與三角形有關的角的幾個特殊類型

　　三角形的內角和及外角對于求角度的問題可以說是必要的工具，但有時我們可以由這些來推導一些特殊的關系，利用這些關系就可以使一些問題的解決變得很簡單.下面，我就來介紹一些特殊的應用.
　　一、“塔形”
　　如圖所示的“ ”字形，我們可稱其為“塔形”，其存在一個等式關系：∠1+∠2=∠3+∠4，∵由三角形內角和知，∠5+∠1+∠2=180°，∠5+∠3+∠4=180°，∴可知∠1+∠2=∠3+∠4.這種類型的應用在求有關角度時可以使解題過程更加便捷.
　　例1：如圖，已知D、E分別是△ABC的AB邊和AC邊上的點，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：DE//BC.
　　證明：因為∠1+∠2=∠3+∠4（證明過程如上），又因為∠1=∠2，∠3=∠4，所以可知∠1=∠3，所以DE//BC（同位角相等，兩直線平行）.
　　例2：圖同上，已知，∠3=50°，∠4=60°，求∠BDE+∠CED的度數.
　　解：∠BDE與∠1互補，∠CED與∠2互補，∴∠BDE+∠CED=（180°-∠1）+（180°-∠2）=360°-（∠1+∠2），∵∠1+∠2=∠3+∠4=110°，∴∠BDE+∠CED=360°-110°=250°.
　　二、“8”字形
　　如下圖所示的“ ”字形，其也存在著一個等式關系：∠1+∠2＝∠3+∠4.∵由三角形內角和知，∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6=180°，又∵∠5=∠6（對頂角相等），∴∠1+∠2＝∠3+∠4.
　　例3：如下圖，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=45°，則∠D的度數為（）
　　（A）45°（B）55°
　　（C）65°（D）35°
　　解：∵∠A+∠B=∠D+∠C，∠B=∠C，∴∠D=∠A，即得結論.故選A.
　　例4：如下圖，△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延長線于D.若∠1=24°，則∠EAB等于（）
　　（A）66°（B）33°
　　（C）24°（D）12°
　　解：由8字形的特征可知，∠1+∠D=∠CAE+∠C，∵∠C=∠D，∴∠1=∠CAE.又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠EAB，∴∠EAB=∠1=24°.故選C.
　　說明：在以上兩種類型中，都是利用“若兩個三角形有一組內角相等（或為公共角），則這兩個三角形的其余內角的和相等”，這是三角形內角和的一種推廣和應用.
　　除此之外，三角形外角也有著一些特殊的應用.
　　三、“尖頂形”
　　如圖1所示，其也存在著如下等式：∠D=∠A+∠B+∠C，其證明過程如下：連接AD并延長到E，∵∠BDE是△ABD的外角，∴∠BDE=∠B+∠BAD，同理，∠CDE=∠C+∠CAE，又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE=（∠B+∠BAD）+（∠C+∠CAE）=∠A+∠B+∠C，結論得證.
　　例5：（2008年吉林省吉林市中考）如圖，點D、B、C在同一直線上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，則∠1=度.
　　解：由尖頂形特征可知，∠AED=∠A+∠C+∠D=135°，而∠1與∠AED互補，∴∠1=180°-∠AED=45°.
　　例6：如下圖，若P為∠ABC、∠ACB的角平分線的交點，求∠BPC-∠A的值.
　　解：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°，
　　所以∠A+∠B+∠C=90°，
　　則∠A=90°-∠B-∠C.
　　又因為BP，CP分別是∠B和∠C的角平分線，
　　所以有∠B=∠ABP，∠C=∠ACP，
　　所以∠A=90°-∠ABP-∠ACP.
　　又可知∠BPC=∠ABP+∠A+∠ACP（證明過程如上），
　　所以∠BPC-∠A=（∠ABP+∠A+∠ACP）-（90°-∠ABP-∠ACP）
　　=2∠ABP+2∠ACP+∠A-90°=∠B+∠C+∠A-90°
　　=180°-90°=90°.
　　說明：在此題的解題中還用到了三角形內角和公式的一個變形，∠A+∠B+∠C=90°，這在解決三角形有關角的問題時會有很大的幫助，希望同學們能學會使用.