在多維空間討論利息
——對建構“經濟學統一場”的場方程的思考

陳 勇 勤

(中國人民大學 經濟學院，北京 100872)

古希臘的亞里士多德在“被視為一本經濟學”的《政治學》中寫道，“錢貸”或“放債”是“從作為交易的中介的錢幣身上取得私利。為了交易方便人們使用貨幣，而錢商竟然強使金錢增殖。這顯示了希臘人常說的‘子息’這個用詞的真意……本錢誕生子錢，所謂‘利息’正是‘錢幣所生的錢幣’。由此我們可以認識到，在致富的各種方法中，錢貸確實是最不合乎自然的”[1]10,13。英國學者配第在1690年出版的《政治算術》一書中提道：“貸款的利息，在50年前每百磅為10磅，40年前降為8磅，現在則跌至6磅。但是，利息的降低卻不是任何為這個目的而制定的法律所造成的，現在只要有有利的擔保，便能借到利息更低的貸款，因為利息的自然降低是由于貨幣增加的結果。”[2]74配第把利息看作貨幣的租金。同時期另一位英國學者諾思把利息看作資本的租金，認為利息高低取決于借貸資本的供求量。18世紀英國學者中，馬西認為利息取決于利潤，休謨認為利息率高低與貨幣數量無關，斯圖亞特認為利息率差異會影響金銀在國際間的流動。同時期法國學者杜爾哥從“有息借貸只是一種商業交易”角度認為，利息高低取決于有關雙方自由協議。18—19世紀英國經濟學家中，斯密和李嘉圖對利息論述都不多，但一致認為利息率取決于利潤率。在18世紀意大利學者加里阿尼的利息即“貼水”基礎上，19世紀后期奧地利經濟學家龐巴維克提出“時差利息論”。

如果說開創微觀經濟學的19世紀末20世紀初英國經濟學家馬歇爾并未特別關注利息(“古典學派的利息率理論……它是哺育我們所有這些人的，而且直到最近我們還無保留地予以承認的經濟思想……在馬歇爾的《經濟學原理》里，找不到像以上那樣直截了當的說法。”[3]161-162)，那么開創宏觀經濟學的20世紀前期英國經濟學家凱恩斯則表現出對利息非常重視。我們的討論就從這里開始。

一、利息率與儲蓄量、投資量

凱恩斯的名著《就業、利息和貨幣通論》在1936年出版，書名中就醒目地直接點出“利息”。在第十四章“古典學派的利息率理論”里，凱恩斯談道：

古典學派的傳統把利息率當作一個使投資的需求與儲蓄的意愿彼此達到均衡的因素。投資代表對投入資源的需求，儲蓄代表可投入資源的供給，利息率則是能使這二者相等的可投入資源的“價格”。正像商品的價格一樣，它決定于對它的需求與對它的供給相等之點。利息率也必然會在市場力量的作用下使投資量與儲蓄量相等之點。[3]161

不同于相信儲蓄和投資實際上是能夠不相等的新古典學派，古典學派則接受了二者相等的觀點……一致之處，可以概括為古典學派會接受而我也不會反對的一個命題，即：假設收入水平是既定的，那么，我們可以推斷說，現行的利息率必須處于一點，在該點，相應于不同利息率的資本需求曲線與相應于不同利息率的既定收入的儲蓄量曲線相交。[3]164

但是，正是在這點上，確定的錯誤的東西就慢慢進入到古典學派的理論中了……古典學派的理論不僅忽視了收入水平變化的影響，而且還包含有條理上的錯誤。[3]164-165

古典派的利息率理論似乎假定：如果資本需求曲線移動，或者體現利息率對既定收入中儲蓄量的關系的曲線移動，或者這兩條曲線同時移動，則新的利息率就由這兩條曲線的交點的新的位置來決定。但是，這是一個荒謬的理論，因為該理論所假定的收入不變和它關于兩條曲線能夠相互獨立地移動的假設是矛盾的……這種假設頂多只能適用于與長期均衡有關的情況，而不能形成短期理論的基礎；甚至在長期中，也沒有理由認為，這種假設能夠成立。真實情況是：古典學派理論并沒有想到收入水平的變化所起的作用，或者沒有意識到收入水平實際上是投資量的函數的可能性。[3]165-166

古典學派理論所使用的函數：投資量對利息率的變動的反應與既定收入下的儲蓄量對利息率的變動的反應，都不能為利息率理論提供所需要的材料。但是，它們能夠被用來告訴我們：在既定的……利息率條件下，收入水平將如何；或者換另一種說法，即：如果收入被保持在一個既定的水平……利息率將如何。

古典學派的錯誤來源于把利息率當作等待的報酬，而不是把它看成不貯藏貨幣的報酬。[3]167

傳統的分析是錯誤的，因為它未能把經濟體系的自變量正確地隔離出來。儲蓄和投資是由經濟制度所決定的因素，而不是決定經濟制度的因素。它們是經濟制度的決定因素所導致的后果。這些因素是：消費傾向，資本邊際效率表和利息率。這三個因素本身的確是復雜的，而且每一個因素都會由于其他兩個因素的未來的變化而受到影響……它們仍然是自變量。傳統的分析知道儲蓄取決于收入，但卻忽略了收入取決于投資的事實。其形式是：當投資改變了，收入必然改變，改變的程度是能使儲蓄的變化等于投資的變化。

重要的結論是：新投資的產量將會推進到一點，在該點，資本的邊際效率將等于利息率；而資本邊際效率表告訴我們的不是利息率如何，而是在既定利息率條件下，新投資的產量將被推進到那一點。

這里所討論的問題具有最基本的理論意義和頭等的實踐重要性，因為經濟學家們賴以對實際問題提出建議的經濟學原理，總是設想：假定其他條件不變，消費減少，利息率會趨于下降；投資增加，利息率會上升。但是，如果上述二者所決定的不是利息率，而是就業總量，那么，我們對經濟體系運行機制的看法將會有深刻的變化。因為在其他條件不變的情況下，如果把消費愿望的減退不當做增加投資的因素，而當做減少就業量的因素，這就代表著對消費愿望減退的看法有著很大的分歧。[3]169-170

凱恩斯提醒學界同行們注意，投資與消費的反比關系，既有可能決定利息率，又有可能決定就業量。這正是《就業、利息和貨幣通論》的書名中也醒目地直接點出“就業”的原因之所在。

二、多個變量與多維空間

二元及二元以上的函數統稱為多元函數，但二維被單稱為平面，而三維及三維以上的空間統稱為多維空間。

三元函數對應于三維空間。以此類推，n+2元函數對應于n+2維空間。

空間解析幾何中，如果把曲面看成是滿足某些條件的空間動點的軌跡，那么在空間直角坐標系下，可以建立空間曲面與包含3個變量的三元方程F(x,y,z)=0的對應關系，也可以建立空間曲面與包含多個變量(大于3個變量)的多元方程F(x,y,z,t,…)=0的對應關系。

如果把曲面看成是滿足某種條件的空間動曲線的軌跡，那么上述對應關系也成立。

理論物理學在試圖“統一所有已知的物理現象”方面提出了超空間理論或Kaluza-Klein理論、超引力理論、超弦理論，都是針對高維空間的假說。

三、利息的三個近似理論與數學方法

美國經濟學家費雪在1930年出版的《利息理論》一書中，給出利息的三個近似理論和相關的數學方法。利息的第一近似理論“假設每個人的收入川流已先預知，除非經由借貸不可改變”[4]88。“沒有借貸，因而也不會有市場利率……能夠互相交換其收入川流時……無數的時間偏好率或不耐率立即趨向于一個共同的百分率，在交易不帶有風險的假定下，事實上某種一律的市場利率將會建立起來。”[4]203對“第一近似理論的幾何說明”是，“如果我們把利率問題用圖形的方法來表示，則利率的決定可歸結為一個簡單的幾何問題，正如同價格問題可用供給與需求曲線來表示一樣”[4]204。對“第一近似理論的公式說明”是，從代數角度，用方程式來表明構成第一近似理論的若干原理，“方程式的解也就是利息問題的解”[4]253。

利息的第二近似理論“假設收入可通過借貸和其他方法進行變更”[4]110。對“第二近似理論的幾何說明”是，要特別關注圖形中的“投資機會線”[4]231-232。對“第二近似理論的公式說明”是，從代數角度，用方程式“來表明構成第二近似理論的六條原理”[4]266。“公式法的價值，特別是在于確切表明方程式的數目與未知數的數目相等，不用公式法，則決定變數的問題是不能完全解決的。”[4]275

利息的第三近似理論“假設收入不確定”[4]179。然而，第三近似理論“不適于數學表述”。費雪闡述了他的觀點：

像利率這樣一個受偶然性支配的東西，如果想把決定利率的規律，很有效地、很完整地用數學公式表示出來……這樣的公式……不會有多大價值。

在科學中，最有用的公式是應用于最簡單情形中的公式。

科學的決定絕不可能百分之百地正確。充其量，科學只能決定在假設的情形下所將要發生的事情。它絕不能準確地說明實際情形中正在或將要發生的事情。

我們必須放棄想完整地表述真正決定利率的各種影響的企圖，這是沒有用的工作。

攪亂的原因就不能這樣單純合理地予以表述。其中有些可根據經驗來進行研究……它們關系到統計學而非純粹經濟學。(這反映出)在經濟學中，合理的與經驗的規律……我們也可將……利率的實際動向看作是……合理規律與經驗上……政策連同無數其他制度的、歷史的、法律的與實際的因素所產生攪亂的復合物。

唯一特別重要的攪亂影響是關于不穩定的貨幣本位……但關于這一影響，理論與實際就大不相同了。不穩定貨幣的攪亂往往引起那些決定利率的基本力量的反常作用。

經驗問題的解決代表應用科學的最高理想。但在達到這一階段前，合理的科學與經驗的科學間仍有很大的距離，而且兩者須用多少有些不同的方法來研究。今天經濟科學在大多數問題上就是這種情形。[4]279-285

費雪的利息論從研究方法上推動了經濟學的發展。在凱恩斯的評論中，他認為，“雖然費雪教授在他的《利息理論》一書中沒有使用過‘資本邊際效率’這個名詞，但他對它稱之為‘超過成本的報酬率’下過定義。他的定義……在意義上和目的上和我使用‘資本邊際效率’這個名詞是完全一樣的”[3]128-129。

凱恩斯又指出：“費雪教授原先稱為‘增值與利息’理論……這個理論區分了貨幣利息率與實際利息率，經過貨幣價值矯正之后，后者等于前者……如果利息率隨著資本邊際效率的提高而同時相應地上升，那么，就不會有來自預期價格上升的刺激作用。因為對產量的刺激取決于既定資本存量的邊際效率對利息率的相對地提高。誠然，費雪教授的理論最好用‘實際利息率’這個概念來重寫。實際利息率應該定義為：由于貨幣未來價值預期的變化而導致的需要加以管理的利息率。管理的目的在于：使這種預期的貨幣價值的變化不致對現行產量產生任何影響。”[3]129-130

四、利息現象與貨幣學說

共25卷的《凱恩斯全集》是英國皇家經濟學會為紀念凱恩斯而出版的。第7卷的編者在“緒言”中提道：“《通論》的起源在于凱恩斯對他的《貨幣論》不滿”；劍橋大學經濟學者的一次聚會討論，“為《貨幣論》和《通論》之間演變的最初階段提供了一定基礎”；“最初指示凱恩斯在《貨幣論》和《通論》之間思想方向的重要出版物出現在1933年”[3]2。這正是《就業、利息和貨幣通論》的書名中又醒目地直接點出“貨幣”的原因之所在。

考察“利息和貨幣的主要性質”，凱恩斯說：“利息率不過是一定數量的貨幣”[3]206，“貨幣又是一個追求購買力的無底洞”[3]215。

旨在求解“哈恩難題”的新貨幣經濟學，是貨幣系統由技術創新到制度創新再到理論創新這一發展路徑的產物。僅就“貨幣數量的擾動性”而言，由于以電子資金轉賬為特征的無紙化貨幣使得銀行存款“份額”的數量與“計價單位”的數量正在走向分離，所以，在這個機制下，銀行存款份額數量——貨幣數量對經濟體系均衡的影響不再重要。即便如此，對“貨幣數量是利息率的函數”問題的研究不會結束。

五、利息率與匯率

Mundell-Fleming模型是考察價格不變和資本完全自由流動時利息率、匯率、國際收支與國民收入的關系。這個模型包含商品市場均衡式、貨幣市場均衡式、國際收支平衡式，三者分別寫作：

Y=C(Y-T)+I(r)+G+NX(e,Y)

B(e,Y)+K(r)=0

其中，r表示國內利息率，e表示匯率。Mundell-Fleming模型說明，均衡利息率不僅取決于國內產品供求和貨幣供求，而且取決于匯率和國際收支。

六、利息率與利潤率、價格

當“貨幣均衡與一般均衡”成為論題時，瑞典經濟學家米爾達爾認為，“貨幣均衡”與“市場利息率和自然利息率之間的關系”[7]48有關。在“凈收益是收益減去成本，收益率是凈收益除以收益”[7]60的前提下，米爾達爾說：“貨幣均衡的第一個條件是實際資本的收益率”，“利息率等于現有實際資本的收益率”[7]25。“在信用市場中，貨幣利息等于在一單位時期內支配一單位資本的成本。”[7]25

費雪對“利息率與價格”的論證。關于利息率與物價變動，費雪說：“在經濟學中，沒有別的問題比物價水平與利率關系的問題爭論得更熱烈了。”[4]351并且認為，“物價水平的預期變動確對貨幣利率有一定的影響”[4]351。關于利息率與物價變動率，費雪通過對數據的分析研究，指出：“至少在長時期內利率是跟隨著物價變動的。”[4]374關于短期利率與物價，費雪說：“物價與利息的變動似乎是受一個規律支配的，而不是像過去認為的那樣，短期和長期的變動是受兩個對抗的規律所支配。”[4]378關于利息率與物價指數，費雪通過對數據的分析研究，指出“在各長時期內，高或低的利率跟隨著高或低的物價跑”；“短期利率與季度指數的比較，沒有得到顯著的結果”[4]380。

如果說在一定程度上成本決定價格，那么費雪認為“利息作為成本”自然會引起我們注意。費雪指出：“必須用成本才能充分說明利息現象。”[4]430

瑞典經濟學家林達爾討論了“利息率和物價水平”。他說，“貨幣管理機構對物價水平施加影響所使用的最重要手段，乃是對銀行放款和存款厘定利息率”[8]132；“利息率作為保持穩定的物價水平的工具”[8]165，“利息率作為調整物價使其和生產力成反比例的工具”[8]184。

七、利息率與金融制度

我們知道，金融制度的變化會通過改變持幣成本而影響人們的持幣行為。而且，刻畫這種變動的變量是利息率。

林達爾說：“利息率政策可能包括兩個方面：調整一般利息率，把它提高或把它降低；對各種存款放款厘定有差別的利息率。”[8]132

對于“利息率與銀行準備”，費雪說：“在正常的情形下，銀行對利率所起的作用，只不過是傳播收入川流的影響。假如我們能夠科學地調節銀行準備的根本來源，即世界上對貨幣黃金的供給，則實際情形基本上也就是這樣的。如果世界黃金供給能加以調節，使得那些黃金的購買力從而貨幣單位的購買力能保持不變的話，我們就能依靠銀行適當地，即或是不自覺地，調節利率使之適合于一國的收入情況。”[4]397-400但“不幸的是，我們還沒有這樣科學的通貨制度，我們仍然遭受金融市場上每次風波的襲擊”[4]397-398。

關于“制度對利息率的影響”，費雪說：“如果我們一開始時便假定，在貨幣或信用經濟中對貨幣借貸所確定的市場利率，是唯一存在的利率，我們就面臨一個問題，需要說明為什么會有這樣的利率存在。制度本身不能說明它……制度與習俗是人們創造出來的……制度不能使人們的言行有所異于人。人所建立的和運用的制度，只不過是人所設計的一些工具，用來為他取得更容易、更豐富的滿足罷了……法律、黃金移動、證券交易所投機、銀行慣例與政策、政府財政、公司實務、投資信托以及許多其他因素對所謂金融市場都發生一定的影響，而利率就是由金融市場決定的。”[4]434-435

八、利息與超空間場和數學工具

如果說理論物理學有一個“愛因斯坦夢寐以求的‘物理學圣杯’統一場論”，那么理論經濟學或許也有一個“‘經濟學圣杯’統一場論”。當然，經濟學的“場”指經濟社會中可數字化的力的集合。這個“場”以人為中心，人又以“群”存在。多樣化、有思維的人力，多樣化、可使用的物力，次序性、可計量的時間，三者是“經濟學統一場”的基本元素。

場論是物理學的語言，由19世紀英國科學家法拉第首先引入。“簡單地說，場就是定義在空間每一點的數字的集合。這些數字完整地描述了所對應空間各點的力。”[9]29也可以說，“自然界所有的力都能被表述為場的形式”[9]29。

我們構思的“經濟學統一場”，它所針對的是“五維空間的經濟社會”。其中，有四維是客觀存在的，有一維是根據自然界的客觀存在而科學設定的。客觀存在的四維中，有兩維是各自可以獨立存在的，有一維是具有“由內向外”因素從而非獨立存在的，有一維是具有“由外向內”因素從而非獨立存在的。此外，科學設定的一維也是可以獨立存在的。

對應于我們假設的“五維空間的經濟社會”，具體還有：四維常時空，五維超時空。不過要注意，這里的“四維”不是前面說的“客觀存在的四維”，而是“常時空的四維”，它包括“各自可以獨立存在的兩維”“具有‘由內向外’因素從而非獨立存在的一維”“科學設定的一維”。顯然，在這一基礎上，“超時空的五維”就是“常時空的四維”加上“具有‘由外向內’因素從而非獨立存在的一維”。

“事實上，由于進化的原因，我們不可能目睹更高的維數。我們的大腦已經進化到能在三維之中處理大量的緊急事件……遺憾的是，人類并沒有需要把握在四個空間維度中運動的生存壓力。”[9]13對此，正如一位美國物理學家所言，由于“不能形象化地描述高維空間”，所以只能“退到了數學方程的世界中”，這表明“我們充其量只能利用數學技巧來一睹高維客體的影子”[9]13。

如果說“自然規律在高維空間表述時會變得更為簡單和優美”，“統一自然規律的關鍵步驟是增加時空的維數，從而能合理安排越來越多的力”，“在更高維中，我們有足夠的‘空間’來統一所有已知的物理力”；那么也可以設想，經濟社會的客觀規律“在高維空間表述時會變得更為簡單和優美”，“統一”經濟社會的客觀規律的“關鍵步驟是增加時空的維數，從而能合理安排越來越多的力”，“在更高維中，我們有足夠的‘空間’來統一所有已知”的經濟力[9]14。

“高維空間的發現最早開始于數學家黎曼。黎曼預料到科學在下一個世紀的發展，首先陳述了他的見解：大自然在高維空間幾何學中找到它的天然歸宿。”[9]1可以說，“黎曼工作的核心是使物理定律在高維空間的簡化得以實現”[9]1。黎曼在1854年發表的《論奠定幾何學基礎的假說》一文中提出：“建立多維量的概念”，“建立n維流形的概念”，對應“曲率”并“用曲面來幾何地描述”“n維流形中的度量關系”[10]243-253。

“對于黎曼而言，‘力’是幾何的結果。”同時，“黎曼推斷，電、磁和引力皆由我們的三維宇宙在看不見的第四維中起皺所致。因此，‘力’本身并不存在，它只是幾何畸變引起的明顯結果。通過引進第四個空間維，黎曼意外地發現自然規律在高維空間中表述時顯得簡單了……他就著手研究能夠表述這種思想的數學語言”[9]43。進一步，“黎曼的思想是在空間的每一點引進一組數，這組數將描述空間在這一點被撓曲或彎曲的程度”；“黎曼發現，在四維空間，人們需要在每一點引進一組10個數來描述它的性質。無論這個空間被弄皺或扭曲成什么樣子，在每一點的一組10個數已足以表達該空間的所有信息……這個數組被稱為黎曼度規張量”；“黎曼的度規張量使他建立了一種強有力的工具來描述具有任意曲率的任何維空間。他驚奇地發現，所有這些空間都能明確定義，而且也很自洽”[9]43。有待后人來完成的一個問題是，如何知道“為了產生引力，宇宙將被怎樣弄皺”，如何計算“為描述各種力而必須使空間褶皺多少”。總之，“黎曼運用幾何學即‘褶皺的超空間’來解釋‘力’的本質”，“利用法拉第的場概念或黎曼的度規張量去尋求超空間所遵循的場方程”[9]43。

對于經濟學來說，同樣負有“尋求超空間所遵循的場方程”這一任務。至于利息，它不過是“經濟社會超空間場”中一個力當中的一個分量(分力)而已。盡管“利息在經濟學中的地位”已被明確為：“利息在價值與價格理論中以及在分配理論中都起著重要的作用。在財富、財產與服務的價值(或價格)決定中，利率是根本不可缺少的。”[4]289

有兩個我們并不陌生的場方程。其中的一個，即：

另一個，即：

這是物理學的場方程。我們注意到它，是因為對我們建構“經濟學統一場”的場方程，或許有一定的啟示作用。