函數與導數求解中的“誤區警示”

■江蘇省南京市江寧高級中學 唐 杰

本文對函數與導數解題中的常見誤區分類例析,剖析其出錯的原因,并給出警示,希望能引起同學們的高度重視。

誤區1——外層函數奇偶性判斷中忽略整體變量的范圍

剖析：換元求出表達式時忽略新變量的值域應為外層函數的定義域。

正解：設u=x2-3,由題設知x2-6＞0,則u=x2-3=(x2-6)+3＞3,解出x2=u+3,代入有f(u)=lg其定義域為(3,+∞),則f(x)=lg,定義域關于原點不對稱,故外層函數f(x)為非奇非偶函數。

警示：判斷外層函數的奇偶性,實質是利用換元法求外層函數的表達式,換元過程中一定要注意原變量的值域,這個值域為外層函數的定義域。

誤區2——分段函數在R上的單調性忽略分界點函數值的大小

錯解：要使得f(x)在R上是增函數,則兩個函數y=(2-a)x+1與y=ax均為增函數,所以1＜a＜2。

剖析：只考慮到各段函數在相應定義域內為增函數,忽視f(x)在分界點附近函數值的大小關系。

正解：要使得f(x)在R上是增函數,則兩個函數g(x)=(2-a)x+1與h(x)=ax均為增函數,并且還要滿足在x=1處,有2,所以a的取值范圍是

警示：分段函數在區間上單調到R上單調,既要保證區間上單調又要注意區間分界點處函數值的大小關系。

誤區3——分段函數不等式求解忽略分類或每段的前提條件

警示：分段函數不等式求解,利用分類討論思想,關鍵在于“對號入座”,即分段函數中自變量取值范圍的界定,代入相應的解析式求解不等式,注意取值范圍的大前提,然后把兩個不等式的解集并起來即可。

誤區4——二次函數有一個零點誤用判別式

例4函數f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1的圖像與x軸只有一個交點,求實數m的取值范圍。

錯解：由Δ=0解得m=0或m=-3。

剖析：錯解未考慮m-1=0的情況。

(1)當m-1=0,即m=1時,f(x)=4x-1與x軸只有一個交點,滿足題意;

(2)當m-1≠0時,Δ=4(m+1)2-4×(-10)×(m-1)=0,解得m=0或m=-3。

綜上所述,實數m的取值范圍是-3,0,1｛ ｝。

警示：二次函數有一個零點時一定要分清是R上還是區間上,R上可用判別式,區間上單純地用判別式求解會出錯,此時應用根的分布求解。

誤區5——二次方程根的分布忽略條件

例5 是否存在這樣的實數k,使得關于x的方程x2+(2k-3)x-(3k-1)=0有兩個實數根,且兩根都在0與2之間?如果有,試確定k的取值范圍;如果沒有,試說明理由。

剖析：方程兩根都在0與2之間,根據圖像特征,可知除滿足上述條件外,還要考慮二次函數的對稱軸在區間(0,2)內。

正解：令f(x)=x2+(2k-3)x-(3k-

警示：一元二次方程的根的分布,可以作出對應二次函數圖像進行判斷,主要從開口方向、判別式、對稱軸、區間端點處的函數值的正負等構建不等式組求解。

誤區6——冪函數單調性應用中缺少分類意識

例6 若(m+1)4＜(3-2m)4,試求實數m的取值范圍。

錯解：由(m+1)4＜(3-2m)4和冪函數的性質知,m+1＜3-2m,解得

剖析：錯解中誤認為m+1,3-2m都在區間[0,+∞)內,y=x4在[0,+∞)上單調導致漏解。

正解：若注意y=x4的圖像關于y軸對稱的特點,利用絕對值將問題化歸為在(0,+∞)上的單調性,來尋求簡捷的思路。由于α=4時,x4=|x|4。于是有(m+1)4＜(3-2m)4,即|m+1|4＜|3-2m|4。又因為冪函數y=x4在(0,+∞)上單調遞增,所以|m+1|＜|3-2m|,解得m＜,或m＞4。

警示：本題巧妙運用轉化思想解題,從而避免了分類討論,使同學們的思維又一次得到深化與發展。解題過程中利用圖像關于y軸對稱的特點,將函數不等式轉化為含絕對值不等式的解法,蘊含的這種“轉化”思想,既拓寬了我們的解題思路,同時也體現了對知識的靈活應用能力,當然此題還可用分類討論的方法解決,同學們不妨一試。

誤區7——混淆過曲線某點的切線與在某點處的切線

例7 求過點A(2,8),且與曲線f(x)=x3相切的直線方程。

錯解：因為f′(x)=3x2,所以f′(2)=12,則切線方程為y-8=12(x-2),所以y=12x-16。

剖析：錯解混淆了“過某點”與“在某點”處的切線的概念,因此應考慮A(2,8)是切點和不是切點兩種情況。

(1)當A(2,8)是切點時,由錯解可得到切線方程為y=12x-16。

(2)當A(2,8)不是切點時,設切點為P(x0,y0)(x0≠2),切線斜率為k。

綜上所述,所求切線方程為y=12x-16或y=3x+2。

警示：(1)曲線的切線不一定和曲線只有一個交點。(2)“在”某一點的切線和“過”某一點的切線是兩個不同的概念。(3)在某一點的切線若有則只有一條,而過某一點的切線往往不只是一條。(4)用導數求切線的斜率時,必須要設出切點,采取“待定切點法”求解。如本題,當A不是切點時,設切點(x0,y0),切線斜率為k,三個未知量需用三個條件求解：①y0=f(x0),②k=f′(x0),③k=,解得切點坐標得到其切線方程。

誤區8——混淆“導數為0”與“有極值”的邏輯關系

例8 函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,求a,b的值。

錯解：由f(1)=10,f′(1)=0,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3。

所以a=4,b=-11。

警示：對于可導函數而言,取到極值的充要條件是兩側異號。“導數為零”是“有極值”的必要條件。

誤區9——誤認為分段函數的極值只能在導數為零的點處取得

例9 求函數f(x)=|x2-x-6|的極值。

剖析：在確定極值時,只討論滿足f′(x)=0的點x0附近導數的符號變化情況是不全面的,在導數不存在的點處也可能存在極值。在錯解中,補充在x=-2和x=3處函數取到極小值0。

警示：分段函數的極值可能存在于導數為零處,也可能存在于函數的分段點處。作出其圖像,數形結合是最保險的方法。