基于PWA融合模型的注塑過程保壓段建模及控制策略

黃耀波，劉佳新，徐祖華，趙均，邵之江

（浙江大學控制科學與工程學院，工業控制技術國家重點實驗室，浙江杭州310027）

引 言

塑料是以石油或天然氣為原料，經過合成反應而得到的高分子材料，具有諸多優良特性，例如導熱性差、絕緣性好、透明度高等。塑料制品在高分子產量中占有重要份額，以低廉的價格、可靠的性能及豐富的產品功能，被廣泛用于汽車、機電、儀表、航天等國民經濟的各個領域[1]。

注塑成型又稱注射模型成型，是一種注射兼模塑的成型方法，而注塑機是注塑成型的主要設備。注塑過程是典型的低成本批次生產過程，由注射、保壓、冷卻等階段構成[2]，按照以上階段重復進行。其過程狀態隨時間而變，不具備穩態工況點[3]。其中，保壓段是決定成品質量的一個重要階段，它的關鍵變量是保壓壓力[4-5]，但由于保壓過程運行區間內一般沒有穩態工作點，保壓壓力會在較大范圍內波動，導致過程表現出強烈的非線性和時變特性，線性時不變模型已經不能充分描述此過程。

分段仿射(piece-wise affine, PWA)模型是混雜模型的一個重要子類，可以以任意精度描述非線性模型[6]，常用于非線性模型的建模[7]。該模型將狀態空間分割成若干個凸多面體區域，不同的區域由不同的線性子模型來描述，并且系統狀態在各區域的交界處保持連續[8]，基于注塑過程的特點，可用PWA模型描述注塑過程保壓段動態特性[9]。

PWA模型的建立有許多種方法，如Vidal等[10]提出代數求解的方法，Ferrari-Trecate 等[11]提出聚類求解的方法，Bemporad 等[12-13]提出一種有界誤差的方法，Juloski 等[14]提出基于貝葉斯概率的方法等，然而在切換時刻子模型的硬切換會使輸出值產生跳變，不符合實際生產過程。為了使相鄰的子模型平滑過渡，需要引入切換區間的概念，切換區間用相鄰兩個子模型加權組合描述切換過程的動態特性。因此對基于時間劃分的PWA模型引入切換區間，設計PWA融合模型的辨識算法，采用線性融合的方式描述切換區間特性。并且基于上述模型設計了多模型PID 控制器，注塑機實驗結果表明多模型PID控制器能達到較好的控制效果。

1 基于PWA融合模型的保壓段建模

注塑過程保壓段可用如下線性時變模型描述

式中，k和t分別表示批次軸和時間軸坐標，K和T 分別表示批次軸和時間軸長度，yk(t)、uk(t)和vk(t)分別為第k批次時刻t的輸出、輸入和擾動；G(q,t)為uk(t)、yk(t)之間的時變傳遞函數。

由于擾動具有很強的批次相關性，可用批次軸的積分白噪聲表示[15-16]

式中，ek(t)為零均值白噪聲，上述非平穩擾動不滿足辨識的基本要求，因此對相鄰批次做差分

其中

常見的PWA 模型為如下分段仿射自回歸(piece-wise autoregressive eXogenous, PWARX)模型的形式

其中

s 為回歸向量集χ 的分區個數，θi為每個仿射子模型的參數向量，φk為回歸向量，n 為子模型的階數，={Hiφk(t)≤0}形成完整的回歸域χ，Hi為切面方程的系數矩陣，滿足回歸向量集的不重疊劃分需要對切面方程的系數矩陣進行估計，求解時存在很大難度[17-18]。保壓段的過程特性隨時間而變，且具有批次重復性[19]，因此本文利用上述特性將時間作為回歸向量集劃分的依據，得到基于時間劃分的PWA 映射。由于PWARX 模型不適合輸出誤差結構[20]，因此考慮到批次過程的特點，提出基于時間劃分的分段仿射輸出誤差(piece-wise affine output error,PWAOE)模型[21-22]

其中，f(· )為PWA映射，定義如下

式中，Ti為切換時刻，s為子模型個數，且定義

因此模型式(5)可以寫成下面的形式

由于PWA 模型硬切換時會引起較大的輸出跳變，為了使子模型之間的切換更加平滑，在子模型切換過程中引入切換區間，并采用線性融合的方式對切換過程進行描述，權重函數和切換區間的左右邊界如圖1 所示。圖中實線表示非切換區間，虛線表示切換區間左右兩個子模型的線性權重，TLi和TRi表示第i 個切換區間的左右邊界，基于線性加權的PWA融合模型可表示為

在第i 個切換區間，ζi(t)和ζ'i(t)分別表示第i 個子模型和第i+1個子模型的權重，并有

圖1 線性加權權重函數Fig.1 Weighting function of linear weighting

2 PWA融合模型辨識

PWA 融合模型的辨識問題可轉化為切換區間左右邊界以及對子模型參數的估計，參數分別記為

對PWA模型，其一步最優預測值為

其中，σ(t)和υ(t)的定義如下

通過最小化預報誤差損失函數估計參數

其中

上述優化命題含有離散和連續多重類型的變量，屬于混合整數規劃。離散變量不存在梯度信息，直接求解的難度很大且容易出現數值問題。若切換時刻固定，PWAOE 模型的辨識就退化成標準的OE 模型參數估計問題；各子模型參數固定，該問題就變為針對整數切換時刻的無梯度數值優化問題。因此利用分離最小二乘原理對式(13)所示優化命題中的離散變量Γ 和連續變量Θ 分別進行優化。PWA融合模型的辨識步驟如下。

（1）初始化：確定切換時刻Γ 模型和子參數Θ的初值。

（2）固定Γ，通過Levenberg-Marquardt(LM)算法使如下損失函數J最小計算Θ

（3）固定Θ，通過多維尺度變換(multiple dimensional scaling, MDS)算法使如下損失函數J 最小計算Γ

（4）返回步驟（2），直至算法收斂或到達最大迭代次數。

算法流程如圖2所示。

圖2 辨識算法整體流程Fig.2 Process of identification algorithm

對于步驟(2)的非線性最小二乘問題，已有Newton-Raphson、Gauss-Newton、Levenberg-Marquardt等數值優化方法。由于LM方法具有收斂速度快、數值穩定性好的優點，本文采用LM方法進行數值求解，并得到如下迭代計算過程

步驟(3)中的優化命題需要優化不連續的整數切換時刻，沒有可以利用的梯度信息，因而無法使用現有的凸優化理論求解。單純形搜索算法是一種典型的無梯度信息優化算法，該算法通過不斷構造新的單純形以替換原有單純形，使單純形逐漸向極小點靠近，反復迭代直至單純形收斂得到極小點。

MDS 算法是對Nelder-Mead 單純形法[23-24]的改進，該算法是一種非線性規劃的單純形直接搜索算法[25]，可根據目標函數值的大小選擇新的迭代點，不需保證充分下降條件[26]。MDS 算法的基本思想是：給定n 維空間的一個單純形，確定n+1 個頂點中具有最小函數值的頂點，以該點作為單純形的反射中心，然后通過旋轉、擴展、收縮等方法構造新的單純形，依次迭代直至收斂，如圖3所示。

圖3 MDS算法的旋轉、擴展、收縮Fig.3 Rotation,expansion and shrinkage of MDS

因此切換時刻的更新可通過MDS算法完成。

上述PWA 融合模型的辨識算法中，需要設計多種模型結構（子模型個數s 和模型階次n）分別進行辨識，從中選擇損失函數較小的模型結構。系統辨識中通常采用如下的模型結構準則進行階次選擇[27]

其中，N 是辨識數據個數，J 是損失函數值, p =(s - 1)+ 2sn 是參數個數，γ 是模型復雜度。CIC(copula information criterion, CIC) 準 則γ(p,N)=p lg2N 對模型結構的復雜程度更敏感。因此，本文采用CIC準則進行PWA模型結構的選擇。

3 基于PWA融合模型的保壓段控制

圖4 多模型PID控制器示意圖Fig.4 Diagram of multi-model PID controller

由于PID 控制器具有結構簡單、魯棒性強等特點，本文采用PID 控制器進行保壓段控制策略設計[28]。考慮到保壓段的時變特性，通過第二部分的PWA 融合模型，設計了如圖4 所示結構的多模型PID控制器。

首先該多模型PID 控制器針對每個PWA 子模型設計局部PID 控制器，然后將局部控制器進行加權組合，各局部控制器的權重和PWA融合模型的權重相同。考慮到微分項對噪聲有放大作用，采用如下實際微分PID控制算法

式中,β可選取0.05～0.2，一般取0.1。令

離散化可得

結合式(18)、式(19)和式(20)可得位置型PID算法

式中，Ts是采樣周期。實際運行時，位置型PID會產生積分飽和現象，對式(21)進行差分可得到增量式PID算法

局部控制器采用輸出融合的方式，切換區間和加權方式與PWA融合模型的形式類似，基于該模型的多模型PID控制器如下

其中

多模型PID 控制器的參數整定可以通過內模整定局部PID控制器得到。

4 實驗結果

本文實驗所用的實驗平臺為海太HTL68/JD，是常規工業臥式注塑機，外觀如圖5所示。

圖5 注塑機外觀圖Fig.5 Appearance of injection molding machine

根據保壓段的工藝要求[29-30]，設計閥門設定軌跡并且設計PID 控制器實現保壓階段的閉環控制，得到閥門開度的標稱軌跡，并在標稱軌跡上疊加幅值為2 的廣義二進制噪聲(generalized binary noise,GBN)信號，如圖6所示。

圖6 標稱軌跡附近GBN測試Fig.6 GBN test near nominal trajectory

每個批次的采樣時刻為600 個，共進行11 個批次的測試實驗。通過分離最小二乘辨識方法，得到PWA 融合模型的切換區間和子模型參數。不同模型結構下PWA 融合模型的切換區間的左右邊界及對應的損失函數值J見表1。

分別計算階次為1～5 的PWA 融合模型在不同結構下的損失函數并計算CIC準則，結果見圖7。

表1 階次為1的PWA融合模型切換區間及損失函數值Table 1 Switching intervals and loss function for order=1

圖7 PWA融合模型不同結構的CIC值Fig.7 CIC criterion for different structure of PWA fusion model

根據圖7，選擇4 個切換區間即5 個子模型，階次為2，此時CIC 準則取得最小值，切換區間為(107/189,199/299,399/470,480/521)，如圖8所示。

圖8 PWA融合模型的切換區間Fig.8 Switching intervals of PWA fusion model

由圖8 可知，注塑過程保壓階段在穩定工作點附近非線性較小，可用單個子模型描述，在上升段和下降段工況變動較大，需要引入另外的子模型并進行模型的融合。辨識所得到PWA 融合模型如下

根據得到的PWA融合模型，按照內模方法整定局部PID 控制器的參數見表2，多模型PID 控制器的控制效果如圖9所示。

表2 多模型PID控制器參數Table 2 Parameters of multi-model PID controller

圖9 保壓段多模型PID控制實驗Fig.9 Multi-model PID control experiment for packing stage

根據圖9，多模型PID控制器的控制作用比較平穩，保壓壓力能夠快速跟蹤設定值的變化，同時有效抑制過程的噪聲和擾動。

5 結 論

根據批次過程的特性，本文在PWA模型切換過程中引入切換區間，并采用線性加權的方法得到PWA 融合模型。該模型可以有效避免PWA 模型硬切換方式的跳變問題，且模型結構較簡單。PWA 融合模型的辨識包含兩方面內容：切換區間的確定和子模型參數的估計。兩者互相關聯，且分別為離散變量和連續變量，是一個NP-hard 問題。本文通過分離最小二乘的方法辨識PWA融合模型，基于得到的PWA 融合模型設計多模型PID 控制器并采用內模方法整定參數。實驗結果表明，多模型PID 控制器能控制保壓壓力快速跟蹤到設定軌跡，并且能夠有效抑制擾動。