直觀教學法在復變函數課程教學中的應用

楊娟 馮慶江

摘?要：介紹了直觀教學法，并給出了幾何直觀法、類比直觀法、反例直觀法等直觀教學法在復變函數課程教學中的具體應用。

關鍵詞：直觀教學法;復變函數教學;應用

中圖分類號：G642

Abstract：The intuitive teaching methods were introduced， and then they were presented with examples the intuitive teaching methods used in teaching operations research： geometric intuition， analogy and intuitive method， counter-example method intuitive visual teaching method.

Key words：Intuitional teaching method;the teaching of complex function;Application

1 緒論

目前，高校數學的教學普通存在以下四種情況：第一，定義+定理或性質+例題或應用的模式，且目前高校數學教材的編寫基本也都是這個模式;第二，認為數學很抽象，強調數學專業知識的嚴密性、數學理論的抽象思維性，從而淡化了數學的通俗性及實用性。第三，認為數學無實際用處，尤其是非數學專業的學生更覺得如此，他們覺得學大學數學的一些課程就是為了拿到一定的學分，只要對自己以后的發展沒有影響或者影響不大就行;第四，覺得學習數學是件很痛苦的事情。復變函數課程作為大學數學中的課程之一，同樣存在上述一些情況。雖然復變函數課程的學習是以數學分析或高等數學課程為基礎，但是他們之間又有很大差別，因為復變函數的抽象性和邏輯性遠超數學分析和高等數學。那么怎么利用直觀教學法去激發學生的學習積極性呢？從而提高他們的學習效率呢？這是復變函數課程教師需要解決的問題。

2 直觀教學法

直觀教學法指教師通過實物、直觀的教具、計算機多媒體演示、組織教學性參觀等一些活動，使學生利用他們的各種感官直接感知客觀現象或事物從而獲得知識的方法。直觀是為了幫學生獲取必要的感性經驗，以便他們能形成科學的概念，不能為直觀而直觀。在教學的過程中，要盡可能地引導學生多種感官的參與，要盡一切可能將抽象的數學結論與直觀的形象建立起聯系，還根據教學的需要，運用各種不同的直觀教學的形式，比如實物直觀法、模型直觀法、語言直觀法、圖像直觀法等等。把復雜的問題簡單化、直觀化、形象化后再傳授給學生。

3 復變函數課程教學中直觀教學法的應用舉例

復變函數教學中究竟應怎樣體現直觀教學法呢？要達到較好的教學效果，要把握直觀教學法的基本理念并且結合復變函數課程的特性，選擇各種直觀形式，深挖相關概念產生的理論、經驗與背景。

3.1 幾何直觀法在教學中的舉例

幾何直觀法指結合抽象的數學語言與直觀圖形，展現問題的本質。而我們通常說的數形結合的思想指的就是代數問題與圖形之間得密切關系，并且它們二者之間常互相轉化，相互滲透。

例如在引入復平面時，我們在“數”和“點”之間建立了聯系，因此以后我們常可借助于幾何直觀

來研究復變函數的一些內容。比如講解復數的加法運算和減法運算時，我們可以分別借助于以下幾何圖形（圖1、圖2）來解釋復數的加法運算和減法運算。

在復變函數課程的教學中，后面的很多章節都用到了幾何直觀教學法，我在這里就不一一例舉了。

3.2 類比直觀法在教學中的舉例

當然類比教學法的教學案列還有很多，比如數學分析中的牛頓-萊布尼茨公式和復變函數里的牛頓-萊布尼茨公式的類比，復積分的定義和實函數的線積分的定義的類比，泰勒展式與洛朗展式的類比等等。

3.3 反例直觀法在教學中的舉例

復變函數是實函數在復數域內的推廣，其很多概念、定義與數學分析課程或者高等數學課程類似，但也有原來的某些結論和性質不再成立。因此在復變函數的教學過程中，我們既要引導學生注意復變函數與數學分析課程或高等數學課程之間的相互聯系，又要說明復變函數課程與這兩門課的本質差異，通過反例直觀法讓學生更清楚地理解復變函數中的某些內容的實質。但是學生在剛學復變函數時也會經常與實數范圍的概念混淆。

例如我們非常熟悉的數的開方問題。計算3-8。在教學過程中，學生往往只求出它的一個根是-2（在實數范圍內，確實是3-8=-2），而忽略了其余兩個根1+3i和1-3i。這是因為nz表示的是方程wn=z的根w，即w=nz，當z的值不等于零時，就有n個不同的w與其對應，因此nz表示n個不同的根。又如，在實函數論中，找到一個處處連續且處處不可微的函數是較困難的。而在復函數論中，找到一個處處連續且處處不可微的函數是很容易的。比如f（z）=z-在復平面上處處不可微，又如，f（z）=Rez，f（z）=Imz在復平面上也是處處不可微的。通過反例直觀法引入反例，使學生對復數范圍內易混淆的理論有了更深的認識和理解。

4 結論

本文結合作者在復變函數課程教學中的多年經驗，討論了直觀教學法在復變函數課程中的應用，并給出了直觀教學法的具體實例。如果在教學過程中教師能對抽象概念進行直觀解釋，并且通過具體的例子進行解釋，這樣就有利于學生正確理解所學新知識。通過教學實踐，表明直觀教學法能提高學生學習復變函數課程的興趣、增進學生對其基本理論的理解，提高學生的學習效率，改善教學效果。

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基金項目：貴州省科技廳、黔東南州科技局、凱里學院科技合作計劃項目（黔科合LH字[2017]7166號）

作者簡介：楊娟（1982-），女，碩士，副教授，研究方向：復分析、非線性數學物理方程。