考慮剪力滯效應(yīng)的變截面箱梁橋固有頻率及其影響研究

□文/耿文賓 高 璞 周俊龍

變截面連續(xù)箱梁橋是裝配式橋梁的結(jié)構(gòu)形式之一，為滿足路線設(shè)計和結(jié)構(gòu)設(shè)計要求，變截面連續(xù)箱梁已得到廣泛應(yīng)用[1]。同時，箱梁橋與剪力滯效應(yīng)相關(guān)的系列安全問題[2]引起了廣泛的關(guān)注和研究。

目前，關(guān)于變截面箱梁考慮剪力滯效應(yīng)的靜力學(xué)計算理論較為完善，但關(guān)于考慮剪力滯效應(yīng)的動力學(xué)研究的成果較少。甘亞南等[3～4]基于哈密頓原理研究了剪力滯效應(yīng)對多種類型等截面箱梁橋固有頻率的影響。吳有俊等[5]利用能量變分原理對考慮剪力滯效應(yīng)的簡支箱梁進行了自振特性研究。張永健[6～7]推導(dǎo)出考慮剪力滯效應(yīng)不同箱梁模型固有頻率的解析解，對固有頻率關(guān)于不同寬跨比的規(guī)律和影響程度進行了研究。張琪等[8]提出一種用于考慮剪力滯效應(yīng)曲線等截面箱梁固有頻率求解的有限段法，總結(jié)了固有頻率與寬跨比和曲率半徑變化的一般規(guī)律。用于等截面箱梁剪力滯效應(yīng)分析的理論不能直接用于變截面箱梁結(jié)構(gòu)，因此，關(guān)于變截面連續(xù)箱梁剪力滯效應(yīng)研究的理論方法有待進一步研究。

本文提出一種適用于變截面連續(xù)箱梁考慮剪力滯效應(yīng)固有頻率計算的三節(jié)點梁段法，基于最小勢能原理推導(dǎo)出梁段法的等參有限元行列式，編寫了有限元計算程序。通過工程實例驗證理論公式和程序編寫的正確性和適用性。

1 坐標系及基本假定

在豎直對稱的變截面梯形箱梁段上，建立笛卡爾坐標系（x，y，z），坐標系中箭頭所指方向為坐標軸正方向，S為箱梁閉合截面壁厚中心線的方向；箱梁橫截面頂板、底板和懸臂板的寬度分別為bt、bb和bp，相應(yīng)的厚度分別為t1、t2和t3，yC和yN分別為箱梁截面形心C和扭轉(zhuǎn)中心N的豎向坐標，h（z）為截面z處箱梁的高度，ht和hb分別為形心軸距頂板和底板中心線的距離。見圖1。

圖1 坐標系及幾何參數(shù)

2 箱梁內(nèi)任意點位移和應(yīng)變

2.1 基本變形和空間位移

考慮扭轉(zhuǎn)翹曲和剪滯翹曲的影響，變截面箱梁段任意點的空間位移為

式中：uc，vc，wc——截面沿x，y，z方向的位移；

θx，θy，θz——截面繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)角；

ω（x，y）——箱梁閉合截面中線的主扇形坐標；

β’（z）——扭轉(zhuǎn)翹曲位移變量的一階導(dǎo)數(shù)；

f（x，y）——二次型的剪力滯翹曲位移函數(shù)[9]；

ψ（z）——截面剪切變形的最大差值。

2.2 應(yīng)變和位移關(guān)系

箱梁截面上任意點的正應(yīng)變εz、剪應(yīng)變γzs與空間位移場函數(shù)的關(guān)系為

式中：uS——閉合截面內(nèi)任意點沿S方向的位移，各翼板us的具體表達式參考文獻[10]。

式（1）中：yC，yN，ω和f為關(guān)于z的變量，各翼板的正應(yīng)變?yōu)?/p>

各翼板的剪應(yīng)變?yōu)?/p>

頂板

右腹板

底板

左腹板

3 有限單元列式

3.1 形函數(shù)

選用C0連續(xù)的二次拋物線形函數(shù)，形函數(shù)及其關(guān)于ζ一階導(dǎo)數(shù)的表達式為

式中：i=1時，ζ0=1；i=3時，ζ0=-1。

廣義局部坐標和整體坐標導(dǎo)數(shù)變換關(guān)系的雅克比系數(shù)J為

3.2 單元剛度矩陣

單元內(nèi)任意截面ζ上的位移與節(jié)點基本關(guān)系為

式中：I8×8為單位方陣。

單元內(nèi)截面ζ上任意點應(yīng)變ε和應(yīng)力σ的矩陣形式為

式中：E——材料彈性模量；

μ——泊松比。

因篇幅所限L1、L2的具體表達式不再列出。

基于最小勢能原理得到單元剛度矩陣的一般表達式

3.3 單元質(zhì)量矩陣

關(guān)于時間t一階求導(dǎo)的速度空間表達式

等參梁單元的動能表達式

式中：ρ——物質(zhì)材料的密度。

單元質(zhì)量矩陣的積分表達形式

自由振動時，結(jié)構(gòu)的頻率方程

求解式（14）得到結(jié)構(gòu)的自振特性，即求結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的廣義特征值。

4 參數(shù)敏感性分析

現(xiàn)選取某市一座三跨變截面鋼-混組合連續(xù)梁橋[10]，采用MIDAS/CIVIL 建立整橋模型。通過對比MIDAS CIVIL(MMC)、不考慮剪力滯效應(yīng)（MI）的計算方法和考慮剪力滯效應(yīng)（MSL）的算方法所得數(shù)值結(jié)果，分析梁高變化形式、混凝土強度、腹板斜率、翼寬比、寬跨比等因素對組合箱梁固有頻率的敏感性。

4.1 梁高變化形式

變截面箱梁高度的變化常通過指數(shù)函數(shù)的冪次方變化來實現(xiàn)，采用1.3、1.5、1.8、2.0、2.2 次方。隨著冪次方的增大，變截面連續(xù)箱梁橋各固有頻率均逐漸減小，考慮剪力滯效應(yīng)的固有頻率比不考慮剪力滯效應(yīng)的固有頻率小。見表1。

表1 不同冪次方數(shù)的固有頻率 Hz

4.2 混凝土強度

選取C40～C80的混凝土強度等級，分析混凝土強度對剪力滯效應(yīng)的敏感性。隨著混凝土強度等級的增大，變截面連續(xù)箱梁橋各固有頻率逐漸增大，考慮剪力滯效應(yīng)的固有頻率比不考慮剪力滯效應(yīng)的固有頻率小。見表2。

表2 不同混凝土強度下的固有頻率 Hz

4.3 腹板斜率

為研究不同腹板傾斜度下箱梁的剪力滯效應(yīng)，傾斜角α分別選取為70°、75°、80°、85°、90°。隨著腹板傾斜角的增大，變截面連續(xù)箱梁橋各固有頻率逐漸增大，考慮剪力滯效應(yīng)的固有頻率比不考慮剪力滯效應(yīng)的固有頻率小。見表3。

表3 不同腹板斜率的固有頻率

4.4 翼寬比

翼寬比為bp與bt之比，取 0.2、0.4、0.6、0.8、1.0。隨著翼寬比的增大，變截面連續(xù)箱梁橋各固有頻率逐漸減小，考慮剪力滯效應(yīng)的固有頻率比不考慮剪力滯效應(yīng)的固有頻率小。見表4。

表4 不同翼寬比的固有頻率

4.5 寬跨比

寬跨比為bt與中跨跨長L之比，邊/中跨比保持不變，寬跨比分別選取 0.100、0.075、0.060、0.050、0.040。隨著寬跨比的增大，變截面連續(xù)箱梁橋各固有頻率顯著增大，考慮剪力滯效應(yīng)的固有頻率比不考慮剪力滯效應(yīng)的固有頻率小。見表5。

表5 不同寬跨比的固有頻率

5 結(jié)論

1）提出一種用于變截面連續(xù)箱梁能夠考慮剪力滯效應(yīng)計算分析的三節(jié)點梁段法，基于最小勢能原理推導(dǎo)了等參有限元行列式并編寫了有限元計算程序。算例模型的數(shù)值結(jié)果與實測值吻合良好，驗證了理論公式推導(dǎo)和程序編寫的正確性和實用性。

2）通過工程實例研究了變截面連續(xù)箱梁，在是否考慮剪力滯效應(yīng)的情況下，其固有頻率隨梁高變化的冪次方數(shù)、混凝土強度、腹板斜率、翼寬比和寬跨比等因素變化的規(guī)律。

3）工程實例中，寬跨比不僅是變截面連續(xù)箱梁橋剪力滯效應(yīng)分析的主要影響因素，而且寬跨比的變化對變截面連續(xù)箱梁橋固有頻率的敏感性影響十分顯著。

4）分析結(jié)果表明，變截面連續(xù)箱梁橋的固有頻率因考慮剪力滯效應(yīng)而減小。驗證了剪力滯效應(yīng)削弱結(jié)構(gòu)剛度的現(xiàn)象且在箱梁橋設(shè)計與計算時應(yīng)給予充分的重視。