特殊化：兒童數(shù)學(xué)思考的腳手架

葉娟

摘?要：從特殊到一般，從具體到抽象，這是人們普遍遵循的認(rèn)知規(guī)律。特殊化是兒童在解決問(wèn)題的時(shí)候常常會(huì)用到的方法，是兒童探尋一般規(guī)律的起點(diǎn)，也是兒童數(shù)學(xué)思考的腳手架之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)關(guān)注兒童的思考過(guò)程，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法，讓數(shù)學(xué)思考真發(fā)生。

關(guān)鍵詞：特殊化;兒童;數(shù)學(xué)思考;腳手架

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ????文章編號(hào)：1992-7711（2020）07-054-2

辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論認(rèn)為：從特殊到一般，從具體到抽象，這是人們普遍遵循的認(rèn)知規(guī)律。在小學(xué)階段，當(dāng)兒童面對(duì)抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用“以退為進(jìn)”的策略，通過(guò)特殊的情形、簡(jiǎn)單的事例來(lái)探尋問(wèn)題的結(jié)論，這是普遍存在的不容忽視的兒童們的真實(shí)的數(shù)學(xué)思考方式之一。我們稱(chēng)這樣的思想為特殊化思想。特殊化既是一種思想，也是一種方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。依據(jù)波利亞所說(shuō)“特殊化是從考慮一組給定的集合過(guò)渡到該集合中一個(gè)較小的集體或僅僅一個(gè)對(duì)象。”特殊化在中學(xué)乃至大學(xué)的解決問(wèn)題中被廣泛地應(yīng)用著。我們常常會(huì)聽(tīng)到所謂的“投機(jī)取巧”、“笨辦法”、“不知道行不行”。仔細(xì)一想，其實(shí)用的就是特殊化：兒童數(shù)學(xué)思考的腳手架。

腳手架，是建筑單位為了確保各施工過(guò)程順利進(jìn)行而搭設(shè)的工作平臺(tái)。本文的“腳手架”則是指在課堂教學(xué)中，教師設(shè)置的比較直觀的、貼近學(xué)生思維的支點(diǎn)，以幫助學(xué)生從現(xiàn)有發(fā)展水平向潛在發(fā)展水平過(guò)渡。

一、搭建腳手架的緣起——從兒童思考中來(lái)

1.問(wèn)題

長(zhǎng)方形ABCD的面積是24平方厘米，P是BC邊上任意一點(diǎn)，求三角形ADP的面積。剛讀完題，有學(xué)生迫不及待地問(wèn)：老師，點(diǎn)P可以在線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)的位置嗎？立刻，學(xué)生們的表情：驚喜、豁然開(kāi)朗、期待……

五年級(jí)下配套練習(xí)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：甲、乙兩數(shù)都是自然數(shù)，并且甲÷乙=6，甲和6的最大公因數(shù)是（）。三個(gè)選項(xiàng)：A.甲;B.乙;C.6，正確答案是C。年級(jí)各班錯(cuò)誤率均超過(guò)40%，以選B的居多，個(gè)別選A。

2.相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)。可能的錯(cuò)誤原因分析：1.審題不清，當(dāng)成求甲和乙的最大公因數(shù)了。2.題目表述較抽象，學(xué)生不清楚甲和6也是倍數(shù)關(guān)系，兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是6。

3.課堂回放

師：讀完題你知道了什么？

生：甲是乙的6倍。

師：是的，還知道什么？問(wèn)我們什么？

生：?jiǎn)柤缀?的最大公因數(shù)是多少。

師：你有什么要提醒大家的？

生：是甲和6的最大公因數(shù)，不是甲和乙的最大公因數(shù)。

師：很好，說(shuō)說(shuō)你是怎么想的？

生：由甲÷乙=6，我們可以知道甲÷6=乙，甲是6的乙倍。所以甲和6也是倍數(shù)關(guān)系，所以甲和6的最大公因數(shù)是6。（觀察學(xué)生表情：有明白、也有懵圈的，的確乍聽(tīng)有些繞。）

師：這位同學(xué)說(shuō)的很清楚，明白了嗎？此處應(yīng)該有掌聲。

一個(gè)學(xué)生怯生生地說(shuō)：我是把甲當(dāng)作12，乙當(dāng)作2來(lái)想的。12和6的最大公因數(shù)是6，所以我選6。（再觀察學(xué)生表情：哦，這么簡(jiǎn)單？）

師：還能再舉一些例子嗎？

生：甲÷乙=6

12÷2=6

18÷3=6

24÷4=6

30÷5=6（依據(jù)學(xué)生回答相機(jī)板書(shū)）

36÷6=6

……

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：不管甲乙分別是多少，甲都是乙的6倍。

師：這叫“賦值法”，是一種特殊化的思想。這種方法可以幫助我們探索規(guī)律，在今后的學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到。我覺(jué)得也應(yīng)該給這位同學(xué)掌聲。“推理法”、“賦值法”、“列舉法”等等，都是很有用的數(shù)學(xué)方法，它們的背后都蘊(yùn)藏著重要的數(shù)學(xué)思想。

從思維活動(dòng)的方向來(lái)看，“一般到特殊”的過(guò)程是強(qiáng)抽象，其實(shí)際是演繹推理，這個(gè)過(guò)程比較直接，但不易理解，對(duì)思維水平要求高一些;而“特殊到一般”的過(guò)程是弱抽象，其實(shí)際是歸納推理的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程比較直觀，更貼近學(xué)生的思維水平，更容易理解。

二、特殊化方法的運(yùn)用——到問(wèn)題解決中去

一個(gè)問(wèn)題在普遍意義上難以識(shí)別與掌握，在特殊情況下往往清楚明白。既然如此，我們何不順應(yīng)兒童的思考，從兒童最直接，最能想得到的地方開(kāi)始，一步一步引導(dǎo)，讓思考由點(diǎn)到線再到面，把問(wèn)題理解得更透徹？

這樣一個(gè)問(wèn)題困擾了許多學(xué)生：“上山速度為每小時(shí)12千米，下山速度為每小時(shí)18千米，問(wèn)上山下山平均速度為每小時(shí)多少千米？”（12+18）÷2=15（千米/時(shí)）這個(gè)答案是最不假思索的。然而，用特殊化賦值法一算：

總路程36千米，36×2÷（36÷12+36÷18）=14.4（千米/時(shí)）

總路程120千米，120×2÷（120÷12+120÷18）=14.4（千米/時(shí)）

總路程240千米，240×2÷（240÷12+240÷18）=14.4（千米/時(shí)）

……

正確的上山下山平均速度為14.4千米/時(shí)。

用了特殊化這個(gè)腳手架，學(xué)生不僅解決了問(wèn)題，而且對(duì)這類(lèi)問(wèn)題認(rèn)識(shí)得更加深刻。一個(gè)特殊化是特殊化，諸多的特殊化就為走向一般化提供了可能。特殊化可以快速、準(zhǔn)確的解決問(wèn)題，但不可以以偏概全。特殊化不僅可以使問(wèn)題轉(zhuǎn)化，而且能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的解決辦法，揭示問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律和探求問(wèn)題的結(jié)果。羅增儒教授說(shuō)特殊化是解決問(wèn)題的突破口，是尋找思路的策略，是解題的方法。

特殊化原本就與學(xué)生靠得很近。求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)先判斷兩個(gè)數(shù)是否互質(zhì)，兩個(gè)數(shù)是否有倍數(shù)關(guān)系，當(dāng)都不符合的時(shí)候再去分解因數(shù)。用特殊化可以解決很多問(wèn)題：行程問(wèn)題、歸一問(wèn)題、平面圖形面積等，不再一一舉例。

特殊化可以把需要解決的問(wèn)題中的問(wèn)題和條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換，拓開(kāi)思路，從而解決問(wèn)題，探索出結(jié)論。運(yùn)用“特殊化”的關(guān)鍵是“過(guò)渡”，在小學(xué)數(shù)學(xué)所遇到的問(wèn)題中主要有賦值特殊化、選取特定對(duì)象特殊化以及縮小范圍特殊化幾種，從上面的例子可以窺見(jiàn)一斑。

三、關(guān)注思考過(guò)程，關(guān)注思想方法——回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

特殊化是兒童數(shù)學(xué)思考的腳手架，但并不是終極目標(biāo)。正如生活中我們所見(jiàn)的腳手架是要拆除的一般。運(yùn)用特殊化，需要教師基于對(duì)目標(biāo)的把握，適當(dāng)引導(dǎo)，從而真正達(dá)到在數(shù)學(xué)思考、思維提升、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。

1.從兒童出發(fā)，關(guān)注思考過(guò)程

用特殊化方法算出的結(jié)果和用推理得到結(jié)論的同學(xué)是都值得肯定的。從上述例子可以看到，賦值法通過(guò)巧妙賦值，使問(wèn)題數(shù)值化、直觀化、簡(jiǎn)單化、特殊化，從而使問(wèn)題得以很好的解決。賦值法在解題中具有廣泛的應(yīng)用和獨(dú)特的價(jià)值。往往在缺少條件的時(shí)候，用這種方法可以幫助我們降低解決問(wèn)題的難度。有種撥開(kāi)迷霧見(jiàn)月明的效果。

每位學(xué)生的思維發(fā)展程度不同，每位同學(xué)的考慮角度不同，每位學(xué)生的元認(rèn)知不同，正所謂百花齊放。我們需要尊重他們的思考，適當(dāng)放大他們的想法，不能急于評(píng)價(jià)哪種方法好，哪種方法不好，更不應(yīng)用褒貶之詞如“聰明方法”與“笨辦法”來(lái)形容。數(shù)學(xué)思想方法沒(méi)有孰優(yōu)孰劣之分，思考的路徑不同，方法不同，殊途同歸，各有優(yōu)勢(shì)。適合兒童的，符合兒童認(rèn)知規(guī)律的方法就是好方法。堅(jiān)信這樣的理念與從兒童出發(fā)是一致的。俗話說(shuō)不管黑貓白貓逮著老鼠便是好貓。孩子的方法值得我們研讀，值得我們尊重。在解決問(wèn)題時(shí)，不能太固化學(xué)生的想法，更不能用成人的思考強(qiáng)加給學(xué)生。從兒童出發(fā)，關(guān)注思考過(guò)程，給特殊化的兒童以特殊化。

2.從兒童出發(fā)，關(guān)注思想方法

2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出“四基”即：基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，基本經(jīng)驗(yàn)，基本數(shù)學(xué)思想。在舊版課標(biāo)的基礎(chǔ)上增加了基本經(jīng)驗(yàn)和基本數(shù)學(xué)思想。可見(jiàn)，基本數(shù)學(xué)思想的受重視程度。

每種思想方法都有其作用和數(shù)學(xué)價(jià)值。特殊化作為一種數(shù)學(xué)思想方法的存在，其價(jià)值毋庸置疑。關(guān)注不同的數(shù)學(xué)思想方法是心中有數(shù)學(xué)本質(zhì)的表現(xiàn)，是從兒童出發(fā)的體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的關(guān)鍵，我們需要學(xué)生有價(jià)值的思考點(diǎn)，設(shè)計(jì)有利于放大有價(jià)值的數(shù)學(xué)思考的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將這種“思考形式”內(nèi)化為深層次的“數(shù)學(xué)思考”。雖然證明的過(guò)程是形式的，但對(duì)證明的理解是直觀的;雖然邏輯的基礎(chǔ)是基于公理的，但思維的過(guò)程是歸納的。為了實(shí)現(xiàn)這樣的教學(xué)過(guò)程，我們需要更多地關(guān)心學(xué)生的思考過(guò)程，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：南京市鼓樓區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇 南京210000）