借“題”理法，研“題”悟教

楊春鳥

[摘 ?要] 題目是在職教師研究的課題之一，教師需要深入分析題目的價(jià)值與特點(diǎn)，結(jié)合題目的思維軌跡，引領(lǐng)學(xué)生感悟其中的方法與價(jià)值，從而將題目的價(jià)值與教學(xué)的策略巧妙地融合在一起，達(dá)成理法悟教的效果.

[關(guān)鍵詞] 解題;方法;初中數(shù)學(xué)

原題呈現(xiàn)

題目 如圖1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4. E，F(xiàn)分別在AD，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于EF所在的直線對(duì)稱，P是邊DC上一動(dòng)點(diǎn).

（1）連接AF，CE，求證四邊形AFCE是菱形;

（2）當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求的值;

（3）連接BP交EF于點(diǎn)M，當(dāng)∠EMP=45°時(shí)，求CP的長(zhǎng).

解析 ?（1）如圖2，連接AC，交EF于點(diǎn)O. 由對(duì)稱可知OA=OC，AC⊥EF，所以AF=CF. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，可得△OAE≌△OCF，所以AE=CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，所以平行四邊形AFCE是菱形.

（2）如圖3，因?yàn)椤鱌EF的周長(zhǎng)=PE+PF+EF，又EF的長(zhǎng)為定值，所以△PEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，即PE+PF最小. 作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接FE′交DC于點(diǎn)P′，則PE+PF=PE′+PF≥E′F，因此，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最小.

因?yàn)锳B=2，AD=4，所以AC=2，所以O(shè)C=. 由△COF∽△CBA，得=，所以CF=，所以DE=BF=4-=. 由畫圖可知DE′=DE=，由△DE′P∽△CFP，得==.

（3）如圖4，設(shè)BP交AC于點(diǎn)Q，作BN⊥AC于點(diǎn)N. 因?yàn)椤螮MP=45°，所以O(shè)M=OQ，NQ=BN. 由AB·BC=AC·BN，得2×4=2BN，所以NQ=BN=. 在Rt△ABN中，AN==，所以AQ=AN+NQ=，CQ=AC-AQ=.由AB∥CP，得△ABQ∽△CPQ，得=，解得PC=.

評(píng)析 本題為純幾何壓軸題，題干簡(jiǎn)潔，圖形簡(jiǎn)明，分步設(shè)問，步步深入，梯度明顯，且解題思路自然，起點(diǎn)低，入口寬，既突出了一個(gè)“通”字——通性和通法，確保了大多數(shù)考生能得到理想的分?jǐn)?shù)，又深化了一個(gè)“活”字——思維的靈活性與層次性，確保了較好的區(qū)分度.

解法歸納

本題第（3）問，解法靈活多樣，閱卷中發(fā)現(xiàn)了學(xué)生有近20種方法，現(xiàn)將三種典型的方法思路歸納如下，以供參考.

1. 思路1：構(gòu)造等腰直角三角形

利用條件“∠EMP=45°”構(gòu)造等腰直角三角形，除試題解析中的“作BN⊥AC于點(diǎn)N”外，還可以如圖5，“作EN⊥BP于點(diǎn)N”;如圖6，“作BN⊥EF于點(diǎn)N”;如圖7，“作PN⊥BP交直線EF于點(diǎn)N”等等，不再一一列舉.

2. 思路2：建立平面直角坐標(biāo)系

利用條件“矩形”建立平面直角坐標(biāo)系，如圖8. 設(shè)P（4，a）.由l：y=2x-3，l：y=x，l：y=-x+2可求得a=.

3. 思路3：形成“角含半角基本模型”

利用條件“90°與45°”形成“角含半角基本模型”. 如圖9，過點(diǎn)B作BN∥EF交AD于點(diǎn)N，就形成“角含半角”，為此又可形成一系列的方法，如“旋轉(zhuǎn)”，如圖10，將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P′BC′;構(gòu)造“一線三等角”，如圖11;構(gòu)造“相似”，如圖12，作AH=AN， CG=CP，等等.

教學(xué)啟示

1. 關(guān)注“思維拓展”，更要“基礎(chǔ)過關(guān)”

盡管本題是一道純幾何壓軸題，但從題目呈現(xiàn)的難度看，充分體現(xiàn)了“低起點(diǎn)，緩坡度，突出基礎(chǔ)”的特點(diǎn). 第一問起點(diǎn)低，學(xué)生容易上手，先根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到相關(guān)的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，再根據(jù)全等或者其他途徑得到菱形的判定條件. 第二問以第一問為基礎(chǔ)和梯子，且題源常規(guī)——八年級(jí)的課題學(xué)習(xí)“最短路徑問題”與八年級(jí)上習(xí)題13中的“將軍飲馬問題”合二為一，可謂源于教材. 因此在平時(shí)的教學(xué)中，我們首先要理解初中階段數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ)知識(shí)是形成數(shù)學(xué)能力的重要載體和抓手，基礎(chǔ)永遠(yuǎn)是考查的主體，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的考核與評(píng)價(jià)首先體現(xiàn)在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)四個(gè)方面. 其次要認(rèn)識(shí)到“基礎(chǔ)過關(guān)”是“思維拓展”的前提，拒絕空中樓閣、過度拓展. 在教學(xué)和復(fù)習(xí)中優(yōu)秀的做法應(yīng)是立足基礎(chǔ)，挖掘教材中典型的例、習(xí)題，不斷讓學(xué)生從課本基礎(chǔ)知識(shí)開始問題的分析、解決與變式思考，這樣學(xué)生才能厚積薄發(fā)，其思維能力、理解能力、思辨能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題能力的提升才會(huì)水到渠成.

2. 注重“以圖分析”，更要“分析畫圖”

從題目呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)看，第（3）問與第（1）問是遞進(jìn)關(guān)系，與第（2）問是并列關(guān)系. 第三問從學(xué)生最熟悉的45°出發(fā)，但需要學(xué)生“補(bǔ)圖”. 這樣可以“多考想，少考算”，體現(xiàn)“算”與“證”的本質(zhì)，有助于從知識(shí)考查走向能力立意考查. 因此在平時(shí)的教學(xué)中，我們一方面要規(guī)避煩瑣的運(yùn)算過程，“以圖分析”“以圖助數(shù)”，放大“圖”的地位與功能，持續(xù)引導(dǎo)學(xué)生把握幾何中的“算”不是死算，需要有“運(yùn)”的過程、“計(jì)”的方法;幾何中的“證”是推理，是“尋道”，更是“發(fā)現(xiàn)”. 另一方面更要理解識(shí)圖、畫圖是幾何教學(xué)的關(guān)鍵，要堅(jiān)持引導(dǎo)學(xué)生注重習(xí)題的“邏輯”“文圖”結(jié)構(gòu)，通過“構(gòu)圖補(bǔ)形”，化隱性為顯性、化抽象為直觀;要讓學(xué)生經(jīng)歷畫圖分析“關(guān)聯(lián)的問題”“隱含的條件”的過程，深度體驗(yàn)圖形的再生長(zhǎng)、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的路徑與方法，不斷加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理及探究轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng).

3. 注重“一題多解”，更要“多解歸一”

從題目呈現(xiàn)的思路特點(diǎn)看，解答的方法很多，學(xué)生答題時(shí)選擇的余地較大，但從“思路歸納”中可看到許多不同的方法的實(shí)質(zhì)都是一樣的. 因此在平時(shí)的教學(xué)中，我們一方面要注重“一題多解”，引導(dǎo)學(xué)生展開多角度、多層面的探究，嘗試從不同角度尋求解題的路徑，打通知識(shí)間的聯(lián)系，遷移拓展思維空間，以彌補(bǔ)學(xué)生知識(shí)的空缺，不斷喚醒學(xué)生思維的創(chuàng)造，激發(fā)探究的興趣;另一方面更要注重“多解歸一”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后回顧反思，思考不同中的相同，“以不變應(yīng)萬變”提煉“分離的圖形”“同類的問題”“思路的關(guān)鍵”“方法的本質(zhì)”，揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生積累基本圖形與基本思路，優(yōu)化思維過程與方法.

解題是一種本領(lǐng)，悟題更是一種能力. 作為一線教師借“題”理法，更要研“題”悟教，不斷調(diào)整教學(xué)的目標(biāo)與內(nèi)容、優(yōu)化教學(xué)的行為與方式，這樣才能加快推進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)“遵循課標(biāo)，夯實(shí)基礎(chǔ)”“立足教材，擺脫題?！薄皩W(xué)為中心，發(fā)展學(xué)力”等良好生態(tài)的形成.