近距二次反射法測(cè)量金屬絲楊氏模量

胡訓(xùn)美，張 波

(皖西學(xué)院 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中心，安徽 六安 237012)

在靜態(tài)拉伸法測(cè)量金屬絲楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，為了提高光杠桿的放大倍數(shù)，通常要求尺讀望遠(yuǎn)鏡與光杠桿的鏡面水平相距距離在1米以上[1]。這導(dǎo)致楊氏模量測(cè)量?jī)x在實(shí)際使用過(guò)程中需要占用較大空間。此外，外加砝碼時(shí)由于人為因素會(huì)導(dǎo)致金屬絲抖動(dòng)，從而產(chǎn)生讀數(shù)誤差。針對(duì)這些問(wèn)題，本文利用近距二次反射法測(cè)定金屬絲楊氏模量，把橫向水平鏡尺距離轉(zhuǎn)化為縱向垂直距離，利用光杠桿與平面鏡間的二次反射增加光程，從而完成對(duì)金屬絲微小變化量的測(cè)量。這不僅節(jié)省了儀器占用空間，而且通過(guò)數(shù)字式施力計(jì)代替外加砝碼改變金屬絲拉力，減小了外在人為因素導(dǎo)致的實(shí)驗(yàn)誤差。

1 靜態(tài)拉伸法測(cè)量金屬絲楊氏模量的實(shí)驗(yàn)原理

設(shè)一根粗細(xì)均勻的金屬絲，在受到沿長(zhǎng)度方向的外力F的作用下產(chǎn)生形變，其形變量為ΔL，根據(jù)胡克定律：

(1)

式中L為線性長(zhǎng)度，S為橫截面積，比例系數(shù)Y即為金屬絲的楊氏模量(單位：N/m2)。對(duì)于直徑為d的金屬絲，其楊氏模量為：

(2)

在L、d和F相同的情況下楊氏模量Y越大的金屬絲，其伸長(zhǎng)量ΔL越小，常用的測(cè)量工具難以對(duì)ΔL進(jìn)行測(cè)量，實(shí)驗(yàn)中需要用光杠桿進(jìn)行放大測(cè)量[2]。

1.1 傳統(tǒng)光杠桿放大原理

如圖1所示，將光杠桿的前足尖固定在平臺(tái)上的凹槽中，后足尖放置于金屬絲活動(dòng)夾表面，當(dāng)外加砝碼時(shí)，金屬絲在外力作用下改變了ΔL微小長(zhǎng)度，此時(shí)光杠桿鏡面偏轉(zhuǎn)θ角度，反射光線改變2θ角度，從望遠(yuǎn)鏡里觀察到的標(biāo)尺刻度從初始位置由R0變化到R1的位置。由圖中的幾何關(guān)系可知

圖1 光杠桿原理圖

(3)

(4)

式中b為光杠桿的臂長(zhǎng)，D為鏡尺距離，ΔR為加上外力以后望遠(yuǎn)鏡里標(biāo)尺刻度的改變量。由于角θ很小，tanθ≈θ，tan2θ≈2θ，所以

(5)

(6)

由(5)式和(6)式可消去θ，得

(7)

將(7)式代入(2)式得

(8)

光杠桿系統(tǒng)的放大倍數(shù)為：

(9)

從(9)式中可以得出，D越大光杠桿系統(tǒng)放大倍數(shù)β越大。但在具體實(shí)驗(yàn)過(guò)程中由于場(chǎng)地、儀器等因素影響了鏡尺距離D的大小，從而直接限制了光杠桿放大倍數(shù)，影響了實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量精度。因此需要對(duì)傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中所用到的楊氏模量測(cè)量?jī)x器進(jìn)行改進(jìn)。

2 近距二次反射法測(cè)量金屬絲楊氏模量

2.1 楊氏模量測(cè)量?jī)x器的改進(jìn)

圖2 近距二次反射法楊氏模量測(cè)量?jī)x示意圖

如圖2所示，將待測(cè)金屬絲一端固定在楊氏模量測(cè)量?jī)x的頂部夾具上，金屬絲另一端穿過(guò)活動(dòng)夾頭與施力計(jì)相連。頂部夾具上裝置一平面反射鏡，標(biāo)尺和光杠桿平臺(tái)處于同一平面上，且標(biāo)尺位于光杠桿平臺(tái)的一側(cè)。光杠桿平臺(tái)上的刻度尺發(fā)出的光通過(guò)頂部夾具上平面反射鏡反射至光杠桿鏡面，經(jīng)光杠桿鏡面反射到達(dá)望遠(yuǎn)鏡視場(chǎng)中[3](P11)。這種改進(jìn)將傳統(tǒng)儀器中橫向水平鏡尺距離轉(zhuǎn)化為縱向垂直距離，打破了水平空間對(duì)測(cè)量精度的限制。

2.2 近距二次反射法測(cè)量微小位移原理

如圖3所示，調(diào)節(jié)光杠桿鏡面使得鏡面法線與水平方向成一夾角(45°)，再調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡直至在望遠(yuǎn)鏡視場(chǎng)中看到清晰的標(biāo)尺示數(shù)x1的像。通過(guò)施力計(jì)對(duì)金屬絲施加外力，待測(cè)金屬絲在施力計(jì)的作用下產(chǎn)生的微小位移為ΔL[4]，此時(shí)光杠桿動(dòng)足尖下降從而帶動(dòng)光杠桿鏡面轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θ，根據(jù)光的反射定律可知，在出射光線(即進(jìn)入望遠(yuǎn)鏡的光線)不變的情況下，入射光線相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)了2θ角度，此時(shí)在望遠(yuǎn)鏡中觀察到標(biāo)尺示數(shù)變?yōu)闉閤2，標(biāo)尺示數(shù)的改變量為Δx。

圖3 近距二次反射法光杠桿放大原理

從圖3的幾何關(guān)系中我們可以看出，

(10)

(11)

式中H是上夾具上固定的反射鏡轉(zhuǎn)軸到光杠桿平臺(tái)上標(biāo)尺間縱向垂直距離，實(shí)驗(yàn)中H?ΔL，且在外力作用下金屬絲的微小變化量所導(dǎo)致的光杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)θ角很小[5]，所以有：tanθ≈θ,tan2θ≈2θ

(12)

(13)

故有：

ΔL=b·θ

(14)

Δx=2θ·2H

(15)

聯(lián)立(14)和(15)式消去θ,得

(16)

儀器中4H?b，這樣一來(lái)，便能把一微小位移ΔL放大成較大的容易測(cè)量的位移Δx。將(16)式帶入(2)式得到：

(17)

如此，可以通過(guò)測(cè)量(17)式右邊的各參量得到被測(cè)金屬絲的楊氏模量，式中各物理量的單位取國(guó)際單位(SI制)。

2.3 改進(jìn)后的光杠桿及放大倍數(shù)

改進(jìn)后的光杠桿其反射鏡轉(zhuǎn)動(dòng)軸線在光杠桿鏡面內(nèi)，動(dòng)足尖自由放置在活動(dòng)夾頭表面。光杠桿的臂長(zhǎng)為反射鏡轉(zhuǎn)軸中心點(diǎn)到動(dòng)足尖的距離，可自由調(diào)節(jié)[6]。光杠桿鏡尺系統(tǒng)的放大倍數(shù)為：

(18)

由(18)式可知，改進(jìn)后的近距二次反射法測(cè)量楊氏模量裝置中其光杠桿鏡尺系統(tǒng)的放大倍數(shù)僅與縱向垂直距離H和光杠桿的臂長(zhǎng)b有關(guān)，與望遠(yuǎn)鏡和楊氏模量測(cè)量?jī)x的水平距離D無(wú)關(guān)。

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果及分析

3.1 碳鋼絲直徑測(cè)量數(shù)據(jù)

表1 金屬絲直徑的測(cè)量

3.2 光杠桿常數(shù)及金屬絲長(zhǎng)度的測(cè)量

用鋼卷尺測(cè)量碳鋼絲的原長(zhǎng)L，即金屬絲的上夾頭下表面到平臺(tái)活動(dòng)夾的距離。用鋼卷尺測(cè)量鏡尺距離，即反射鏡轉(zhuǎn)軸鏡面到標(biāo)尺的垂直距離H。用游標(biāo)卡尺測(cè)量光杠桿臂長(zhǎng)b，即水平卡座長(zhǎng)度。用鋼卷尺測(cè)量出望遠(yuǎn)鏡與光杠桿鏡面距離D，見(jiàn)表2。

表2 光杠桿常數(shù)及碳鋼絲長(zhǎng)度的測(cè)量

3.3 測(cè)量標(biāo)尺示數(shù)x的值

1)按實(shí)驗(yàn)裝置示意圖裝置好儀器，調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡直至在望遠(yuǎn)鏡視場(chǎng)中看到清晰的標(biāo)尺刻度像；

3)緩慢旋轉(zhuǎn)施力螺母，逐漸增加碳鋼絲的拉力，每隔0.50 kg記錄一次標(biāo)尺示數(shù)，直至設(shè)定值；

5)求出標(biāo)尺示數(shù)改變量Δx值，見(jiàn)表3。

表3 標(biāo)尺示數(shù)x的值

3.4 測(cè)量結(jié)果

將表1—表3的測(cè)量數(shù)據(jù)帶入(17)式中，則利用本裝置測(cè)得的碳鋼絲楊氏模量結(jié)果為：

Y=2.02×1011(N/m2)

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度U(Y)進(jìn)行評(píng)定，U(Y)=1.854×109(N/m2),寫出金屬絲楊氏模量的結(jié)果表達(dá)式為：

Y=(2.02±0.02)×1011(N/m2)

碳鋼絲在20 ℃時(shí)楊氏模量的理論值為(2.0×1011—2.1×1011)N/m2，測(cè)量結(jié)果在誤差范圍內(nèi)，由此可見(jiàn)測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確。

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用近距二次反射式楊氏模量測(cè)量?jī)x器，把橫向水平鏡尺距離轉(zhuǎn)化為縱向垂直距離，在測(cè)量過(guò)程中不僅縮短望遠(yuǎn)鏡與實(shí)驗(yàn)儀器之間的距離，節(jié)省儀器占的用空間，而且有效地提高了光杠桿的放大倍數(shù)。實(shí)際測(cè)量所得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確、誤差小，提高了實(shí)驗(yàn)精確度。