抓本質 巧對接 促想象

周金友

摘 ?要：綜合與實踐旨在溝通聯系、突出綜合、強化實踐等作用。本文結合“正方體染色問題”，從學生學的角度出發，抓住本質對學習內容進行深度加工，通過自主活動實現經驗與新知的有效對接，建構知識，在運用中自覺地進行遷移應用，促進想象，從而達成深度學習和提升學生數學素養的目的。

關鍵詞：綜合實踐;拓展;染色問題

“綜合與實踐”是課程改革后新增的一個領域，承載著溝通聯系、突出綜合、強化實踐等數學教學理念。作為“綜合型”課程，“綜合與實踐”注重知識的整體關聯和綜合運用，側重于讓學生在寬泛的視野中感受到知識的價值，有利于學生創造品質和實踐能力的培養。筆者借助人教版五年級下冊的“探究圖形”中的正方體涂色問題，抓住內容本質進行深度加工，通過學生自主活動巧妙地實現經驗與新知相互轉化，運用中學生自覺地進行遷移與聯想，落實綜合實踐內容的目標。現介紹如下：

一、課堂情境再現

片段一：動態演示，導入新知

1. 師：這是一個點，現在讓它變一變，再變，繼續變！變成了什么？你們已經知道了正方體的哪些知識？（圖1）

2. 你們知道了正方體的特征與三種量，真多！現在老師給它的表面涂滿紅色，如圖切開，你們又想到了什么？（圖2）

3. 你們想到的這些就是數學中的正方體的染色問題（出示課題），今天我們就一起來研究正方體的染色問題。

【設計意圖：課一開始，以點、線、面、體的動態演示，溝通幾何體各要素之間的聯系，并能引發學生從運動變化的角度去觀察現象和思考問題，為學生理解和解決“正方體涂色規律”的問題做好孕伏。通過“你們已經知道了哪些知識？”與“又想到了什么？”兩個問題，了解、診斷學生的現實起點，又為新知的學習做好知識經驗與學習心向等多方面的準備。】

片段二：動手操作，發現本質

1. 學生活動（活動單見圖3）。

2. 反饋交流。

師：我們先來匯報各種涂色小正方體的個數，你們是怎么找到的？（出示作品的學生介紹）

生1：3面涂色的小正方體在頂點，2面涂色的小正方體在棱上，1面涂色的小正方體在面上。

生2：2面涂色的小正方體在棱中間。

生3：1面涂色的小正方體在面中間。

師：3面涂色的小正方體在頂點大家意見一致，但2面涂色的有兩種觀點——棱上和棱中間，你們認為哪種觀點正確并說理由。

師：是呀！棱上包括頂點的兩個小正方體，因此準確地說，應該是棱中間。那1面涂色的呢？0面呢？怎么想到的？（結合學生想象，課件直觀演示呈現）

師：大家善于觀察，通過操作發現了小正方體涂色面數不同是因為它們所在的什么不同？（板書：位置）面中間的小正方體是1面涂色，這點老師也同意，但在頂點的小正方體為什么3面涂色？（頂點是3面的交點，有3面露在外面）同意！那棱中間呢？原來它們幾面涂色是源于頂點、棱的意義。現在請大家閉眼想一想，什么位置的小正方體分別是幾面涂色（教師說涂色面數，學生口答位置）。

【設計意圖：皮亞杰曾說過，“兒童智慧的鮮花是開放在手指尖上的”。根據學生的年齡特征與思維水平，在自然生成學習內容背景下設計了“涂一涂、填一填、想一想”的挑戰性活動任務（一），通過動手操作讓學生自覺地喚醒、運用已有正方體的知識經驗，感知各類涂色正方體與位置間的關系，建立良好的認知表象。交流過程中，通過教師追問，引領學生從構成要素頂點、棱意義的知識源頭進行自然鏈接，從本質上理解正方體的涂色面數問題，做到“知其然，更知其所以然”，實現有意義的學習。】

片段三：歸納推理，探究方法

1. 活動（二）：現在有一個正方體的表面涂滿紅色，如圖切開。求3面、2面、1面涂色的小正方體各有多少個？（若有困難，在圖上涂一涂）（圖4）

（1）學生活動。

（2）反饋交流：達成方法的統一和思路的理解。

（3）師：觀察這個正方體中2面、1面、0面涂色的小正方體個數的求法，你們發現有什么相同之處？

2. （1）現在將這個正方體的棱長變短為4×4×4（出示圖形），每類涂色小正方體又各有多少個？如果正方體的棱長變長為6×6×6呢？

（2）如果大正方體中小正方體的數量是（ ? ）×（ ? ）×（ ? ），你們能在括號里任意填一個自然數表示大正方體的棱長，并求出每一類涂色小正方體的個數嗎？

活動板書見表1。

3. 觀察這些正方體的各面涂色的小正方體的個數或求法，你們發現了什么？

師：大家觀察得真仔細！你們發現了位置與方法的聯系，還有它們思路上的相同點都是要先求出棱中間的小正方體個數。3面涂色的小正方體都在頂點，所以有8個，而2面、1面、0面涂色的小正方體的求法分別與棱長總和、表面積、體積的求法相同。

【設計意圖：“有比較，才有鑒別”。比較是認識一切事物的基礎，在學生弄清各類涂色小正方體的位置后，將情境切換到“棱長是5厘米的正方體”中，學生面臨著數量上從“少”到“多”，策略上由“數”到“聚”的狀態。通過任務二的獨立嘗試、成果展示、交流碰撞，學生發現并初步理解了各類涂色小正方體個數的求法。棱長從5變成4與6，以及學生自填棱長并求各類涂色小正方體的個數，逐步強化與理解了求法，又為歸納做好了材料方面的準備。最后對材料進行觀察與交流，在比較中找到聯系，實現求法與已有三種量的順利對接，實現主動建構。】

片段四：用中求變，由薄變厚

1. （1）一個棱長是4厘米的正方體積木表面涂滿紅色，現在切成棱長為1厘米的小正方體。請問2面涂色與1面涂色的小正方體各有多少個？

（2）一個棱長是7厘米的正方體積木表面涂滿紅色，現在切成棱長為1厘米的小正方體。請問沒有涂色的小正方體有多少個？

2. （1）把一個正方體積木表面涂滿紅色，再在每條棱長上等距離切5刀。請問1面涂色的小正方體有多少個？

（2）把一個正方體積木表面涂滿紅色，已知2面涂色的小正方體有48個。請問至少1面涂色的小正方體有多少個？

校對后教師將第一組練習的第（2）題的第一個條件依次改為：①現在在它的棱長上等距離切6刀;②2面涂色的小正方體有60個;③1面涂色的小正方體有150個，大家分別可以知道什么？結果發現都可以求出棱中間的小正方體個數。由此引出第二組練習，在對比中發現并理解1面涂色與至少1面涂色的區別及求法以及審題時的注意點。

【設計意圖：鞏固環節安排了兩組精簡的練習，第一組基本題運用、檢測、內化求法;由第二題已知條件的多角度變異，幫助學生豐富由薄到厚的經歷，同時通過“不變”的尋找，讓學生跳出具體的細節，從整體上抓住關鍵，把握思路，形成策略。第二組提高題的跟進與題組的設計，在比較中區分“1面涂色”與“至少1面涂色”的區別以及對后者兩種方法的討論交流，讓學生在元認知層面得到提高。】

片段五：合理想象，拓展提升

師：研究了正方體的染色問題，大家有哪些收獲或明白了什么？由位置“聯”到涂色面數與具體的求法，此時大家繼續“想”，根據正方體的染色問題能想到什么？

生1：長方體的染色問題。

師：多好的想法！老師這里有一個長、寬、高分別是6、5、4的長方體，你們又可以想到什么？

……

師：真了不起！將正方體的染色問題的方法與思路自覺地運用到長方體中。老師也想到一個問題，到目前為止我們討論的染色問題中最多只有3面涂色，會不會出現4面涂色、5面涂色與6面涂色呢？不用急著下結論，請大家在腦中想一想，也可以同桌輕聲交流。

生1：我想到2×2×1的長方體中有四面涂色。（等其他學生想象后，師生一起畫圖驗證）

師：你的想象力太豐富了，幫大家指明了方向，也解答了疑惑，謝謝你！

生2：2×1×1的長方體中有五面涂色。（畫圖驗證）

師：大家順著他的思路想象一下，還有沒有5面與4面涂色的？這時學生想到了3×1×1，4×1×1，……

師（小結）：此時老師想到一句廣告語——“一切皆有可能”，同時也將偉大的科學家愛因斯坦的一句名言送給大家——“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力是無限的”。希望大家在今后的數學學習中，插上想象的翅膀，遨游在數學王國中，享受數學的思維盛宴！

【設計意圖：課尾結合學生的總結概括，教師點出主題，由位置“聯”到方法，繼而由學生“想”到長方體的涂色問題，并將正方體涂色問題的視角、方法與活動經驗遷移到長方體涂色問題中，深化、活化知識方法。同時，由“有無4面涂色、5面涂色的小正方體”問題的思考與想象，打開學生的想象空間，培養學生的空間想象能力，發展學生的空間觀念。最后引用愛因斯坦的名言做總結，感悟想象的重要性并激勵學生在學習中要善于想象，將其內化于學生的生命感悟之中，以達到“畫龍點眼”之效。】

二、課后教學感悟

1. 抓本質，對學習內容進行深度加工

長方體、正方體的基本構成要素是點、線、面，它們相互依托構成“體”并呈現“體”的數學特征，這些特征同時決定了棱長總和、表面積、體積等數學要素的衍生，可謂“本質”之源。正方體的涂色問題也不例外，它的探討涉及正方體的構成要素與相關量的計算方法。從知識特征分析，3面、2面、1面再到沒有涂色，各種立方體的所在位置與正方體的各要素密切相關，數量求法與三種量的求法緊密吻合，數量規律呈現出較為明顯的一維到三維的“梯次難度”，這種現象與整個“空間與圖形”知識的編排相對應。基于以上分析，抓住涂色問題與“體”的內在本質聯系，對學習內容進行深度加工，設計結構性材料，有序、遞進的活動任務讓學生去把握過程：或是“質疑”“探究”，或是“歸納”“演繹”，或是“比較”“情境體驗”等。正因豐富了學生親歷過程的“源頭之水”，才能真正開拓他們頭腦中的“思維之渠”。

2. 巧對接，對經驗與新知進行相互轉化

布魯納說：“掌握事物的結構，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯系起來的方式去理解它。簡單地說，學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的。”教學中，通過活動（一）的動手操作，實現不同涂色面數的小正方體位置與正方體點、線、面、體各要素的對接，發現本質。由活動（二）的嘗試探究，達成不同涂色面數小正方體數量的求法與正方體三種量的求法的對接，實現由歸納到演繹的深度理解。此外，練習運用中進行適度的變式，總結中的師生質疑，豐富了學生的經歷，促成了多角度、多方位的對接，不斷讓學生的已有經驗與新經驗（知識）之間建立聯系、相互轉化，從而使學生與知識建立意義關聯，促成深度學習的發生。

3. 促想象，對學習方法進行遷移應用

學貴在用，通過遷移與應用將所學知識轉化為學生的綜合應用能力。教學中，研究正方體的涂色問題后，教師引發學生以此為邏輯起點展開聯想：其一，學生自覺地想到長方體的涂色問題，并且順利地運用正方體涂色問題的結構性觀點與思維方式去思考、分析、解決長方體的涂色問題，學以致用，使知識方法呈現活性。其二，讓學生聯想到涂色問題的4面涂色、5面涂色等特殊情況，使學生從整體上把握結構，系統地理解與掌握涂色問題，同時發展學生的空間想象能力與全面分析問題的能力。

總之，涂色問題作為綜合型課程的內容，以問題為載體，聯系學生已有的知識結構，設計提供有價值的、富有挑戰性的數學問題，讓學生在教師的引導下自主參與學習活動，引發學生數學認知的聯化、簡化與深化，讓學生積累了數學活動經驗，進而在輕松、互助的氛圍中實現深度學習，提升學生的數學核心素養。