正切平方勢量子阱的二次諧波

葉純寶，李學(xué)超，張糧成，牛牧文

(安徽理工大學(xué) 力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

近年來，由于低維半導(dǎo)體材料生長技術(shù)的快速發(fā)展，低維半導(dǎo)體材料的非線性光學(xué)性能受到了理論和實驗物理的廣泛關(guān)注，比如光吸收系數(shù)，折射率變化，光整流和二次諧波等[1-7]。這是因為相比于傳統(tǒng)的體材料，低維的半導(dǎo)體材料擁有更好的非線性光學(xué)性能。良好的非線性光學(xué)性能對于研究光電器件的發(fā)展有一定的參考意義。

對于低維半導(dǎo)體材料的非線性光學(xué)性能，很多的研究者做了相關(guān)的工作。2015年，Shojaei研究了一個、兩個以及三光子共振對于量子點折射率的影響[8]。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在共振情況下，折射率的變化很大程度上受到了量子點大小和光照強度的影響。2016年，袁研究了在電場的影響下，半拋物量子阱的二次諧波和光整流[9]。研究發(fā)現(xiàn)：隨著電場的增加，二次諧波的峰值在不斷的減小，光整流的峰值逐漸地增加，都向著低能量的區(qū)域移動。2017年，李研究了在電場作用下，三角形量子點的二次諧波和光整流[10]。研究結(jié)果表明：在外加電場的影響下，二次諧波和光整流的峰值都得到了很大的提高，并且在相同的位置取得了峰值。2018年，劉研究了量子線中的光吸收系數(shù)[11]。計算的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：通過調(diào)節(jié)耦合狀態(tài)可以有效地改變光吸收系數(shù)的峰值和位置。我們可以發(fā)現(xiàn)，二次諧波和光整流主要受到系統(tǒng)中的對稱性的影響。

在本文中我們對正切平方勢V0tan2(πz/L)量子阱中的二次諧波進(jìn)行相應(yīng)的討論。在文中第二部分我們推導(dǎo)求解了正切平方勢的能級與波函數(shù)以及二次諧波的表達(dá)式。第三部分引入相應(yīng)的數(shù)值進(jìn)行模擬和討論。最后對本文作了一個簡單的總結(jié)。

1 基本原理

在有效質(zhì)量近似的條件下，系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為[12]：

其中V(z)=V0tan2(πz/L)。表示普朗克常量，z表示量子點的生長方向，m*表示電子的有效質(zhì)量，L和V0是限制勢的參數(shù)，L表示限制勢的寬度，V0表示限制勢的高度。

通過求解系統(tǒng)的薛定諤方程我們可以得到系統(tǒng)的能級與波函數(shù)分別表示為：

其中n=0，1，2，3…，fn(t)分別表示為：

為了得到系統(tǒng)的二次諧波表達(dá)式，我們假設(shè)系統(tǒng)受到形如E(t)=E0cos(ωt)電磁場的激發(fā)。我們定義ρ作為密度矩陣，我們可以得到密度矩陣的運動方程為：

其中H0是沒有電磁場的哈密頓量，ρ(0)表示無電場的密度矩陣，Γij表示弛豫率。我們利用迭代方法求解上式，可以得到[13]：

系統(tǒng)中電子的極化強度可以表示為：

其中，V表示相互作用的體積，Tr表示跡。因此我們可以得到二次諧波的表達(dá)式為[14,15]：

其中σv表示量子阱中電子密度，ωij=(Ei-Ej)/表示電子的轉(zhuǎn)換頻率，Mij=|〈ψi|z|ψj〉|表示非對角矩陣元。

2 分析與討論

在計算正切平方勢量子阱二次諧波的過程中，我們選用的參數(shù)如下：m*=0.067m0(m0表示自由電子的質(zhì)量)，Γ=5×1012Hz，σv=5×1024m-3，ε0=8.85×10-12[16,17]。

圖1為當(dāng)限制勢高度為40 meV，寬度分別為35 nm、40 nm、50 nm時，二次諧波隨著入射光能量變化的曲線。從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著限制勢寬度L的不斷增加，二次諧波的峰值逐漸的增加。并且在限制勢寬度增加的過程中，二次諧波的曲線逐漸向著低能量的方向移動，出現(xiàn)了紅移現(xiàn)象。從二次諧波的公式我們可以發(fā)現(xiàn)，二次諧波的峰值主要由矩陣元乘積|M01M12M20|決定的。為此，我們做出了矩陣元乘積與限制勢寬度之間的變化曲線，如圖2所示。從圖2中我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著限制勢寬度L的不斷增加，矩陣元乘積不斷地增加，這也表明二次諧波的峰值逐漸地增加。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的物理解釋是：隨著限制勢寬度的不斷增加，不同的電子態(tài)逐漸地增加。

圖1 對于不同的限制勢寬度，二次諧波與入射光能量之間的變化關(guān)系

圖2 矩陣元乘積與L之間的變化關(guān)系

圖3 對于不同的限制勢高度，二次諧波與入射光能量之間的變化關(guān)系

圖3給出了當(dāng)限制勢寬度為40 nm，高度分別為40 meV、50 meV、60 meV時，二次諧波隨著入射光能量變化的曲線。從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著限制勢高度的不斷增加，二次諧波的峰值逐漸減小，并且二次諧波的曲線逐漸地向著高能量的方向移動，出現(xiàn)了藍(lán)移現(xiàn)象。為了進(jìn)一步研究二次諧波峰值的變化原因，我們在圖4中做出了矩陣元乘積與V0之間的變化關(guān)系。從圖4中我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著限制勢高度的增加，矩陣元乘積不斷的減小，表明二次諧波的峰值逐漸的減小。

圖4 矩陣元乘積與V0之間的變化關(guān)系

3 結(jié)論

本文主要研究了正切平方勢中的限制勢寬度以及高度對于二次諧波的影響。在我們的研究中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)限制勢寬度L增加時，二次諧波的峰值逐漸的增加，并且向著低能量方向移動。對于限制勢高度V0，當(dāng)限制勢高度V0增加時，二次諧波的峰值逐漸的減小，并向著高能量的方向移動，與限制勢寬度L的變化呈現(xiàn)出了相反的變化。通過選取合適的限制勢高度與寬度，我們可以獲得恰當(dāng)?shù)亩沃C波。