向量參數方程與杠桿原理的平面幾何應用研究

摘要：闡述了向量參數方程的基本內涵和杠桿原理的數學含義，分析了向量參數方程和杠桿原理在高中數學平面幾何教學中的應用案例，比較了應用向量參數方程和杠桿原理解決相同平面幾何問題的運算結果，提出了杠桿原理在高中平面幾何教學中的應用建議。

關鍵詞：高中數學;向量參數方程;杠桿原理;平面幾何;應用研究

中圖分類號：G633.6?????????? 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）08-081-1

隨著近代數學和物理學的快速發展，數學學科與物理學科的聯系更加緊密，很多數學問題都可以運用物理學的原理得以解決。筆者通過采取比較分析的研究方法，對比了向量參數方程和杠桿原理解決相同高中數學平面幾何問題，其運算結果高度一致。

一、向量參數方程的基本內涵

平面向量是指在二維平面內既有方向又有大小的量，物理學中也稱作矢量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。其基本定理為：如果e1和e2是一平面內的兩個不平行的向量，那么該平面內的任一向量a，存在唯一的一對實數a1，a2，使a=a1e1+a2e2。

以平面向量基本定理為依據，有如下引理：已知A，B是直線L上任意兩點，O是L外一點，則對直線L上任意一點P，存在實數t，使關于基底{OA，OB}的分解式為=（1-t）OA+t OB. ①，其中AP=t AB.并且滿足①式的點P一定在L上。由此，對直線L上任意一點P，一定存在唯一的實數t滿足向量等式①;反之，對每一個實數t，在直線L上都有唯一的一個點P與之對應。向量等式①叫做直線L的向量參數方程式，其中實數t叫做參變數，簡稱參數。

二、杠桿原理的數學含義

在“重心”理論的基礎上，阿基米德發現了杠桿原理，即“二重物平衡時，它們離支點的距離與重量成反比，計算公式為：動力×動力臂=阻力×阻力臂，即F1×L1=F2×L2。

杠桿原理用數學語言可以這樣描述：一條線段的點（支點）到兩端點的距離之比等于這條線段的兩個端點的受力之反比，即L1L2=F2F1;支點所承受的力等于兩端點受力之和，即Fo=F1+F2。

三、應用分析

應用向量參數方程和杠桿原理解決高中數學相同平面幾何問題。

例1：如圖，AF：FC=1：x，BD：DC=1：y，求AE：AD的值。

1.應用向量參數方程求解

設AB=a，AC=b.

由引理得AD= （1-t）a+t b①，其中BD=t BC，所以t=11+y，代入①式，有AD=y1+ya+11+yb，那么AE=λ AD=λy1+ya+11+yb，另一方面，同理得AE=（1-s）a+ s AF= （1-s）a+s1+xb，這樣由平面向量基本定理有

2.應用杠桿原理求解

以D為支點，BC為杠桿，設B處掛有1kg物體，由杠桿原理mBBD=mcDC，得mC=1/y kg，mD=mE+mC=（1+1/y） kg。同理由mAAF=mCFC，得mA=x/y kg，mAAE= mDED，得AE：ED=（1+y）/x，從而AE：AD=（1+y）/（1+y+x）。同樣也可以求出BE：BF的值。

例2：如上圖，BD：DC=4：1，AF：FC=2：5，求AE：ED的值。

1.應用向量參數方程求解

運用上述結論，由已知得BD：DC=1：1/4 ，AF：FC=1：5/2，其中y=1/4，x=5/2，所以有AE：ED= （1+y）/x = （1+1/4）/（5/2） =1/2.

2.應用杠桿原理求解

設mE=1kg，由BD：DC=4：1得mC=4kg，進而mD=5kg，由AF：FC=2：5得mA=10kg，從而AE：ED =mD/mA=1/2 .

通過以上比較分析，得出如下結論：應用向量參數方程和杠桿原理在解決相同高中數學平面幾何問題時，其運算結果一致，重現性好，可以逐步推廣。

應用杠桿原理解決數學問題的方法簡單易行，效果良好。因此，在高中數學教學過程中，教師要結合高中課程改革的新要求，積極探索不同學科間的聯系、融合、滲透與應用，不斷提升學生的創新能力，促進學生的全面發展。

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[2]徐耀，虞關壽.杠桿原理與平面向量問題[J].中學數學教學，2017.03：45-48.

作者簡介：欒德權（1988.08-），男，遼寧沈陽人，一級教師，研究方向：高中數學教學與教學法研究。

（作者單位：沈陽市第二十七中學，遼寧 沈陽 110011）