美國數學教育家楊格的數學價值觀

王海雯 汪曉勤

摘要：美國著名數學教育家楊格認為，數學對自然科學的產生與發展起著重要的作用，為不同文化背景下的人們相互尊重、理解和包容創造了條件，具有科學價值、應用價值、文化價值、智育價值、審美價值和德育價值。對他的數學價值觀進行深入的考察，有功于數學教師更好地理解數學課程標準，更好地引導學生樹立正確的世界觀、價值觀和人生觀。

關鍵詞：楊格 數學價值觀 數學史

一、引言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》在“課程目標”中指出：通過高中數學課程的學習，學生能提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力;樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神……認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。這就要求新時代的數學教師對數學的四類價值有深刻的理解。

歷史上，從古希臘開始，西方學者對數學的價值有過長期的討論?？偫ㄆ饋?，有訓練思維、發展智力、獲得真知、現實應用、美化心靈、消遣娛樂、懲戒浮躁等。②但關于數學價值的全面、系統的總結和分析并不多見。20世紀上半葉，美國著名數學教育家楊格（J. W.A.Young，1865 1948）在其The Teaching of、Mathematics in the Elementaryand the seccndary school（《中小學數學教學》）一書中用整整一章的篇幅來論述數學學習的目的與價值。楊格在讀博期間從事數學研究，后來成為芝加哥大學數學和數學教育學教授。③出版于1907年的The Teaching of Mathematics in theEIementary and the secondary school（《中小學數學教學》）一書，奠定了楊格在數學教育學領域的權威性和影響力，書中不僅研究了基于學生認知需求的數學學科的邏輯價值和實際應用，而且探索了成為一名成功數學教師的有效課堂教學方法。楊格認為，除非是作為一切知識的載體和一切交流的媒介，任何科目都不能僅僅因為其本身的內容而理所應當地成為每門中小學課程的基本要素，或成為每一個學生的必然要求，每一門學科都有著更廣泛的功能。對于教師來說，給學生講清他所教授學科的價值，可能是一種臨時的需求，但他自己弄清他的學科的功能，卻是永久的、必不可少的需求;理想的教學，需要教師不僅知道“教什么”“怎么教”，還要知道“為何教”。①

那么，楊格總結了數學的哪些價值？本文擬對他的關于數學價值的觀點進行深入的考察，以幫助今天的數學教師更好地理解課程標準中所提及的數學的各種價值。

二、數學的價值

（一）科學價值

數學的科學價值，是指數學對自然科學的產生與發展的作用和意義。②德國哲學家康德在其《純粹理性批判》一書中指出：“任何一門自然科學，只有當它能應用數學工具進行研究時，才能算是一門發展漸趨完善的真實科學?！雹蹢罡駨臄祵W對于探究自然的重要作用出發，來論述數學的科學價值。楊格認為，中學數學中很少有什么知識不是對自然界中存在的定量關系進行數學刻畫的結果。

楊格指出，如果沒有數學知識，哪怕是最簡單的自然現象也難以理解;深入探究自然之秘密，更是離不開數學。他引用數學家哈爾斯蒂德關于數學與自然科學關系的一段話：

除了顯微切片機、顯微鏡、觀察與實驗的統計學，這門新科學必須使用什么征服世界的工具呢？答案顯而易見：數學。這一科學邏輯之巨鉗讓牛頓（I.Newton，1643 1727）看到月球只不過是試圖落到他頭上的更大的蘋果，讓看不見的行星一海王星在亞當斯（J.C.Adams，1819 1892）的頭腦中閃閃發光，告訴瑞利（Rayleigh，1842 1919）化學家們一直在呼吸大量的氬氣卻一無所知，向門捷列夫（ Mendeleev，18341907）指明未知的化學元素的位置。通過亥姆霍茲（ H.L.F.von Helmholtz，1821 1894）及其學生赫茲（H.R.Hertz，1857 1894），她又給了我們勒納德射線、倫琴射線、鐳以及基于赫茲波的無線電電報技術。④

這段話充分說明了數學對于物理學、天文學和化學發現的重要作用。

楊格認為，自然現象最顯著的特征是變化，而數學中最重要的一個分支一微積分一就是研究變化的學科。楊格稱微積分為“自然之數學”。⑤17世紀，科學家們利用微積分探尋自然規律，取得了斐然的成就。對微積分的初步了解，讓人們在探索自然規律所取得的成果中感受到數學的魅力。⑥

楊格斷言，自然完全是數學化的，一些更精密的自然科學，特別是天文學和物理學，在理論階段基本上都有著數學的特征。當其他科學由于現象的復雜性和數據的不精確性而被迫停留在描述性和經驗性上時，天文學和物理學卻朝著數學的理想而發展一以自然現象背后存在數學關系為基本假設，若沒有發現和建立這些關系，任何結果都不足以成為這些學科的固定知識。⑦可見，如果沒有數學，理解自然科學將是非常困難的。

不僅如此，數學也是其他科學探究自然現象的基礎和延伸。楊格認為，數學在處理符號方面所給予的訓練為其他科學做了很好的準備。數學符號的出現使數學成為抽象化的科學，符號作為一種傳播思想的媒介在眾多學科的研究中發揮了不可或缺的作用。在物理學、化學和天文學等眾多學科中都有著數學的影子，學生在學習其他科目時能夠體會到數學的科學價值。

反過來，理解自然、研究自然科學也同樣推動著數學的發展。楊格認為，深入探尋自然奧秘的嘗試促進了數學理論和方法的不斷發展。數學上的許多概念、命題、思想、方法和理論，從最簡單的到最抽象的，都是出于研究自然的需要而產生的。這樣的例子比比皆是。比如，三角學源于天文計算和航海的需要，而歷法的編制導致了許多數學成果的誕生，如分數運算、勾股測量術、剩余定理、內插法、高次方程理論等。又如，生物學的發展離不開分析和探索遺傳規律，此時就需要用到豐富的數學理論。顯然，自然研究中的新問題催生了新的數學工作;反過來，新的數學發現又應用于自然科學的新的研究，促進著自然科學的發展。

（二）應用價值

楊格認為，數學在人類生活中有著不可替代的實際應用價值。事實上，從歷史上看，幾何學就是源于土地丈量;很多的代數和幾何理論都源于人們對于量的間接測量。無論把鐵器、蒸汽和電氣放到哪里，都會發現數學是先驅;如果數學這一支柱被移除，人類物質文明的大廈將不可避免地崩塌。

楊格指出，從事各種職業的人們都需要數學。他寫道：

你想當律師嗎？倘若你不能學會分析一個簡單的幾何命題，你又如何學會分析一個復雜的法律案件呢？你是歷史研究者嗎？倘若你連一個簡單代數關系中某個系數的影響都確定不了，你又怎能確定拿破侖對世界發展的影響呢？你是語言學家嗎？倘若你不能學會將一個瑣碎的“閱讀問題”翻譯成相應的數學符號語言，你又怎能夠將一部名著從一種語言翻譯成另一種語言呢？你想當醫生嗎？倘若你缺乏從一個初等方程中診斷和消去未知量所需的能力，你又怎能根據復雜而模糊的癥狀診斷和消除疾病呢？①

楊格還特別強調了數學符號對不同職業的重要意義：

世界上很多事務都是利用符號來完成的。從電話局里的女接線員到信號塔下的男指揮員，再到鐵路或其他大公司的總裁，都是坐在一間小小辦公室里，用符號指導一個龐大行業的無數活動，世間諸事都需要對符號的掌握。只有那些報酬最低、人們最不喜歡的職業才完完全全與實際事物打交道，職位的責任越大、越受青睞，符號就用得越多。運貨到商店的車夫，只處理實際的事物;但業主卻很少不用符號。在二十世紀，使用符號的能力哪怕對于小小的成功也是不可或缺的。②

數學的思維方式在現實生活中有著廣泛的應用。楊格舉了一個成功企業家的創業史。企業家首先從“水力”開始，認為有了水力，就能吸引制造商，于是，他建造了15000馬力的水渠，但制造商并沒有來。于是他又想，水力有了，加上五大湖所提供的運輸條件，如果擁有價格便宜的原材料，就會源源不斷地吸引投資。于是，在15萬平方英里的北方原野上，他找到了原材料一云杉，歐美用于造紙的樹木短缺，而那里卻有一望無際的云杉林，一千年都采不完，且30年就能再生，于是，他決定從事紙漿業。但由于價格昂貴，美國造紙商不愿意從加拿大購買紙漿，而把一半是水的紙漿運往歐洲成本又太高，于是，他決定制造干漿。由于沒有制造干漿的機器，他決定自造干漿機，最終取得成功。他又想使用亞硫酸來處理原材料，但需要有硫。于是，在鎳礦里，他找到了硫。但硫與黃鐵礦石是}昆合在一起的，當時并沒有將兩者分離開來的方法，于是他建了一個實驗室，召集世界各地的科學家和工匠做實驗，最終取得了成功。實驗室成功合成了鎳鋼合金，獲得了克虜伯鋼廠未來5年的訂單。由于礦石中所含的銅損壞了鎳鋼合金的功效，他又一次訴諸實驗室。要去掉銅，需要燒堿，而燒堿可從普通食鹽中提取?！@里，企業家的“如果有……就能……”的思考方式與數學家的“如果證明……就能……”是相似的。

在楊格看來，數學教科書應該充分重視數學的應用價值，且將數學應用于學生易于理解的現代工業、商業和科學問題之中。①對于學生而言，他們熱衷于探索能激起他們好奇心的問題，從中找出相應的問題解決策略，而更重要的是，這些策略能在日常生活中找到用武之地。

（三）文化價值

楊格從多元文化的視角論及數學的文化價值。他認為，數學乃是人類頭腦中固有的一種思想，隨著文明的發展而高度發展。無論出現于哪個文明，數學本質上都是一樣的，它可能有不同范圍，但總有相同的特征。只要條件相同，那么所得到的結果必然相同。如6X7，一個民族求得42，另一個民族不可能求得43。一個時代，人們發現直角三角形斜邊上的正方形的面積等于兩條直角邊上的正方形之和;另一個時代，人們不可能發現直角三角形斜邊上的正方形的面積等于另兩邊上正方形之和的兩倍。古代印度人所解決的問題，歐洲人許多世紀后才獨立解決，又過了幾個世紀后才發現這些問題很久以前早已經被更古老的文明所解決。

數學的特點決定了數學文化的多元性。打開數學歷史的畫卷，相關的例子比比皆是：勾股定理先后為古代的巴比倫、中國、埃及和印度人所發現;一元二次方程的解法為古代的兩河流域、印度和中國人所熟知;二項式系數表（算術三角形）分別出現于中世紀的中國、印度、阿拉伯和歐洲數學文獻中;古希臘數學家阿基米德發現并證明了球體積公式，但5世紀中國數學家祖咂、17世紀德國數學家開普勒、意大利數學家卡瓦列里、日本數學家關孝和等相繼獨立推導出同樣的公式;人們常常說起18世紀德國數學家高斯的等差數列的倒序求和法，殊不知13世紀中國數學家楊輝早已用幾何方法解決了同樣的問題。

對于數學歷史的深刻理解，讓楊格摒棄了“西方中心論”的偏見。可以說，在科學史家薩頓之前，楊格已經有了“科學統一性”的思想。數學思想為人類所共有，因而是不同文明互相交流的工具，為不同文化背景下的人們相互尊重、理解和包容創造了條件，這正是數學的文化價值之一。

（四）智育價值

楊格從思維方式的角度來討論數學的智育價值。他認為，數學乃是最典型、最清晰、最簡潔的思維方式，這種思維方式對于每一個人來說都是至關重要的。楊格的論述實際上已涉及我們今天所說的數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養。

其一，數學有助于培養學生抽象、一般化和分類的能力。初等數學中一般化的最引人注目的例子是數的概念：從整數概念相繼擴大到分數、無理數、負數和虛數。學生如果能從不同的關系中抽象出這些概念以及概念之間的聯系，那他們便插上了由繁入簡、以簡馭繁的翅膀，在日常生活和實踐問題的表征中翱翔。代數是對算術方法的一般化處理，幾何學中也有很多分類和一般化的情形。

其二，學生所有的想法和行為都受到有意識或無意識得出的結論的影響。楊格所說的思維方式，是指理解陳述、注意事實和推出結論。他認為，在任何合理的結論中，推理行為本身總是具有數學性質的，不管表面上有多偶然，實際上是它的先驗的必然結果，任何了解這種先驗性的人都可以從中做出合理的假設，并能夠在這種條件下厘清事件中的復雜關系。

其三，數學可以培養學生的空間想象能力。楊格認為，數學在想象力上有著持續的需要，它要求在空間中作圖，如果沒有越來越強的能力去想象一個給定情況下的各種可能性，并使它們在頭腦中浮現出來，就不可能取得相當大的成功。

（五）審美價值

楊格強調，數學的美一簡單、對稱、緊致、完整，即使是對兒童來說，可以并且理應成為典范。學生通常對擺在他面前的東西有足夠的鑒賞力，從而可以認識到所討論問題的重要性和價值。當該問題恰當而具體地呈現出來時，學生應獲得美的享受，而不是對丑陋和不愉快的厭惡。

數學有其自身的美一通過對過程和方法的精確調整使得結果沒有冗余。在楊格眼中，這非?？少F，并且只有在最美的作品中才能找到。他引用歌德的話來論證自己的觀點：歌德把一座高貴的大教堂稱為“凝固的音樂”，這是一種恰如其分的表達，但也許更恰當地應稱之為“石化的數學”。①確實，無論是建筑中的圖案還是音樂中的音符，無不是用抽象的符號語言來表達內容。數學一直是藝術家們取之不盡、用之不竭的寶貴的創造源泉。從斐波那契數列和圓周率的小數位數字，到四面體和莫比烏斯帶，都可以作為藝術家創作的靈感。在繪畫中，世界名畫《最后的晚餐》就是以幾何圖形為基礎而設計畫面，其中還利用了等邊三角形和透視學原理;在建筑中，舉世聞名的古希臘帕特農神廟的建造比例就用到了數學中黃金分割的方法;在版畫中，作品《紅蟻》就用到了莫比烏斯帶的數學知識，將空間之美展現得淋漓盡致;在音樂中，樂章中三和弦的不同音符的頻率共同構成了一個等比數列;在園林設計中，點、線、面、體等要素的排布就需要用到數學中的拓撲學概念，然后對空間進行建模分析。數學以其獨特的對稱美、抽象美、簡潔美等美學要素，融人世界的各個角落之中，在世界藝術寶庫中占據一席之地，有著極高的審美價值。

的確，數學與美學關系密切、聯系深刻，彼此之間互相汲取精神的養料，提升思想的境界，可謂相輔相成、相得益彰。當學生在科學審美的實踐活動中具備一定的科學鑒賞力，他們便可以憑借著數學中的審美原則和美學方法洞察世界，發現世界里獨具特色的巧妙之處。在這樣的感染和熏陶下，學生便會一步步地邁入神圣的學術殿堂，最終達到人格氣質的升華。因此，數學在學生逐步形成正確而鮮明的審美觀方面有著特別的意義，而這也體現了數學崇高的審美價值。

（六）德育價值

楊格認為，數學在形成和發展人的世界觀、價值觀和人生觀等方面具有獨特的意義和作用。他的論述涉及理性、信念、品質和情感等諸多方面。

其一，數學最重要的德育價值在于理性精神的培養。楊格寫道：

數學上并無權威可言，不存在什么人云亦云。每個人都有權利要求自己被說服，要求事情不半途而廢。一個新手的結論和數學家大會的結論是無分軒輊的，其正確與否只取決于證明的正確或錯誤，而與其背后的證明者無關。②

因此，學生無須盲目接受教師或書本提出的機械規則，他們可以勇敢地提出質疑。此外，數學為兒童提供了早期的機會去做出獨到的發現，加上它的結論是確定的并且早期的結論是容易掌握的，因此，它允許學習者從簡單的、非常容易的結論開始，并以良好的等級順序逐步發展到相當復雜的情形。這樣一來，學生從實際發現出發，不被個人情緒和偏見所左右，能做出更加理性的思考和判斷。在數學學習的過程中，學生還能夠提高把握形勢、明確事實、正確感知事態的能力。由此，數學不僅使人通情更使人達理，讓人能夠尊重但不盲從，禮贊卻不迷信。簡言之，數學思維在培養人的理性精神上是大有裨益的。

其二，學生有權盡可能多地被告知學習數學的用途和目的。如上所說，數學和生活息息相關，可以用來解決很多現實問題，是一門有用的學問。學生通過體會數學在實際生活中的意義和作用，樹立一定的數學信念和數學學習信念。這種信念可以是一種目標和追求，促使學生形成自己的人生觀和價值觀，進而成為其道德行為的內在動因，達到德育之效。

其三，數學是一門非常嚴謹的學科，學生需要對自己完成的工作進行嚴格的審查，即使是一個微小的失誤也會輕而易舉地暴露出自己工作中的問題。因此，在某種程度上，學生在學習這樣一門容不得半點差池的學科的過程中，養成專心致志、認真努力、踏實進取的學習習慣和一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，應該是一種必然的結果。學習數學還可以培養自我審視的習慣，沒有哪一個地方比數學更需要對自己的工作進行嚴格的審查，沒有哪一個地方甚至出現輕微的錯誤行為都能十分輕易地、毫不含糊地推翻結果。此外，學習數學有助于培養整潔和準確的習慣。從最早學習數學開始，只有時刻保持謹小慎微的態度，堅持整潔、準確的習慣，才能取得最好的效果。由此看來，數學的學習與人格品質的修煉有著深刻的聯系，彰顯著數學的德育價值。

其四，數學有著悠久的歷史，教科書中的歷史注解有助于激發學生的興趣，而數學家傳記與畫像可以讓數學變得人性化。①

三、結語

讓學生樹立正確的數學價值觀，乃是數學教學中實施學科德育、落實立德樹人的需要，而這種價值觀往往都是通過課堂教學潛移默化地傳遞給學生的。

要在數學教學中體現數學的多元價值，理想的教學材料不可或缺，而數學史正是這種素材的寶庫。比如，在“相似三角形應用”的教學中，可以利用古希臘水利工程奇跡一薩默斯隧道的設計問題，來揭示幾何學的應用價值和文化價值。同時，通過讓學生設計隧道的方向，并將學生的方法與古代工程師的方法進行對比，讓學生穿越時空與古人對話，親近數學，提升自信，學會傾聽，感悟數學背后的理性精神，從而實現數學的德育價值。又如，在“角平分線性質”的教學中，可以利用中世紀法律問題一淤積地分割問題，來揭示數學的文化價值、應用價值和德育價值。再如，在“對數”概念教學中，可以通過對數的歷史來揭示數學的科學價值、應用價值和文化價值，并通過對數發明者納皮爾的故事，展示數學家身上執著、堅韌、擔當、傾聽的優秀品質，引導學生樹立積極的數學情感和信念。HPM視角下的數學教學，可以充分體現數學的多元價值。

當然，教師需要完善自身的知識結構，樹立正確的數學價值觀，為教學內容增加情感的基礎、價值的引領和思維的拓展等內涵，增強學生對學習數學的認同感。我們有理由相信，美好的數學情懷必將成為新時代的一種常態，有溫度的數學教學必將成為新時代的一種共識。

（王海雯，華東師范大學教師教育學院碩士研究生。主要從事數學史與數學教育研究。汪曉勤，華東師范大學教師教育學院教授、博士生導師。主要從事數學史與數學教育研究，致力于HPM研究、實踐、傳播與人才培養。著有《數學文化透視》《HPM：數學史與數學教育）《數學史與初中數學教學：理論、實踐與案例》等。）

①本文系上海高校立德樹人人文社會科學重點研究基地之數學教育教學研究基地子課題“數學課程與教學中如何落實立德樹人”系列論文之一。

②汪曉勤，栗小妮.數學史與初中數學教學：理論、實踐與案例[M].上海：華東師范大學出版社，2019： 20- 59。

③ Stein.S. L. Young's Vision[J]. MathematicsTeacher. 1993（4）： 330-333.

①④⑤⑦Young，J.W.A.The Teaching of Mathematicsin the Elementary and the Secondary School[Ml. New York：Longmans. Green &CO..1907： 11， 16.52.15_

②楊騫，涂榮豹.略論數學教育的科學價值[J].中國教育學刊，2002（4）：33。

③康德.純粹理性批判[M].藍公武，譯.北京：商務印書館.1960： 576。

⑥ Young.J.W.A The Elements Of the DiFferentialand Integral Calculus[M]. New York：D.Appleton &.Co.，1900：97。

①②Young，J.W.A.The Teaching of Mathematics inthe Elementarv and the Secondary School[M].Ncw York：Longmans. Green &.C0.. 1907： 34， 42。

① Young，J.W.A.Elemcntary Algehra[M]. NewYork：D.Appleton &CO.，1908：3。

①②Young，J.W.A.The Teaching Of Mathematics inthe Elementarv and the Secondary School[M].Ncw York：Longmans. Green &C0.. 1907： 44， 273。

① Young，J.W.A.AI{igh School Algehra[M]. NewYork：D.Appleton &CO.，1913：6。