全面?zhèn)淇挤€(wěn)中求勝
———不等式選講科學(xué)備考新方向

■甘肅省教育科學(xué)研究院 卞 蕾

不等式選講為高考選考內(nèi)容之一,主要考查絕對(duì)值不等式的求解、不等式證明的基本方法(比較法、綜合法、分析法等),以及根據(jù)給定條件求參數(shù)的取值范圍、用基本不等式研究代數(shù)式的最值等問(wèn)題,交匯考查集合的概念、絕對(duì)值的概念、函數(shù)的概念、函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次不等式、基本不等式等內(nèi)容。

高考對(duì)不等式選講的題量、考查難度都相對(duì)穩(wěn)定。一般是一道解答題,位于第23題,滿(mǎn)分10分。試題分兩問(wèn),第一問(wèn)考查解絕對(duì)值不等式或利用基本不等式求最值;第二問(wèn)考查不等式恒成立問(wèn)題或根據(jù)給定條件求參數(shù)的取值范圍。隨著新課標(biāo)的實(shí)施,對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算求解能力、分類(lèi)討論思想,以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)都有考查。難度中等偏易,是同學(xué)們?nèi)菀淄黄频囊坏李}目。

題型一、絕對(duì)值不等式的求解

例1已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-4|。

(1)解不等式f(x)≤6;

總結(jié)：解絕對(duì)值不等式的常用方法有：

(1)基本性質(zhì)法：對(duì)a∈R+,|x|＜a?-a＜x＜a;|x|＞a?x＜-a或x＞a。

(2)平方法：兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)。

(3)零點(diǎn)分段法：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào),將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解。

(4)幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義,畫(huà)出數(shù)軸,將絕對(duì)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題進(jìn)行求解。

(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖像,利用函數(shù)圖像求解。

題型二、絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用

總結(jié)：利用不等式|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R)和|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R),通過(guò)確定適當(dāng)?shù)腶,b,利用整體思想或使函數(shù)、不等式中不含變量,從而可以求最值或證明不等式。

題型三、絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用

例4 已知函數(shù)f(x)=|2x-1|。

(1)解關(guān)于x的不等式f(x)-f(x+1)≤1;

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)＜m-f(x+1)的解集不是空集,求m的取值范圍。

(2)由條件知,不等式|2x-1|+|2x+1|＜m有解,則m＞(|2x-1|+|2x+1|)min即可。

總結(jié)：解含參不等式問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：

(1)把存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題;

(2)不等式的解集為R是指不等式的恒成立問(wèn)題;

(3)不等式的解集為空集的對(duì)立面也是不等式的恒成立問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,即f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max,f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min。

題型四、比較法證明不等式

總結(jié)：(1)作差法的依據(jù)是：a-b＞0?a＞b;

題型五、綜合法證明不等式

例7已知不等式|x|+|x-3|＜x+6的解集為(m,n)。

(1)求m,n的值;

(2)若x＞0,y＞0,nx+y+m=0,求證：x+y≥16xy。

總結(jié)：用綜合法證明不等式時(shí)應(yīng)注意：

(1)綜合法證明不等式,要著力分析已知與求證之間、不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系,進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵。

(2)在用綜合法證明不等式時(shí),不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的。在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí),要注意性質(zhì)成立的前提條件。

題型六、分析法證明不等式

例8 已知函數(shù)f(x)=|x+1|。

(1)求不等式f(x)＜|2x+1|-1的解集M;

(2)設(shè)a,b∈M,求證：f(ab)＞f(a)-f(-b)。

解析：(1)由題意,|x+1|＜|2x+1|-1。

①當(dāng)x≤-1時(shí),不等式可化為-x-1＜-2x-2,解得x＜-1,此時(shí)不等式的解為x＜-1;

綜上可知,M={x|x＜-1或x＞1}。

(2)因?yàn)閒(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,所以要證f(ab)＞f(a)-f(-b),只需證|ab+1|＞|a+b|,即證|ab+1|2＞|a+b|2,即證a2b2+2ab+1＞a2+2ab+b2,即證a2b2-a2-b2+1＞0,即證(a2-1)(b2-1)＞0。因?yàn)閍,b∈M,所以a2＞1,b2＞1,所以(a2-1)(b2-1)＞0成立,所以原不等式成立。

總結(jié)：用分析法證明不等式時(shí)應(yīng)注意：

(1)證明依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論。

(2)從要證的不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的條件,最后得到的條件是已知(或已證)的不等式。

(3)恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品?hào)“?”或“要證明”“只需證明”“即證明”等詞語(yǔ)。

高考全國(guó)卷幾乎每年都涉及絕對(duì)值不等式求解問(wèn)題的考查,可以歸納為寫(xiě)成分段函數(shù)求解、利用函數(shù)圖像求解、利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)求解等方法,應(yīng)多加強(qiáng)這一方面的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練,熟練掌握絕對(duì)值不等式求解的方法、步驟,做到既能正確分類(lèi),又能合理整合,準(zhǔn)確快捷解答,同時(shí)應(yīng)注意求解過(guò)程的等價(jià)性。

與此同時(shí),應(yīng)用均值不等式或絕對(duì)值不等式性質(zhì)求最值時(shí),均應(yīng)注意等號(hào)成立的條件是否具備,僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立的條件具備時(shí)方可應(yīng)用其求最值,這也是用均值不等式或絕對(duì)值不等式性質(zhì)求最值的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn),應(yīng)給予關(guān)注。總之,如若從上文中歸納總結(jié)的六種題型進(jìn)行備考訓(xùn)練,本專(zhuān)題拿到滿(mǎn)分還是非常值得期待的。