函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題新導(dǎo)向

■江西省萍鄉(xiāng)中學(xué) 毛樂萍

縱觀每年的高考試題,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題都是以核心知識(shí)為基礎(chǔ),以分類討論為主線,以核心素養(yǎng)為落腳點(diǎn),考查同學(xué)們的思維能力、觀察能力、應(yīng)變能力、運(yùn)算能力,設(shè)問不斷創(chuàng)新。通過分析近幾年的高考試題,筆者對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題在高考中的新導(dǎo)向談幾點(diǎn)拙見。

一、繼續(xù)考查核心概念、觀察能力、分類討論、前后聯(lián)系，思維層層遞進(jìn)

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),Φ′(x)＜0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),Φ′(x)＞0。所以Φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以Φ(x)≥Φ(1)=e-2＞0。

所以f(x)＞g(x)。

(2)求導(dǎo)得h′(x)=(ex-x)cosx-(ex+1)sinx。

綜上,h(x)的零點(diǎn)有2個(gè)。

評(píng)注：本題主要考查核心概念,需要同學(xué)們有較強(qiáng)的觀察能力,要擯棄只有求導(dǎo)的觀念,要善于觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。

二、求參數(shù)的取值范圍不拘泥于經(jīng)典方法，處理較復(fù)雜關(guān)系用換元法

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)≤g(x)在(0,+∞)上成立,求a的取值范圍。

評(píng)注：換元法是重要的解題方法之一,本題若不換元,則計(jì)算量較大,難度增加。

三、敏銳觀察、局部分析、各個(gè)擊破

例3(2020年江西模擬)已知函數(shù)f(x)=x-lna·lnx。

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。

(2)若函數(shù)F(x)=f(x)+(x-1)ex-。當(dāng)函數(shù)F(x)存在極值點(diǎn)x0時(shí),證明：F(x0)＜0。

解析：(1)f′(x)=0＜a≤1時(shí),易得f′(x)＞0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。當(dāng)a＞1時(shí),f(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增。

①當(dāng)0＜a≤1時(shí),由于F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故F(x)沒有極值點(diǎn)。

②當(dāng)a＞1時(shí),F(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,故存在極小值點(diǎn)x0=lna＞0,所以a=ex0,此時(shí)F(x0)=

評(píng)注：對(duì)整體函數(shù)的最值不容易得到時(shí),可局部分析,但要注意局部取等號(hào)的條件。

四、極值點(diǎn)偏移問題的新形式

例4(2020年廣東模擬)已知函數(shù)f(x)=eax-a(x+2),a≠0。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1＜x2),求證：eax1+eax2＞2。

解析：(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=aeax-a=a(eax-1),令f′(x)=0,得x=0。

①當(dāng)a＞0時(shí),若x＞0,則eax＞1,即f′(x)＞0,若x＜0,則eax＜1,即f′(x)＜0。

②當(dāng)a＜0時(shí),若x＞0,則eax＜1,即f′(x)＞0,若x＜0,則eax＞1,即f′(x)＜0。

綜上,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)。

(2)由(1)知,當(dāng)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),x1＜0＜x2,f(0)=e0-a(0+2)＜0,得a＞

令g(t)=t-lnt-2a,則t1,t2為g(t)的兩個(gè)零點(diǎn),0＜t1＜1＜t2。所以g(2-t1)-g(t2)=g(2-t1)-g(t1)=2-2t1-ln(2-t1)+lnt1。

令h(t1)=2-2t1-ln(2-t1)+lnt1,t1

∈(0,1),則h′(t1)=-2+

所以h(t1)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以h(t1)＜h(1)=0,所以g(2-t1)-g(t2)＜0,即g(2-t1)＜g(t2)。因?yàn)間′(t)=1-=,所以當(dāng)t∈(1,+∞)時(shí),g(t)單調(diào)遞增。

因?yàn)?-t1∈(1,+∞),t2∈(1,+∞),所以2-t1＜t2,所以t1+t2＞2,所以eax1+＞2。

評(píng)注：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、方程與不等式的解法,以及等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,是極值點(diǎn)偏移的變式形式。