充分利用“數形結合”，引導學生理清算理

陳清傳

[摘要]如何讓計算更有數學味道，要從理解算理開始，但對于以具體形象思維為主的小學生來說，計算算理的抽象性又使學生難以理解，這就需要有一種介于抽象和直觀之間的媒介來解決，“數形結合”是最有效，最直觀的辦法，它可以將“數”體現于“形”，又可以用“形”體現出“數”的作用，使學生體會到“數”與“形”的關系，將抽象的語言與直觀的圖像聯結起來，使計算的道理直觀化。其實在教材中應用了不少“數形結合”的工具，比如點子圖、數格子、擺小棒、畫數線等，本文探討了如何有效地利用這些直觀方法，幫助學生主動參與到表象的建立和算理的探究中，從而達到對算理的深層理解，牢固掌握算法，形成計算技能。

[關鍵詞]“數形結合”;算理;探究;理解

“算理”，字面的理解就是計算的道理，為什么這樣算的理由。在小學數學計算教學中，有的學生雖然懂得算，但卻不知道為什么這樣算，也就是對算理不甚了解，只知其然，不知其所以然，很多學生的計算只是機械地操練，學生的計算能力整體偏弱。

一、趣擺小棒，感悟算理

小棒是孩子們眼中非常熟悉的物品，既直觀又形象，是教材最常采用的教學方法之一。小棒好比是一把打開數學大門的“金鑰匙”，實踐證明，巧妙地運用“擺小棒”操作活動，能使抽象的計算具體化、深奧的算理形象化，又能使數學學習變得有趣。

如教學北師大版一年級上冊“一共有幾瓶牛奶（9+5=？）”時，一般學生都能正確得出14這一結果，但是教學9+5的目的不僅僅是讓學生口算得出結果，更重要的是要引導學生展現“湊十法”的思考過程，明白加法的計算規律。特別是低年級學生，合理有效地引導學生利用常見的小棒這一學具，“數形結合”顯得既有必要又有趣味。

教師引導學生分步、有序地操作：

1、照算式中的數擺2堆小棒，一堆9根，另一堆5根。提出問題思考：怎樣操作，讓人一眼就看出有14根小棒？

2、邊操作邊口述，把5分成了1和4，再把1和9湊在一起得到10，10和4合起來共14根（圖1），再指定學生上臺現場操作，邊操作邊口述，其他學生認真傾聽。

3、在學生擺小棒這一操作探究的經驗基礎上，教師利用課件動態展示從5中“分”出來的1根小棒和9根小棒“合”湊成10的過程，概括出“湊十法”，明白計算的道理（圖2）。

有的教師可能會認為學生都會算了，還擺小棒會造成秩序混亂，浪費寶貴的教學時間，可以省去操作過程，不用再讓學生操作小棒。其實“擺小棒”是一種行為操作，以直觀的方法獲得計算經驗和計算結果，是學生獲取直接經驗的重要渠道，學生在操作的過程中理解“湊十法”的整個思考過程。所謂“我經歷了，我就懂了”，學生有了這種操作的經歷，會在腦海中形成直觀的印象，當下次教學8加幾，7加幾時，頭腦中就會自覺地再現“湊十法”的操作過程，從而達到培養遷移類推能力的目的。

二、妙用點子圖，探究算理

點子圖也是教材常用的引導學生理解算理的一種教學方法，教材為什么要用點子圖？教材中提到：低年級學生的思維正處在由形象思維向抽象思維過渡的階段。點子圖是從形象思維到抽象思維的數學化過程，妙用“點子圖”的直觀載體幫助學生更好地理解算理、開拓學生的思路，讓學生能夠運用多元化的思維解決數學問題，有效提高學生理解問題的能力。例如教學北師大版三年級上冊“一共有多少只螞蟻（兩位數乘一位數）12x4”計算時，提供給學生一張點子圖為研究素材，讓學生自己動手操作，在點子圖中充分暴露思維軌跡，呈現豐富的思考過程，體會不同的解題策略和個性理解。學生交流算理時，始終結合點子圖來解釋明理。

在利用點子圖充分理解口算算理的基礎上，教材繼續用點子圖來突出豎式加法里面兩個加數的意義，也揭示了豎式筆算兩個重要的計算步驟與口算的聯系。

學生通過觀察點子圖理解8和40分別在點子圖中的哪個位置？理解豎式表示的算理是先把12看成10和2，4x2=8表示每排有4只，2排，就是2個4有8只螞蟻，10x2=40是每排有4只，10排表示10個4，共40只螞蟻，再加起來一共有48只螞蟻。針對“4”為什么要寫在十位上，8寫在個位上，繼續引導學生在圖中找到它所表示的點子數并說清理由。最后學生通過對比明白了兩種寫法的道理其實是相同的，即：都是用一位數分別去乘另一個因數的每一位，再把所得的積相加，只是第二種寫法比較簡潔。

探索算理是為了更好地掌握算法，有數與形的巧妙結合，就能化抽象為直觀地理解算理。在點子圖的幾何直觀下能更好地把乘法意義從隱性轉化為顯性，為學生更好地理解搭建“腳手架”，直觀地解釋每一步的算理，溝通了口算和豎式計算相應的聯系，“先分后合”的思路與乘法豎式計算的基本思路融為一體，突出了教學重點，突破了教學難點。

三、利用數線，理解算理

數線作為一種直觀工具，能幫助小學生理解數學算理。北師大版教材從一年級就開始引入數線，類似“尺子”的數線實際上是數軸的“雛形”，利用數線既可以體會數的順序和比較大小，又可以進行計算：“順著數”相當于加法，“倒著數”相當于減法，可以幫助學生很好地理解加法和減法的計算道理，因此，數線具有重要的價值。在教學北師大版二年級《加與減》中有關三位數進位或不進位加減法時，如計算122+149=？，這里教材采用了畫數線、撥計算器、列豎式計算三種方式，啟發學生借助多種直觀方式獲得計算結果。在畫數線時把122作為起點，將149分為100、40、9，因為是加法所以“向右順著畫”，先整百加，再整十加，最后加個位得出271的結果。計算118-57時，118作為起點，因為是減法所以“向左倒著畫”，整十、個位逐一減去，非常地直觀易懂。

經過實踐，學生很喜歡這種方式，學生更容易依據數線理解算理得出結果，而且不易出錯。數線是一種非常直觀易懂的方法，等同于分步計算，學生容易理解數的組成和意義，發現相同數位要對齊的計算道理。教材之所以大量采用畫數線的方法解決加與減的計算就是因為畫數線體現了口算過程的直觀化，它幫助學生直觀地展示和記錄了計算的過程，利于學生數感的形成。當然，對于計算教學，教材還采用了很多直觀的方法，如表格、畫線段、計數器等，主要目的就是要讓學生在領悟算理的基礎上掌握算法，形成計算技能。不明白算理的算法是機械的，對計算技能的形成是不牢固的，其遷移能力就難以培養，無法靈活運用。在計算教學要充分發揮這些直觀工具，注重“數形結合”幫助學生理解算理，做到“循理入法，以理馭法”，最終形成牢固靈活的計算技能。