高職高等數學《定積分的概念》教學設計

王萌

《高等數學》是一門很重要的公共基礎性學科。其重要的原因不僅在于可以學到一些數學概念、公式和結論，為其他數學課和專業課的學習打好基礎，更重要的是通過學習高等數學可以培養人的理性思維的品格和思辯能力，能啟迪智慧，開發創造力。接下來我將從設計理念、教學背景、教法與學法、教學過程、創新與亮點幾個方面談談自己的設計思路和想法。

1 設計理念

構建主義教學觀認為，教學不能無視學習者已有的知識經驗，不能簡單的強硬地從外部對學習者實施知識的“強灌”，而應該把學習者原有的知識經驗作為新的知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中主動構建新的知識經驗。所以我分析教材，分析學生，根據學生現狀及不同專業對高等數學的需求，制定教學目標，確定重難點，根據這些確定教學流程、教學方法。我重視學生的自主參與能力，重視學生自主探究能力和創新能力的培養，激勵學生積極思維，大膽思考，動手實踐。并力爭線上、線下相結合，運用信息化教學手段教學，形象展示數學的魅力，讓學生感覺到數學有用，從而激發學生學數學的興趣，提高學生“用數學”的能力。

2 教學背景

2.1 教材分析

2.1.1課程定位：

《高等數學》是高職（專）院校所有學科的一門公共基礎理論課。通過本課程的學習，使學生獲得夠用的微積分、向量代數及空間解析幾何的基本知識、必要的基礎理論和常用的運算方法，為學習后續課程，特別是專業課程的學習和進一步擴展數學知識奠定必要的基礎。

2.1.2 本節課在《高等數學》中的地位作用：

《定積分的概念》是高等數學中最主要的經典理論，是學生進入“積分”世界必須跨過的第一道門檻，這一思想的理解直接關系到應用定積分思想解決現實問題的能力。這節課上承導數、不定積分，下接定積分在幾何、物理、經濟、電工學等其他學科中的應用。

2.2 學生分析

2.2.1 知識結構特點：由于各種原因，學生數學基礎參差不齊，整體對數學的理解力有待提高，排斥過多的理論知識，喜歡自主學習，對新概念新內容有強烈的求知欲。

2.2.2 信息化水平：95后，數字土著。對電腦、手機等電子產品能熟練操作且興趣濃厚，喜歡在手機上進行學習。

2.2.3 性格特點：比較自我，不喜歡被支配，不喜歡傳統的教育方式，卻喜歡自己發現探究。

2.3 教學目標

2.3.1 知識目標：通過探求曲邊梯形的面積，使學生了解“分割、近似代替、求和、取極限”的思想方法;從而理解、掌握定積分的概念、幾何意義和性質。

2.3.2 能力目標：通過類比“窮竭法”“割圓術”，引導學生萌發“以直代曲”的想法，逐步培養學生的辨證思維能力和知識遷移的能力;

2.3.3 情感目標：從實踐中創設情境，滲透“化整為零，積零為整”的辨證唯物觀;激發學習熱情，強化參與意識，培養嚴謹的學習態度。

2.4 重點難點

重點：理解定積分的概念和思想，掌握曲邊梯形的面積求法。

難點：掌握“以直代曲”和“漸進逼近”的思想形成過程。

解決辦法：案例引入概念，以問題驅動，小組討論，淡化理論，借助網絡、多媒體，結合圖形教學，遵循循序漸進的認知規律。

3 教法與學法

3.1 教法方面

本節課對于高職學生來說，難度很大，教學時力求從學生的已有知識和實際學習情況及自身特點出發設計本課。課端采用任務驅動法和討論法完成劉徽“割圓術”和阿基米德“窮竭法”的相關作業;課前采用問題驅動法引入新課（規則圖形面積，不規則圖形面積）;課中案例驅動法和小組討論法完成求曲邊梯形面積和變速直線運動的路程兩個案例的學習，突破重難點;課中典型例題分析法（例題1、2、3）應用新知，課尾總結歸納法鞏固要點。

3.2 學法方面

學生課前問題學習法（從網上查找劉徽“割圓術”和阿基米德“窮竭法”的相關資料，在學習通平臺上回答劉徽是怎么求出圓的面積的等相關問題），使“以曲代直”思想在學生心中萌芽;課中引導學生利用發現法、小組討論法解決案例一，課中自主探究法、小組討論法解決案例二，課中小結歸納法總結出概念，課末利用練習法鞏固加深理解。

4 教學過程

課前任務驅動查閱資料→課端創設情境引入新課→課中案例一重點精講，突破難點→類比討論法解決案例二，對比發現得出概念→課中經典例題鞏固練習→課尾課堂小結鞏固要點→課末布置作業課后拓展七個環節，現分述如下：

4.1 課前翻轉課堂，利用學院信息化教學平臺

4.1.1 老師在學習通平臺上發布任務：在網上查閱劉徽生平及“割圓術”、阿基米德和“窮竭法”。回答：

（1）劉徽是怎么樣求出圓的面積的？

（2）阿基米德是怎么樣求由拋物線y=x2與直線x=1，y=0所圍成的平面圖形的面積？

4.1.2 查看平臺上本節課的相關教學資料，預習新課。

4.2 課端創設情境導入

點評課前學生學習的結果，贊揚大家積極參與的行為。同時老師提問題：

①如何求三角形、矩形、梯形和圓的面積？

②PPT投放大湖，田地等不規則圖形，這樣的面積怎么求？比如：一個圖形中有直線和曲線（用圖片展示出曲邊梯形），結合圖形給出曲邊梯形的定義，提出問題：如何求曲邊梯形的面積？

4.3 課中問題驅動法精講案例一，突破重難點

問題1： 如何求曲邊梯形的面積？

關鍵點：求曲邊梯形面積的難點在于如何處理這條曲線，而這條曲線是連續的，教師引導學生回顧連續函數的定義，從而得知曲邊梯形的高f（x）在很小一段區間上變化很小，近似于不變。因為學生已經回答課前問題，肯定又學生會說出思路：曲邊梯形→若干窄曲邊梯形→若干窄矩形近似代替，老師立刻組織小組討論，匯報（也就是我們說的分割→近似代替→求和）。

問題2：既然是近似值就會用誤差，用什么方法可以使誤差盡量減小？

學生自主討論，教師在大屏幕上投放兩張圖片（一張是將曲邊梯形四等分，一張是將曲邊梯形九等分），引導啟發學生最終得出整個思路：“分割→近似代替→求和→取極限”。

問題3：如何用數學表達式最終寫出曲邊梯形的面積公式？

根據“分割→近似代替→求和→取極限”這一思路，全班分組討論后，各小組派代表展示自己結果，教師及時再給予評價（評價多以表揚和鼓勵為主）。最后，教師作總結，板書其過程。

4.4 類比、討論法求解變速直線運動的路程

對于案例2“變速直線運動的路程”知識點的學習，是以學生為主體，學生根據案例1的思想方法，在老師的啟發之下通過類比、小組討論討論完成，變速直線運動的路程之后，小組將完成的結果進行展示互相評價，對共性的問題老師進行講解，對個別問題進行個別指導。

接下來老師引導學生去觀察兩個案例的解決過程和結果，發現拋去它們的實際意義單純從數學的角度看，所用的方法完全相同，并且最終都歸結為結構相同的和式極限。教師指出在實際應用中，還有很多問題的解決也可以采用這種方法，數學上把這種和式的極限值稱為定積分，進而引出定積分的概念。（強調定義中的兩個任意：分割是任意的，小區間上的點是任意取的），鼓勵學生用定積分的形式寫出曲邊梯形梯形面積和變速直線運動路程的表達式。（分小組展示）

4.5 典型例題鞏固所學

例1、用定積分表示，及直線和所圍成的曲邊梯形的面積。

例2、利用定積分的定義計算的值。

4.6 課尾課堂小結鞏固要點

總結：梳理知識、鞏固重點

（1）回顧求曲邊梯形面積的四個步驟：分割、近似代替、求和、取極限

（2）回顧定積分作為和式極限的概念

（3）加深概念理解的幾個注意點

4.7 課末布置作業課后拓展

（1）課本作業

（2）思考：課端大湖、田地等不規則圖形的面積如何計算？

5 創新與特點

這節課屬于概念教學，遵循概念教學的五流程：體驗概念（課前）、提煉概念（兩個案例）、形成概念、鞏固概念和應用概念。分四個階段來實施：感知階段、理性認識階段、概況階段和應用階段。

5.1 課前任務驅動法：根據學生特點合理利用信息化教學手段，布置開放式作業（劉徽割圓術和阿基米德窮竭法），通過線上線下學習萌發微積分思想;也使課堂上的學生討論能按老師預設的方向進行，從而得到正確結論。

5.2 課中案例分析法和問題驅動法，使得環環緊扣：從兩個案例引入，步步問題，步步緊逼，當問題解決時，概念自然出現，把晦澀難懂概念直觀化、形象化，讓學生有一種“水到渠成”之感，保證重難點的突破。

5.3 恰當使用多媒體PPT引導啟發學生思路。（分割曲邊梯形面積時）

5.4 教學過程中師生互動，生生互動，充分調動學生的學習主動性。

（作者單位：甘肅鋼鐵職業技術學院基礎教學部）