發揮數學模型的作用

曾慶豐

數學教學實際上是數學模型的教學。本文以“最短路徑問題”為例，談談在數學模型教學中發展學生數學核心素養的一些思考。

創設情境，孕育數學模型。通過學生已有的知識和生活經驗來創設問題情景，并融入新知識的生長點，是進行教學預設的出發點和開展教學活動的發起點。教師可以出示如下題目：如圖1，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地。牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

我們可以把筆直的河抽象成一條直線馬（A地）和帳篷（B地）分別抽象成兩個點M、N（圖2）。連結MN交直線于點P，由“兩點之間，線段最短”可知：牧馬人到河邊點P處飲馬，可使所走的路徑最短。教師通過牧馬人飲馬來創設問題情景，并融入學生熟悉的“兩點之間，線段最短”公理，其公理是本節課“最短路徑問題”的“最近發展區”。這樣設計，既體現了學生的年齡特點和認知規律，又為“最短路徑問題”的導入做鋪墊。

抽象轉化，發展數學建模能力。在教學中，教師應適當地鋪墊、啟發和引導，注重數學模型發生、發展與形成的探究過程，幫助學生積累建模活動經驗。

教師可以出示以下例題：如圖3，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地。牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？教師可以引導學生把河抽象成一條直線馬（A地）和帳篷（B地）分別抽象成兩個點M、N（如圖4）。現在問題便轉化為：在直線上求作一點P，使“PM+PN”最短。

由上面的引例，我們可以這樣引導學生：如果點N在直線的另一側就好了，可不可以轉化呢？也就是說，能不能在直線的另一側找到一點N'，使點N'和N點到直線上任意一點的距離都是相等的呢？不改變問題的實際背景和結論，只改變帳篷的位置，一是減少背景對學生思維的干擾，保持思維的連貫性;二是啟迪學生將新問題轉化為舊知識，感受轉化的自然性與合理性。

演繹推理，發展推理論證能力。教學中，教師應注重數學模型在形式化幾何命題中的計算、演繹、推理，并滲透知識之間的內在聯系和邏輯關系。

教師可以出示如下例題：如圖5，設正三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是BC上任意一點，PA+PM的最大值和最小值分別記為s和t，求s2-t2的值。

由于點P是BC邊上任意一點，當點P與點C重合時，PA+PM的值最大，此時，①[s=CM+CA=][CA2-AM2+CA=2+3];作點M關于BC邊的對稱點N，連接AN交BC邊于點P，連接MP，則“PA+PM”的值最小。連接CM、CN，由中垂線的性質和等腰三角形的“三線合一”，得CN=CM=[3]，∠1=∠2=∠3=300。②在Rt△ACN中，[AN=AC2+CN2]=[7]。綜合①、②，得：[s2-t2=（2+3）2-（7）2=43]。

擺脫模型的實際背景，從形式化的幾何命題出發，將模型嵌入等邊三角形中，并且融入動點問題，旨在增加問題的寬度。在求最小值時需要運用等邊三角形、勾股定理、中垂線等相關知識，讓學生在分析、轉化、計算、推理等思維活動中，提升運算求解和推理論證的能力。

（作者單位：襄陽市第七中學）

責任編輯? 張敏