>0，在工程上形狀參數(shù)b≥1。該組件在貯存時(shí)間t的可靠度函數(shù)為

(3)

2.2 初始貯存方案評(píng)估模型

若組件i的初始貯存數(shù)量為si，該組件在貯存時(shí)間t內(nèi)的任意時(shí)刻完好數(shù)量為n，則該組件完好的數(shù)量n≥M的達(dá)標(biāo)概率為

(4)

式中:Ri(t)為組件i在t時(shí)刻的貯存可靠度函數(shù)；M為規(guī)定的最低完好數(shù)量，顯然需si≥M。

對(duì)于由I類(lèi)組件構(gòu)成的裝備，各組件之間為串聯(lián)關(guān)系，若各組件的初始貯存方案為s=[s1,s2,…,si,…sI],在t時(shí)間內(nèi)的任意時(shí)刻，該類(lèi)裝備完好的數(shù)量為n，n≥M的達(dá)標(biāo)概率為

(5)

3 初始貯存方案優(yōu)化模型與算法設(shè)計(jì)

對(duì)于初始貯存方案優(yōu)化問(wèn)題，建立模型時(shí)以貯存時(shí)間t內(nèi)的任意時(shí)刻，完好裝備數(shù)量大于M的概率指標(biāo)為約束條件，以尋求組件初始貯存方案的購(gòu)置費(fèi)用最低為優(yōu)化目標(biāo)。數(shù)學(xué)模型為

(6)

式中:ci為單個(gè)第i項(xiàng)組件的購(gòu)置費(fèi)用。

本文以達(dá)標(biāo)概率值為約束條件，運(yùn)用邊際優(yōu)化方法求解上述模型，具體步驟如下：

步驟1初始化所有組件的貯存數(shù)量，令各組件貯存的初始數(shù)量，即方案s各項(xiàng)元素為M。

步驟2計(jì)算第i項(xiàng)組件的邊際效益值：

δ(i)={P(s+ones(i)|n≥M)-P(s|n≥M)}/ci

式中：ones(i)為一維數(shù)組，第i項(xiàng)元素為1，其他元素皆為0。

步驟3將δ(i)最大值所對(duì)應(yīng)的組件i配置數(shù)量加1,由此得到新的組件初始貯存方案矩陣s。

步驟4計(jì)算在新的貯存方案下，裝備在貯存時(shí)間t內(nèi)的任意時(shí)刻，裝備完好數(shù)量n大于M的概率P，并與規(guī)定的概率P0比較，如果P≥P0，算法結(jié)束，此時(shí)s為最優(yōu)配置結(jié)果；反之則轉(zhuǎn)步驟2繼續(xù)迭代運(yùn)算。

邊際優(yōu)化算法相比其他優(yōu)化算法操作簡(jiǎn)單、運(yùn)算速度快、結(jié)果精度高，其最大優(yōu)勢(shì)在于算法迭代的整個(gè)過(guò)程中不丟失最優(yōu)解，即能夠保障整個(gè)費(fèi)效曲線(xiàn)上的每個(gè)點(diǎn)都是最優(yōu)解，便于決策人員對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析和調(diào)整[21]。該算法在以備件短缺數(shù)為約束條件的備件優(yōu)化配置研究中得到了廣泛的應(yīng)用，并取得了良好的效果。

4 算法復(fù)雜度分析

衡量算法是否具有較高的計(jì)算效率需要分析其算法復(fù)雜性。算法復(fù)雜性中，時(shí)間復(fù)雜度是衡量其計(jì)算效率的有效度量。針對(duì)3種可能的優(yōu)化方法，算法復(fù)雜性分析如下：

2) 智能優(yōu)化算法。若采用遺傳算法為主程序生成組件配置方案。設(shè)嵌套法需迭代iter次，每代產(chǎn)生種群大小為num，則其時(shí)間復(fù)雜度T2=O(iter·num·(log2num+1))，其中，O(iter·num·log2num)為遺傳算法本身的時(shí)間復(fù)雜度。

3) 本文算法。由第3節(jié)模型優(yōu)化步驟可知，在算法迭代過(guò)程中，每次迭代均需遍歷計(jì)算每類(lèi)組件的邊際效益值，其時(shí)間復(fù)雜度為O(J)；而優(yōu)化方法的迭代次數(shù)同樣與組件種類(lèi)密切相關(guān)，組件種類(lèi)越多，迭代次數(shù)越多，迭代過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度為O(J)，本文優(yōu)化算法的時(shí)間復(fù)雜度為T(mén)3=O(J2)。

縱觀(guān)3種算法的時(shí)間復(fù)雜度，當(dāng)組件種類(lèi)和數(shù)量規(guī)模較大時(shí)，有T1>T2>T3，而現(xiàn)有保障方案涉及組件種類(lèi)和數(shù)量一般較多，上述不等式顯然成立，可得本文算法計(jì)算效率較高。

5 算例分析

假設(shè)某裝備由6類(lèi)組件組成，各組件的壽命分布類(lèi)型及參數(shù)如表1所示。

表1 裝備組件清單及相關(guān)參數(shù)

初始貯存期一般為1～3年， 令貯存期為t=3年，在建立初始庫(kù)存時(shí)，各組件的數(shù)量均為10，則在貯存期內(nèi)，各組件的可用數(shù)量變化如圖3所示。由圖3可知，隨著貯存時(shí)間的增長(zhǎng)，各類(lèi)組件的可用數(shù)量逐漸降低，不同類(lèi)型的組件失效規(guī)律不同，組件2的可用數(shù)量下降幅度最高，組件6的可用數(shù)量下降幅度最低。裝備可用數(shù)量與可用數(shù)量最低的組件保持一致。若在建立的初始庫(kù)存中各組件的配置數(shù)量不加區(qū)分地同等看待，即各組件的配置數(shù)量相同，并不能保證裝備的可用數(shù)量一定最大。在組件貯存過(guò)程中應(yīng)結(jié)合其貯存失效規(guī)律合理配置組件的種類(lèi)和數(shù)量，以使在組件采購(gòu)費(fèi)用最低的情況下裝備可用數(shù)量最高。

圖3 不同組件完好數(shù)量隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

若裝備由6類(lèi)不同類(lèi)型的組件組成，其分布類(lèi)型和可靠性參數(shù)如表1所示，組件初始貯存方案為[16,18,14,12,13,15]，在3年貯存期內(nèi)的任意時(shí)刻，將各組件的可用數(shù)量大于或等于11的達(dá)標(biāo)概率評(píng)估結(jié)果與模擬貯存過(guò)程進(jìn)行多次仿真的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，表1中指數(shù)型、對(duì)數(shù)正態(tài)型及威布爾型3種不同類(lèi)型的組件，分別取一型進(jìn)行分析，如圖4 ～圖6所示。將整個(gè)貯存期內(nèi)裝備可用數(shù)量大于或等于11的達(dá)標(biāo)概率的評(píng)估結(jié)果與模擬貯存過(guò)程進(jìn)行多次仿真的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖7所示。

圖4 指數(shù)型組件1達(dá)標(biāo)概率評(píng)估曲線(xiàn)

圖5 對(duì)數(shù)正態(tài)型組件3達(dá)標(biāo)概率評(píng)估曲線(xiàn)

圖6 威布爾型組件5達(dá)標(biāo)概率評(píng)估曲線(xiàn)

圖7 裝備達(dá)標(biāo)概率評(píng)估曲線(xiàn)

將各圖解析算法的計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可知，本文建立的模型能夠較好地對(duì)各種不同壽命分布的組件及裝備在給定貯存方案下，貯存期內(nèi)任意時(shí)刻的達(dá)標(biāo)概率進(jìn)行評(píng)估，具有較高的精度，與仿真結(jié)果基本重合，解析結(jié)果真實(shí)可信。

對(duì)于各組件參數(shù)由表1描述的裝備，要求在貯存期t內(nèi)的任意時(shí)刻，裝備完好數(shù)n≥M的概率P(n≥M)不低于閾值P0。已知：t=3，M=11，P0=0.91，按照第3節(jié)邊際優(yōu)化的算法，計(jì)算滿(mǎn)足要求的各組件最小貯存量。

表2為貯存方案的優(yōu)化過(guò)程，給出了每一步迭代計(jì)算的各組件的邊際效益值和增加組件的編號(hào)。如在原始貯存方案[11,11,11,11,11,11]下，組件1～6的邊際效益值分別為7.1×10-7，1.7× 10-6，5.6×10-7，1.2×10-6，1.2×10-6，1.2× 10-7，如表2所示，選取邊際效益值最大的組件即組件2數(shù)量加1，得到貯存方案[11,12,11,11,11,11]，計(jì)算其達(dá)標(biāo)概率是否滿(mǎn)足指標(biāo)要求，若不滿(mǎn)足則繼續(xù)迭代，計(jì)算各組件的邊際效益值，將邊際效益值最大的組件加1；若滿(mǎn)足則停止迭代，輸出對(duì)應(yīng)的組件貯存方案，如此循環(huán)迭代，最終得到貯存方案[18,20,15,17,16,13]即為滿(mǎn)足指標(biāo)要求的最優(yōu)方案。按照該方案配置各組件的貯存數(shù)量，裝備在3年的貯存期內(nèi)，可用數(shù)量大于11的概率為0.916，大于指標(biāo)要求，組件購(gòu)置費(fèi)用為3 598.6萬(wàn)元。

表2 各組件貯存方案優(yōu)化過(guò)程

對(duì)比圖3表示的各可用組件數(shù)量隨貯存時(shí)間的變化情況，組件可用數(shù)量下降幅度由高到低依次為組件2、組件1、組件4、組件5、組件3和組件6。相應(yīng)地，若需要配置的組件數(shù)量滿(mǎn)足可用裝備數(shù)量大于某一固定值的要求，則需要配置的組件數(shù)量由高到低對(duì)應(yīng)的組件編號(hào)依次為組件2、組件1、組件4、組件5、組件3和組件6。觀(guān)察所得優(yōu)化方案[18,20,15,17,16,13]，各組件的初始貯存數(shù)量符合這一規(guī)律，較為合理。

在該算例中，如果采用窮舉法，待選方案數(shù)量至少為106個(gè)；采用本文算法，則最多只需33×5= 165次計(jì)算即可得到滿(mǎn)足要求的、效費(fèi)比高的貯存方案。圖8中黑色曲線(xiàn)上的各數(shù)據(jù)點(diǎn)表示表2中優(yōu)化迭代過(guò)程每一步所得貯存方案的費(fèi)用及其對(duì)應(yīng)的達(dá)標(biāo)概率，顯示了各優(yōu)化方案對(duì)應(yīng)的達(dá)標(biāo)概率和費(fèi)用的變化過(guò)程，可用于回答“當(dāng)達(dá)標(biāo)概率指標(biāo)要求P0確定后，至少需要多少經(jīng)費(fèi)采購(gòu)組件”的問(wèn)題。圖8藍(lán)色曲線(xiàn)各數(shù)據(jù)點(diǎn)表示的是以窮舉法產(chǎn)生的組件貯存方案對(duì)應(yīng)的達(dá)標(biāo)概率和購(gòu)置費(fèi)用，由該圖可知，本文優(yōu)化過(guò)程形成的曲線(xiàn)是采用窮舉法形成曲線(xiàn)的外包絡(luò)曲線(xiàn)。這意味著同等購(gòu)置費(fèi)用下，優(yōu)化后的方案的達(dá)標(biāo)率最高，即為性?xún)r(jià)比最高的方案。

圖8 窮舉法及本文算法計(jì)算的貯存方案效費(fèi)曲線(xiàn)對(duì)比

分別采用窮舉法、智能優(yōu)化算法和本文算法求取符合達(dá)標(biāo)概率指標(biāo)要求的最優(yōu)組件配置方案，求取結(jié)果和計(jì)算時(shí)間如表3所示。由3種不同算法的計(jì)算結(jié)果可知，3種方法均能求得符合要求的最優(yōu)方案，但本文算法的計(jì)算時(shí)間最少，這與第4節(jié)進(jìn)行的算法復(fù)雜性分析的結(jié)果一致。當(dāng)涉及組件種類(lèi)較多，配置數(shù)量較大時(shí)，本文算法的優(yōu)勢(shì)將更加明顯，具有更強(qiáng)的適用性。

表3 各優(yōu)化算法的運(yùn)行結(jié)果時(shí)間對(duì)比

6 結(jié) 論

1) 針對(duì)“長(zhǎng)期貯存，一次使用”的裝備，開(kāi)展組件初始貯存方案評(píng)估及優(yōu)化問(wèn)題研究。分析了不同壽命分布貯存單元的可靠度模型，建立了貯存期內(nèi)組件及裝備完好數(shù)量評(píng)估模型；該模型能夠在組件貯存方案確定之后，評(píng)估貯存期內(nèi)各組件以及裝備完好數(shù)量滿(mǎn)足某一規(guī)定數(shù)值的概率。

2) 以裝備數(shù)量達(dá)標(biāo)概率指標(biāo)為約束條件，組件購(gòu)置費(fèi)用為優(yōu)化目標(biāo)，建立了組件初始貯存方案優(yōu)化模型，提出了基于邊際效益值的方案優(yōu)化算法。該優(yōu)化算法能夠在組件購(gòu)置費(fèi)用最低的情況下選出符合約束條件的方案，具有較高的計(jì)算效率，適合計(jì)算多種類(lèi)、大批量的組件初始貯存方案。提出的模型和優(yōu)化算法可擴(kuò)展至2層以上的裝備結(jié)構(gòu)，為裝備保障人員制定合理的裝備組件貯存方案提供決策支持。