圓錐曲線求解中的易錯(cuò)問題剖析

■江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué) 季慧鳳

在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中,同學(xué)們由于未從根本上理解曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,故而在數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化時(shí)常出現(xiàn)偏差和遺漏,在繁雜的運(yùn)算中,忽視等價(jià)性,導(dǎo)致“失根”或“增根“的現(xiàn)象。本文針對(duì)圓錐曲線中常見的易錯(cuò)、易混、易忘的典型題進(jìn)行錯(cuò)解剖析和警示展示,希望引起同學(xué)們的高度重視。

易錯(cuò)點(diǎn)1——忽略圓錐曲線定義中的隱含條件致錯(cuò)

剖析：錯(cuò)解中忽略了定點(diǎn)(1,2)就在直線3x+4y-11=0上這個(gè)隱含條件,應(yīng)選A。

警示：注意橢圓、雙曲線和拋物線隱含條件的限制,認(rèn)識(shí)橢圓、雙曲線及拋物線蛻化后的線段、射線及直線意義的理解。區(qū)分雙曲線及雙曲線一支。

易錯(cuò)點(diǎn)2——忽略橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程=1中的隱含條件a2≠b2致錯(cuò)

錯(cuò)解：因?yàn)橹本€y-kx-1=0過定點(diǎn)(0,1),根據(jù)橢圓方程可知m＞0,所以橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)為(0,),若直線與橢圓恒有公共點(diǎn),只要點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi)部或橢圓上即可,所以≥1,解得m≥1。

剖析：錯(cuò)解中忽略“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方=1中的隱含條件a2≠b2”,應(yīng)補(bǔ)充m≠5,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,5)∪(5,+∞)。

易錯(cuò)點(diǎn)3——忽略橢圓或雙曲線焦點(diǎn)所在位置的討論致錯(cuò)

警示：由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求解參數(shù)值時(shí),一定要注意焦點(diǎn)所在的位置,當(dāng)位置不確定時(shí)要分兩類進(jìn)行討論。

易錯(cuò)點(diǎn)4——忽略直角三角形直角頂點(diǎn)位置的判斷致錯(cuò)

的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,若F1,F2,P為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則點(diǎn)P到x軸的距離為

錯(cuò)解：因?yàn)镻F1⊥PF2,所以可設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則48=m2+n2,m+n=2a=8,平方可得2mn=16,由等面積法知可求得點(diǎn)P到x軸的距離為

剖析：錯(cuò)解只考慮P為直角定點(diǎn)的情形,而忽略了PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2這兩種情形,此時(shí)點(diǎn)P到x軸的距離為半通徑的長(zhǎng),

警示：焦點(diǎn)三角形為直角三角形,要借助c2,b2的大小關(guān)系來(lái)判斷解的情況,若c2＜b2,則直角頂點(diǎn)為兩焦點(diǎn)且有兩種情形;若c2=b2,則直角頂點(diǎn)為橢圓的上下兩頂點(diǎn);若c2＞b2,則直角頂點(diǎn)有四種情形。注意橢圓的對(duì)稱性,借助等面積法和半通徑的長(zhǎng)可求得直角頂點(diǎn)到x軸的距離。

易錯(cuò)點(diǎn)5——忽略橢圓參數(shù)方程（三角換元）的應(yīng)用致錯(cuò)

例5設(shè)點(diǎn)P(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,求x+y的最大、最小值。

錯(cuò)解：因?yàn)?x2+y2=4,所以4x2≤4,解得-1≤x≤1,同理得-2≤y≤2,故-3≤x+y≤3,所以x+y的最大、最小值分別為3、-3。

剖析：本題中x、y除了分別滿足-1≤x≤1和-2≤y≤2的條件,還受制約條件的約束。當(dāng)x=1時(shí),y此時(shí)取不到最大值2,故x+y的最大值不為3。選用點(diǎn)參式(三角換元)代入,令x=cosθ,y=2sinθ,則x+y=cosθ+2sinθ=sin(θ+φ),故其最大值為,最小值為。

警示：凡是動(dòng)點(diǎn)在圓或橢圓上的有關(guān)最值問題,用圓或橢圓的參數(shù)方程,點(diǎn)參式代入構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),利用三角變換化為三角函數(shù)的有界性求解,凸顯了參數(shù)方程的簡(jiǎn)化功能。

易錯(cuò)點(diǎn)6——橢圓或圓與曲線有交點(diǎn)時(shí)誤用判別式或漏用判別式致錯(cuò)

警示：二次曲線與二次曲線的位置關(guān)系,隱含曲線的范圍,構(gòu)建方程組消元后轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布求解。橢圓與直線有交點(diǎn)時(shí),構(gòu)建方程組消元后轉(zhuǎn)化為二次方程有實(shí)數(shù)根,此時(shí)一定要驗(yàn)證其判別式。

易錯(cuò)點(diǎn)7——忽略直線與拋物線或雙曲線的位置關(guān)系研究中的特殊情形致錯(cuò)

例7 已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W。

(1)求W的方程;

錯(cuò)解：(1)由|PM|-|PN|=22知,點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,實(shí)半軸長(zhǎng)a=,又半焦距c=2,故虛半軸長(zhǎng)b=,所以W的方程為

警示：在直線和曲線的位置關(guān)系研究中,設(shè)直線方程,然后把直線方程和曲線方程組成方程組,消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程。利用根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系,凸顯“設(shè)而不解,整體思維”的特點(diǎn),不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形的討論。如本題忽略斜率不存在導(dǎo)致無(wú)最小值的結(jié)論。

易錯(cuò)點(diǎn)8——“點(diǎn)差法”求解與弦中點(diǎn)有關(guān)問題時(shí)忽略相交的前提條件致錯(cuò)

錯(cuò)解：設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)為B(x,y),MN的斜率為k,由題設(shè)知,兩式相減得(x1+把2,這說(shuō)明直線l的斜率為2,即直線l的方程為y=2x-1,故存在滿足題設(shè)的直線l。

剖析：把y=2x-1代入理得2x2-4x+3=0,因?yàn)棣?16-4×2×3＜0,所以此方程無(wú)實(shí)數(shù)根,故M,N根本不存在,即不存在這樣的直線l。上述錯(cuò)誤的原因是忽

視直線和雙曲線相交的前提。

正解1：在錯(cuò)解的基礎(chǔ)上補(bǔ)充：把y=2x,整理得2x2-4x+3=0,因?yàn)棣?16-4×2×3＜0,只能說(shuō)明y=2x-1不滿足,還得研究x=1能否滿足,顯然過B點(diǎn)垂直x軸的直線也不符合題意,故不存在。綜上,這樣的直線不存在。

由于當(dāng)2-k2=0時(shí),直線與漸近線平行,所以不符合題意。

因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn),所以①式的Δ=4k2(1-k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)＞0,把k=2代入得Δ=-8＜0,故不存在滿足題意的直線l。

警示：“點(diǎn)差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)來(lái)表示。凡涉及弦的中點(diǎn)等有關(guān)問題都可選用“點(diǎn)差法”簡(jiǎn)化求解。但用此法必須以直線和圓錐曲線相交為前提,否則就會(huì)出錯(cuò)。

易錯(cuò)點(diǎn)9——最值求解中忽視圓錐曲線自身范圍的制約致錯(cuò)

例9 是否存在同時(shí)滿足下列條件的拋物線?若存在,求出方程;若不存在,試說(shuō)明理由。

(1)頂點(diǎn)在x軸上,以y軸為準(zhǔn)線。

(2)A(3,0)到此拋物線上動(dòng)點(diǎn)P的距離的最小值是2。

錯(cuò)解：由條件知拋物線開口方向向右,焦點(diǎn)在x軸的正半軸上。設(shè)頂點(diǎn)為(a,0)(a＞0),則拋物線的方程為y2=4a(x-a)。

設(shè)P(x,y)為拋物線上任意一點(diǎn),則|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+4a(x-a)=x2+(4a-6)x+9-4a2=[x-(3-2a)]2+12a-8a2,所以當(dāng)x=3-2a時(shí),|PA|2min=12a-8a2=4,解得a=1或故所求拋物線方程為y2=4(x-1)或y2=

剖析：錯(cuò)解忽視了拋物線中x的取值范圍,因?yàn)镻是此拋物線上的動(dòng)點(diǎn),所以x≥a。|PA|2=[x-(3-2a)]2+12a-8a2(x≥a),研究對(duì)稱軸和區(qū)間位置關(guān)系分類：

①若3-2a≥a,即0＜a≤1,則當(dāng)x=3-2a時(shí),|PA|2min=12a-8a2=4,解得a=1或;

警示：求解圓錐曲線中的最值或范圍問題,應(yīng)合理構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)在區(qū)間上的最值,關(guān)鍵是依據(jù)曲線自身的范圍確定自變量所在的區(qū)間。

易錯(cuò)點(diǎn)10——參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)忽略“完備性與純粹性”致錯(cuò)

例10 已知曲線C：和直線l：y=kx(k≠0),若C與l有兩個(gè)交點(diǎn)A和B,求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程。

錯(cuò)解：依題意別消去x,y得(k2-1)x2+2x-2=0; ①設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x,y),則在①②中

消參可得線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為x2-y2-x=0。

剖析：消元過程中,由于兩邊平方,擴(kuò)大了變量y的取值范圍,進(jìn)而擴(kuò)大了x的取值范圍,故應(yīng)對(duì)x,y加以限制。在錯(cuò)解的基礎(chǔ)上補(bǔ)充：由

由方程②有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,則應(yīng)

結(jié)合③④消參且探究參數(shù)的取值范圍進(jìn)而確定x,y的取值,則有x＞2,y＞。所以所求軌跡方程是x2-y2-x=0(x＞2,y＞)。

警示：若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化,我們可稱這個(gè)變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程的方法叫作參數(shù)法。在利用參數(shù)法求曲線方程時(shí),一定要合理選擇參數(shù)且研究參數(shù)的范圍對(duì)橫、縱坐標(biāo)的限制作用,這樣求得的方程可保證它的“完備性”和“純粹性”。