例析求向量c=xa+yb中系數x、y的范圍

(指導老師：段佳旺)

圖1

引例如圖1,在△ABC中,點P是 邊AC,BC的延長線CD,CE所夾的區域內(包括邊界)的動點,已知試求2x+3y的取值范圍。

一、對向量定理c=xa+yb 的基本認識

圖2

例如：如圖2,平面內兩條相交直線OA,OB將該平面分割成1、2、3、4四個部分,設且點P落在第3部分,則實數m,n的符號應該是___。

圖3

分析：如圖3,過點P引OA,OB所在直線的平行線PB1,PA1分別交OB,OA所在直線于B1,A1兩點,則由得m＞0,由得n＜0。

二、引例的一個錯誤解法

圖4

基于對向量定理的基本認識,部分同學會按圖4作圖。由于點P在可行域內的任意 性,得中的數x、y的范圍應該是x≤0且y≥1,從而推導出2x+3y的取值范圍是R。

這個解法好像正確,其實只是注意了x、y的來源與幾何意義,而忽略了x、y的內在關系,也就是x≤0 且y≥1 的范圍是沒有錯,只是大了一點,不是一個精準的范圍。

逆向思維：基向量為,且總是滿足x≤0,y≥1,試判斷點P所在的范圍。

圖5

圖5 中的陰影部分就是上面問題點P的區域(包括邊界),顯然覆蓋了圖4 中的陰影區域。說明不結合x、y之間的聯系得到的結論是不精準的。

三、引例正確的解法

四、引例的一個極致解法

圖6

如圖6,在直角坐標平面上的△ABC中是正交的單位向量,則問題的中有序數對(x,y)就是終點P的坐標了。由圖可以很輕松地得出點P(x,y)滿足的約束條件是x≤0 且x+y≥1,目標函數z=2x+3y,z的取值范圍是[3,+∞)。