圖說(shuō)五種常用的數(shù)學(xué)教學(xué)法

【特別策劃：新青年數(shù)學(xué)教師工作室專欄】

編者按：新青年數(shù)學(xué)教師工作室成立于2006年，現(xiàn)有來(lái)自全國(guó)20多個(gè)省（自治區(qū)、直轄市）的骨干教師80余人。十余年來(lái)，該工作室傳承新青年精神，響應(yīng)新時(shí)代號(hào)召，致力于“為全國(guó)青年數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展服務(wù)，做青年數(shù)學(xué)教師最好的專業(yè)成長(zhǎng)伙伴”，已發(fā)展成為具有一定影響力的青年數(shù)學(xué)教師學(xué)術(shù)共同體。從本期起，本刊開(kāi)設(shè)“新青年數(shù)學(xué)教師工作室”專欄，特邀新青年數(shù)學(xué)教師工作室的成員分享數(shù)學(xué)教育教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以期為廣大一線教師教學(xué)提供幫助。

【摘 要】數(shù)學(xué)教學(xué)法是教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)基本技能，發(fā)展數(shù)學(xué)才能等的方式和方法。數(shù)學(xué)教學(xué)法對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目的，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量起到重要的作用。研究者通過(guò)圖說(shuō)數(shù)學(xué)主題教學(xué)法、數(shù)學(xué)“情境—問(wèn)題”教學(xué)法、數(shù)學(xué)研究型教學(xué)法、基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)法、HPM教學(xué)法等五種常用的數(shù)學(xué)教學(xué)法，幫助教師形象直觀地了解和理解復(fù)雜、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)教育原理，提高課堂教學(xué)效益。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)方法;主題教學(xué)法;數(shù)學(xué)文化;教育理論

【作者簡(jiǎn)介】劉祖希，華東師范大學(xué)出版社副編審，新青年數(shù)學(xué)教師工作室主持人，全國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)方法論研究交流中心副秘書(shū)長(zhǎng)兼學(xué)術(shù)委員會(huì)副主任，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。

《數(shù)學(xué)寫(xiě)真集——無(wú)需語(yǔ)言的證明》一書(shū)由許多“無(wú)需語(yǔ)言的證明”的圖片組成，書(shū)中許多“證明”——圖形令人拍案叫絕，充分顯示了：“有什么比用插圖來(lái)展現(xiàn)一個(gè)個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)更好的主意呢？”[1]因此，筆者通過(guò)圖說(shuō)五種常用的數(shù)學(xué)教學(xué)法，幫助教師形象直觀地了解和理解復(fù)雜、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)教育原理。

一、數(shù)學(xué)主題教學(xué)法

跨章節(jié)的主題教學(xué)，也稱單元教學(xué)、整體教學(xué)，越來(lái)越受到人們的重視，那么如何進(jìn)行數(shù)學(xué)主題教學(xué)設(shè)計(jì)呢？ 一般來(lái)說(shuō)，主題教學(xué)設(shè)計(jì)可

大致分為三個(gè)階段和五個(gè)環(huán)節(jié)（如圖1）。三個(gè)階段包括：前期準(zhǔn)備、開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)修改。五個(gè)環(huán)節(jié)包括：確定主題內(nèi)容，分析教學(xué)要素，

編制主題教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)主題教學(xué)流程，評(píng)價(jià)、反思及修改。其中的“分析教學(xué)要素”環(huán)節(jié)是主題教學(xué)設(shè)計(jì)前期準(zhǔn)備階段的重點(diǎn)環(huán)節(jié)，也是“編制主題

圖1 主題教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)”環(huán)節(jié)的前提。其包括六個(gè)方面：教學(xué)內(nèi)容分析、課程標(biāo)準(zhǔn)分析、學(xué)情分析、教材分析、重難點(diǎn)分析、教學(xué)方式分析。[2]171-172

教師在實(shí)施數(shù)學(xué)主題教學(xué)法時(shí)，需注意以下辯證關(guān)系。

（1）新舊教學(xué)法的辯證。主題教學(xué)法并非全新的教學(xué)法，20世紀(jì)80年代已廣泛出現(xiàn)在我國(guó)中小學(xué)各學(xué)科的課堂之上。現(xiàn)在重新重視它的理由是為了深化以主題教學(xué)為載體的學(xué)科教學(xué)，將其上升到學(xué)科教研的統(tǒng)領(lǐng)地位，而不僅僅作為課堂教學(xué)的方法和手段。

（2）主題教學(xué)目標(biāo)、課程教學(xué)目標(biāo)、課時(shí)教學(xué)目標(biāo)三者之間是中觀、宏觀、微觀的辯證關(guān)系。主題教學(xué)法強(qiáng)調(diào)知識(shí)的邏輯性、系統(tǒng)性，相較于課時(shí)教學(xué)法，其課程內(nèi)容開(kāi)始走向封閉的學(xué)科知識(shí)，課程難度明顯加大。如果學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)缺乏必要的生活經(jīng)驗(yàn)作為支撐，就會(huì)感受不到課程內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)意義，難以產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。因此，主題教學(xué)法要與課時(shí)教學(xué)法結(jié)合使用，兩者相輔相成。

二、數(shù)學(xué)“情境—問(wèn)題”教學(xué)法

2000年，貴州師范大學(xué)呂傳漢、汪秉彝教授提出中小學(xué)數(shù)學(xué)“情境—問(wèn)題”教學(xué)法（如圖2）。

該教學(xué)法源于1997—1999年貴州師范大學(xué)與美國(guó)華人數(shù)學(xué)教育學(xué)者蔡金法教授合作開(kāi)展的中美學(xué)生“數(shù)學(xué)問(wèn)題提出與解決”的跨文化研究。它是植根于中國(guó)、具有中國(guó)特色并借鑒了發(fā)達(dá)國(guó)家先進(jìn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)代課堂教學(xué)法。數(shù)學(xué)“情境—問(wèn)題”教學(xué)法包括以下四個(gè)環(huán)節(jié)。

（1）設(shè)置數(shù)學(xué)情境。數(shù)學(xué)情境已成為一節(jié)數(shù)學(xué)課的起點(diǎn)，這一要求被寫(xiě)入了我國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》。數(shù)學(xué)情境是滋養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的土壤，觀察和分析數(shù)學(xué)情境是下一個(gè)環(huán)節(jié)——提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)。

（2）提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。這一環(huán)節(jié)經(jīng)過(guò)探究和猜想，發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且所提出的問(wèn)題又可以作為一個(gè)新的數(shù)學(xué)情境。發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題與下一個(gè)環(huán)節(jié)——解決數(shù)學(xué)問(wèn)題相互補(bǔ)充。

（3）解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。這一環(huán)節(jié)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)分析和解決問(wèn)題。但這一環(huán)節(jié)并非問(wèn)題的結(jié)束，允許和鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解答提出不同的意見(jiàn)，從而產(chǎn)生（發(fā)現(xiàn)）和提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（4）注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用。這一環(huán)節(jié)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題，其本身也是一個(gè)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程中也可以提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而一個(gè)好的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題又構(gòu)成一個(gè)好的數(shù)學(xué)情境。

綜上所述，數(shù)學(xué)“情境—問(wèn)題”教學(xué)法的四個(gè)環(huán)節(jié)密切聯(lián)系，相互依存，構(gòu)成了“情境—提問(wèn)—解決—應(yīng)用—情境……”的教學(xué)鏈，這是一個(gè)前后貫通，不斷延伸的、開(kāi)放式的、動(dòng)態(tài)的教學(xué)系統(tǒng)。具體教學(xué)中既可以從某一環(huán)節(jié)切入，也可以在某個(gè)適當(dāng)?shù)沫h(huán)節(jié)結(jié)束。簡(jiǎn)而言之，數(shù)學(xué)“情境—問(wèn)題”教學(xué)法是以數(shù)學(xué)情境為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)問(wèn)題為紐帶的教學(xué)[3-5]。

三、數(shù)學(xué)研究型教學(xué)法

浙江臺(tái)州教研室的特級(jí)教師李昌官博士提出了數(shù)學(xué)研究型教學(xué)法（如圖3），該教學(xué)法與創(chuàng)造性思維過(guò)程吻合、與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和年齡特征吻合、與培養(yǎng)核心素養(yǎng)的目標(biāo)吻合。

數(shù)學(xué)研究型教學(xué)法包括五個(gè)環(huán)節(jié)。

（1）呈現(xiàn)背景，提出問(wèn)題。這一環(huán)節(jié)中教師通過(guò)設(shè)置現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境或科學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出與教學(xué)目標(biāo)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。此環(huán)節(jié)的教學(xué)功能是幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景和意義，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力。

（2）聯(lián)想激活，尋求方法。這一環(huán)節(jié)中教師引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)合理聯(lián)想、激活知識(shí)儲(chǔ)備、調(diào)動(dòng)已有經(jīng)驗(yàn)，探索解決問(wèn)題的思路和方法。此環(huán)節(jié)的教學(xué)功能是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)技能、思想方法、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探究，并綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。

（3）提出猜想，驗(yàn)證猜想。在這一環(huán)節(jié)中，教師鼓勵(lì)學(xué)生用歸納、類比等合情推理的手段，大膽提出問(wèn)題的結(jié)論（猜想）或解決方案，執(zhí)行并適時(shí)調(diào)整方案，最終驗(yàn)證結(jié)論（猜想）或解決問(wèn)題。此環(huán)節(jié)的教學(xué)功能是培養(yǎng)學(xué)生“大膽假設(shè)，小心求證”的科學(xué)精神，享受科學(xué)探索與發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣。

（4）運(yùn)用新知，鞏固內(nèi)化。在這一環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等）及思想方法，解決例題或教師布置的新任務(wù)，在運(yùn)用中辨析它們的內(nèi)涵與外延，鞏固內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)。此環(huán)節(jié)的教學(xué)功能是引導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中深化對(duì)新知識(shí)的理解，同化新舊知識(shí)，形成新的數(shù)學(xué)技能。

（5）回顧反思，拓展問(wèn)題。在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生借助教師提供的框架，自主回顧、梳理本節(jié)課的知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感體驗(yàn)，反思問(wèn)題與不足，提出有待解決或更有價(jià)值的問(wèn)題。此環(huán)節(jié)的教學(xué)功能是更新與完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，增長(zhǎng)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到數(shù)學(xué)育人的目的。

數(shù)學(xué)研究型教學(xué)法的五個(gè)環(huán)節(jié)是針對(duì)多數(shù)教學(xué)內(nèi)容而言的，根據(jù)實(shí)際教學(xué)過(guò)程又能演繹出多種“變式” [6]。

四、基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)法

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)[2]9。

雖然我國(guó)關(guān)于數(shù)學(xué)文化的學(xué)術(shù)研究已經(jīng)開(kāi)展了很多年，但這大概是首次給出的數(shù)學(xué)文化的官方定義。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》還要求把數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)從學(xué)術(shù)到課程的轉(zhuǎn)變[7]。

浙江師范大學(xué)張維忠教授等給出了基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)法，該教學(xué)法包括四個(gè)環(huán)節(jié)：經(jīng)驗(yàn)觸動(dòng)、數(shù)學(xué)化理解、多領(lǐng)域滲透、回顧反思（如圖4）。

其中每個(gè)環(huán)節(jié)都立足于特定的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，建立與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)應(yīng)用、其他學(xué)科知識(shí)、社會(huì)文化知識(shí)等的聯(lián)系，并依賴學(xué)生個(gè)人經(jīng)驗(yàn)、尊重學(xué)生主體地位，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)三因素（數(shù)學(xué)、教師、學(xué)生）的互動(dòng)與整合。

基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)法具有開(kāi)放性、過(guò)程性、文化性、整合性等特點(diǎn)。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用該教學(xué)法需注意其適切性[8]。

五、HPM教學(xué)法

HPM是History and Pedagogy of Mathematics（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）的簡(jiǎn)稱，其主要是利用數(shù)學(xué)史促進(jìn)數(shù)學(xué)教育。1972年，在英國(guó)埃克塞特舉辦的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME2）上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)關(guān)系國(guó)際領(lǐng)導(dǎo)小組，HPM作為一個(gè)研究領(lǐng)域正式出現(xiàn)。

國(guó)內(nèi)較早進(jìn)行HPM研究的是華東師范大學(xué)張奠宙教授。1998年，他去法國(guó)馬賽參加了HPM會(huì)議，回國(guó)后即撰文介紹HPM，呼吁國(guó)內(nèi)重視數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用。此后HPM在我國(guó)蓬勃發(fā)展。

汪曉勤教授研究團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)了100多個(gè)HPM教學(xué)案例，總結(jié)了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)（HPM）的課例研究流程（如圖5），形成了HPM教學(xué)法，具體案例可參考本刊特設(shè)專欄“HPM課例研究”。

汪曉勤教授研究團(tuán)隊(duì)還探索出一條高校教師、中小學(xué)教師（包括教研員）和職前教師（數(shù)學(xué)師范生）相結(jié)合的合作研究模式，形成了“一二三四五六”框架的HPM教學(xué)理論，即一個(gè)視角（在HPM視角下進(jìn)行教學(xué)）、兩座橋梁（數(shù)學(xué)與人文、歷史與現(xiàn)實(shí)）、三維目標(biāo)（教師專業(yè)發(fā)展的三個(gè)維度——知識(shí)、信念和能力）、四種形式（附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式）、五項(xiàng)原則（趣味性、科學(xué)性、可學(xué)性、有效性、人文性）、六大價(jià)值（呈現(xiàn)知識(shí)之諧、展示方法之美、營(yíng)造探究之樂(lè)、揭示文化之魅、提供能力之助、彰顯德育之效） [9]。

教貴有法，教無(wú)定法。本文圖說(shuō)的五種常用的數(shù)學(xué)教學(xué)法僅供參考，教師可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際選用不同的，甚至多種的教學(xué)法，提高課堂教學(xué)效益。

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[4]呂傳漢，汪秉彝.再論中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（4）：72-76.

[5]楊孝斌，呂傳漢，汪秉彝.三論中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（4）：76-79.

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[7]劉祖希.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》之新變[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（25）：1.

[8]張維忠，徐曉芳.基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)模式構(gòu)建[J].課程·教材·教法，2009 （5）：47-50.

[9]汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

（責(zé)任編輯：陸順演）