反比例函數與一次函數關系及簡單應用

黃朝宗

摘要：如果反比例函數（k≠0）與直線（）相切時，并且直線與x軸、y軸圍成面積等于2;反之亦然。

關鍵詞： 函數 ???切線 ????面積 ???定值

在初中數學教材中，我們已經研究了反比例函數的圖象、性質和解析式，尤其對反比例函數中的k的符號直接決定了圖象的位置和相應的函數變化規律，過反比例函數圖象上的任意一點作橫軸或縱軸的垂線，這點、垂足和原點構成的三角形面積為的一半的討論，給我們留下了深刻的印象，在此基礎上，我在教學中逐步發現了一個關于反比例函數與一次函數的有趣關系問題，現提供給讀者參考。

命題1 ?如果反比例函數（k≠0）與直線（）相切，并且，直線與x軸、y軸相交于A、B兩點，那么⊿AOB的面積等于2。

證明：∵反比例函數（k≠0）與直線（）相切，∴方程組有唯一解，由方程組得，∴，且這個一元二次方程有相等實數根⊿=0，即，，又∵ 直線與 X軸、Y軸分別交于A（，0）、B（0，b），∴S_⊿AOB=命題1說明，反比例函數（k≠0）與直線（）相切時，⊿AOB的面積為定值2，并且它與反比例函數與直線的切點位置無關。

根據命題1我們可以得到命題1的逆命題：命題2如果P（a，b）是反比例函數（k≠0）圖象上的一點，A、B兩點分別在x軸、y上，且A（2a，0），B（0，2b），那么直線與反比例函數相切。

證明：∵A（2a，0），B（0，2a），∴OA=2，OB=2，S_⊿AOB=，設直線是經過P（a，b）且與反比例函數的直線交x軸于、Y軸于，則（）（0，），S_⊿AOB=，∵直線是經過P（a，b），∴S_⊿AOB=2，∴S_⊿AOB=S_{⊿A‘OB‘ ????即} ，∴，。

解得：，（不符合題意舍去），∴故直線AB與反比例函數相切于點P，從反比例函數（k≠0）與直線（）相切的關系中啟示我們直線與X軸、Y軸的交點和原點組成的三角形面積等于2中，我們可以利用這一幾何關系判定直線AB與反比例函數的位置關系。

例1已知：如圖示，直線AB與X軸相交于A（3，0）B（0，4），反比例函數與 AB相切，CD‖AB交X軸、Y軸于C、D且也與反比例函數相切。 求：（1）反比例函數的解析式;（2）直線CD的解析式和切點P的坐標;（3）猜想四邊形ABCD是怎樣的四邊形？試證明你的猜想！

解：（1）因為直線AB與反比例函數相切，∴2= S_⊿AOB，∵A（3，0）;B（0，4），∴2==3，K=3（-3舍去），∴。

（2）直線AB的解析式為

∵CD‖AB ??設CD直線的解析式為

又∵CD直線與相切，∴，∴b=-4 或b=4（舍去）故b=-4，∴直線的解析式為。

解方程組得，∴P（）

（3）猜想;四邊形ABCD是菱形。證明：在中令x=0，則y=-4，令y=0 ?則x=-3，故D（0，-4），C（-3，0）∴OA=OC，OB=OD，又AC⊥BD，故四邊形ABCD是菱形。

命題3 已知反比例函數（k≠0）且直線（）與X軸、Y軸交點與原點所圍成的三角形面積為S。

當時：①當時，直線與反比例函數沒有交點;②當時，直線與反比例函數有且只一個交點;③當時，直線與反比例函數有兩個交點;當時，無論S為何值時，直線與反比例函數有兩個交點。證明：如圖所示，直線AB與（k≠0）相切。則S_⊿AOB=2，即S=2，當B點不動時，S<2，則有S_⊿AOB>S_{⊿A‘OB ?}，即∵AB與有唯一交點P，直線AB，相交于點B，∴直線AB與無交點類似地，可以證明當時，直線與反比例函數有兩個交點。

例2：選擇題，下列一次函數中與反比例函數只有一個交點是（ ???????）

AB

CD

答案：D