探究橢圓中斜率和為定值的兩條直線的性質(zhì)

李火星

摘要：本文以直線和橢圓相交問(wèn)題為引例，深入探究過(guò)橢圓上的點(diǎn)做兩條斜率和為定值的兩條直線所具有的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：橢圓;斜率;定值;定點(diǎn)

圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，高考每年必考。考察形式多樣化，如定點(diǎn)、定值、相切等等問(wèn)題。本文以直線和橢圓相交問(wèn)題為引例，深入探究過(guò)橢圓上的點(diǎn)做兩條斜率乘積為定值的兩條直線所具有的性質(zhì)。

引例 已知橢圓E：x2 a2+y2 a2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，且直線l：y=- 2? 2x+ 2 與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。

（1）求橢圓E的方程;

（2）設(shè)A是橢圓的下頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A分別做直線AM，AN交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，記這兩條直線的斜率分別為k1，k2，并且兩斜率之和為定值2，證明直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：易求得第一步橢圓方程為x2 2+y2=1，第二小步是直線與橢圓相交的類型，故假設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓方程利用韋達(dá)定理可得到兩根之和及兩根之積。而兩斜率之和為定值2，則y1+1 x1+y2+1 x2=2，變形化簡(jiǎn)可轉(zhuǎn)化為跟兩根之和兩根之積有關(guān)的，把相關(guān)值代入即可算得定點(diǎn)為（1，1）。

我們把第二小步的這個(gè)結(jié)論記為結(jié)論1，即：

結(jié)論1 已知橢圓x2 2+y2=1的下頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A分別做直線AM，AN交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，記這兩條直線的斜率分別為k1，k2，并且兩斜率之和為定值2，則直線MN過(guò)定點(diǎn)（1，1）。

此結(jié)論為兩直線斜率之和為定值2，若定值為1或者為其他值，對(duì)應(yīng)的直線是否也會(huì)過(guò)定點(diǎn)呢？其實(shí)結(jié)論1可以做推廣（以橢圓焦點(diǎn)在x軸為例）：

推廣1 已知橢圓E：x2 a2+y2 a2=1（a>b>0）的下頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A分別做直線AM，AN交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，記這兩條直線的斜率分別為k1，k2，若k1+k2=n（n≠0），則直線MN過(guò)定點(diǎn)2b n，b。

結(jié)論1和推廣1是過(guò)橢圓的下頂點(diǎn)而得到的結(jié)論，用同樣的方法計(jì)算可以得到過(guò)橢圓的其他三個(gè)頂點(diǎn)也有此結(jié)論。既然四個(gè)點(diǎn)頂點(diǎn)都由此結(jié)論，那下一個(gè)問(wèn)題就是如果過(guò)橢圓上的任意一點(diǎn)做兩條直線，是否也具有此結(jié)論呢？推廣1還可以在推廣：

把推廣1證明過(guò)程中得到的兩根之和與兩根之積代入，整理得：

此等式較復(fù)雜，仔細(xì)觀察可以用十字相乘法因式分解：

當(dāng)點(diǎn)A橢圓下頂點(diǎn)時(shí)，即x0=0y0=-b，代入推廣2中得到的結(jié)論，得到定點(diǎn)為2b n，b，與推廣1的結(jié)論剛好相符。推廣2中要求n≠0，若n=0，那么直線MN會(huì)有什么其他特殊的特征呢？把n=0代入推廣2中得到的t=（nm+2y0-nx0）a2 2b2x0+na2y0=a2y0 b2x0，這樣直線MN的斜率kMN=b2x0 a2y0，即當(dāng)n=0時(shí)，直線MN不是過(guò)定點(diǎn)，而是斜率為定值b2x0 a2y0。

此文章為橢圓焦點(diǎn)在x軸，如果焦點(diǎn)在y軸同樣也有類似的結(jié)論。因此橢圓具有這樣的性質(zhì)：過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)A做兩條直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)兩條直線斜率和為定值，若定值不為0，則直線MN過(guò)定點(diǎn);若定值為0，則直線MN斜率為定值。

由此可見(jiàn)，對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題可以進(jìn)行深化與推廣，在不斷地深化推廣中，我們能更深入地了解隱藏在簡(jiǎn)單事物背后的復(fù)雜性與多樣性。