高中數學函數零點問題探索與研究

摘 要：在高考中，高中數學函數零點問題常常出現，解決函數零點問題一般要利用方程思想、化歸思想、數形結合思想、分類討論思想等思想方法，體現思維的靈活性。本文通過一些范例來探討高中數學常見的函數零點問題類型，以期拋磚引玉。

關鍵詞：高中數學;函數零點;思想方法

函數零點是高中數學的重要知識點，是眾多數學知識的聯結點，能夠將函數與方程、數與形有機結合在一起。在函數零點教學過程中，教師要利用學生的主體地位，引導學生去發現問題，根據題意分析問題，運用恰當的數學思想方法去解決問題。

一、 求函數零點的值

求函數零點的值，可以根據函數零點的定義，轉化為求解方程，方程的根即為所求函數的零點。

【例1】 已知f（x）=x3-3x2-4x，求函數f（x）的零點。

解：令x3-3x2-4x=0，即x（x-4）（x+1）=0，解得：x=0，x=4，x=-1。

故函數f（x）的零點為0，-1，4。

二、 判斷函數零點的范圍

這類問題，常常要利用函數零點的存在性定理、數形結合等方法來解決。

【例2】 已知函數f（x）=2x-lnx（x>0）的零點所在的大致區間是（）

A. （4，+∞）B. （2，3）

C. （2，3）和（3，4）D. （1，2）

解析：∵f（2）=1-ln2>0，f（3）=23-ln3<0，所以 f（2）·f（3）<0，由函數零點存在性定理可知，f（x）在區間（2，3）內存在零點，且f（x）在（0，+∞）上為減函數，∴f（x）在區間（2，3）內有且只有一個零點，故選B。

【例3】 已知函數f（x）=x-x（x>0）的零點為x1，g（x）=x+ex的零點為x2，h（x）=x+lnx的零點為x3，則（）

A. x1

C. x2

解析：畫出函數y1=x，y2=-ex，y3=-lnx和直線y=x的圖像，如圖所示，x1=1，x2<0，0

三、 求函數零點的個數

這類問題的解決方法主要有三個：一是先求出零點，然后看零點有多少個;二是利用零點存在性定理，同時結合函數的單調性來確定零點個數;三是恰當構造函數，把求零點個數問題轉化為求函數圖像的交點個數問題。

【例4】 函數f（x）=x2-2，x≤0，2x-6+lnx，x>0的零點個數是_____。

解析：當x≤0時，由x2-2=0，得x1=-2，x2=2（舍去），所以f（x）在（-∞，0]上只有一個零點;當x>0時，因為f′（x）=2+1x>0，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增，又f（2）=-2+ln2<0，f（3）=ln3>0，f（2）·f（3）<0，故f（x）在（0，+∞）上只有一個零點。綜上，函數f（x）在R上有2個零點。

【例5】 函數f（x）=|log0.5x|-12x的零點個數為_____。

解析：由|log0.5x|-12x=0，得|log0.5x|=12x，

構造兩個函數y1=|log0.5x|和y2=12x并作出它們的圖像，

如圖可知，兩圖像有2個交點，

故函數f（x）的零點個數為2個。

【例6】 設函數f（x）=lnx+mx，m∈R。討論函數g（x）=f′（x）-x3的零點的個數。

解：由題設g（x）=f′（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0），

令g（x）=0，得m=-13x3+x（x>0）。

設φ（x）=-13x3+x（x>0），

則φ′（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1），

當x∈（0，1）時，φ′（x）>0，φ（x）在（0，1）上單調遞增;

當x∈（1，+∞）時，φ′（x）<0，φ（x）在（1，+∞）上單調遞減。

∴x=1是φ（x）的唯一極值點，且是極大值點，因此x=1也是φ（x）的最大值點，

∴φ（x）的最大值為φ（1）=23。

又φ（0）=0，結合y=φ（x）的圖像（如圖）。

y=φ（x）（x>0）的圖像與直線y=m的交點個數即為函數g（x）的零點個數。

①當m≤0時，y=φ（x）（x>0）的圖像與直線y=m有1個交點。

②當00）的圖像與直線y=m有2個交點。

③當m=23時，y=φ（x）（x>0）的圖像與直線y=m有1個交點。

④當m>23時，y=φ（x）（x>0）的圖像與直線y=m無交點。

綜上所述，當m>23時，函數g（x）無零點;

當m≤0或m=23時，函數g（x）有且只有一個零點;

當0

四、 根據函數零點的個數求參數范圍

求解這類問題可以采用分離參數法，轉化為求函數值域;也可以考慮結合圖像，采用數形結合等方法解決。

【例7】 已知函數f（x）=x2+（m-1）x+1在區間（0，2）上有零點，求實數m的取值范圍。

解：函數f（x）=x2+（m-1）x+1在區間（0，2）上有零點，轉化為方程x2+（m-1）x+1=0在（0，2）上有解。方程等價變形為1-m=x+1x，容易求得y=x+1x在（0，2）上的值域是[2，+∞），

∴1-m≥2，解得m≤-1，

故實數m的取值范圍是（-∞，-1]。

【例8】 已知函數f（x）=-x2+2ex+m-1，g（x）=x+e2x（x>0）。

（1）若g（x）=m有零點，求m的取值范圍;

（2）確定m的取值范圍，使得函數h（x）=g（x）-f（x）有兩個零點。

解：（1）∵g（x）=x+e2x≥2e2=2e（x>0），當且僅當x=e2x時取等號，∴當x=e時，g（x）有最小值2e?！鄃（x）∈[2e，+∞）。即當m∈[2e，+∞）時，g（x）=m有零點。

（2）函數h（x）=g（x）-f（x）有兩個零點，即g（x）-f（x）=0有兩個相異實根，則函數g（x）與f（x）的圖像有兩個不同的交點。

如圖，作出函數g（x）=x+e2x（x>0）的大致圖像。

∵f（x）=-x2+2ex+m-1=-（x-e）2+m-1+e2，

∴其對稱軸為x=e，fmax（x）=m-1+e2。

若函數f（x）與g（x）的圖像有兩個交點，則m-1+e2>2e，即當m>-e2+2e+1時，函數h（x）=g（x）-f（x）有兩個零點?！鄊的取值范圍是（-e2+2e+1，+∞）。

通過以上探討，函數零點問題可以將函數、方程、圖像有機聯系在一起，充分運用化歸思想，將較復雜的函數零點問題轉化為簡單的或直觀的數學問題，培養和發展學生的數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養。

作者簡介：

范立東，廣東省梅州市，廣東梅縣東山中學。