以生為本，引導學生經歷推理的過程

苗世彩

摘?要：本文是探索三角形相似條件的一節課堂實錄。本節課的學習，可以讓學生經歷和體驗知識的形成過程，了解數學研究問題的方法，領會數學思想，獲得數學活動的經驗，同時發展學生的空間觀念，培養學生推理能力。

關鍵詞：初中數學;三角形相似;條件;課堂實錄

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2020）05-050-2

前幾天，筆者有幸參加了一次校級學科教學研討活動，本次活動的程序是：（1）承辦學校開設一節研究課，兩校老師聽課：（2）參評學校教研組在指定的地點研討（評價本節課教學設計以及上課情況，對本節課教學提出修改的建議或教學設計建議）：（3）兩學校教研組匯報及答辯。現呈現該課教材分析、教學實錄（含板書）及教學反思，與同行交流。

一、教學實錄

師：我們知道，如果兩個三角形相似，那么他們的對應角就相等，對應邊就成比例。反過來，兩個三角形只有滿足什么條件，它們才能相似呢？這就是我們這節課所要研究的——探索三角形相似的條件。

（活動探究）

師：活動1，（1）在練習本上先畫3條互相平行的直線l1、l2、l3，再任意畫2條直線a、b，使a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F。如右圖：

（2）度量所畫圖中AB、BC、DE、EF的長度，并計算對應線段的比值，你有什么發現？請與同學交流。

生1：ABBC=DEEF

師：如果任意平移l3，再度量AB、BC、DE、EF的長度。這些比值還相等嗎？

（老師動畫演示發現它們的比值還是相等的）

師：思考：除此之外，你還能得到哪些線段成比例？（小組討論）

生2：ABAC=DEDF，BCAC=EFDF，

師：回答的很好，如果畫4條、5條……互相平行的直線，重復上面的過程，你發現的結論還成立嗎？

生：仍然成立。

師：有的同學畫的是如下兩種圖形，這兩個圖形與我們最初畫的圖形有什么區別？它們是不是依然有以上的結論呢？

（學生仔細觀察與討論）

生3：只需要將直線b向左移動就會出現以上圖形，所以它們的對應線段依然成比例，結論還是成立的。

師：不錯，實踐告訴我們一個基本事實平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。

板書：∵l1∥l2∥l3

∴ABAC=DEDF，BCAC=EFDF，ABBC=DEEF

師：如圖，ED∥BC，AB=5，AC=7，AD=2，求：AE的長。

學生自己動手解決此題，感受一下用平行線分線段成比例求線段的長度。

師：活動2，如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，△ADE與△ABC有什么關系？

（學生先進行思考，老師巡視）

師：證明△ADE與△ABC相似，到目前為止我們只能用定義，由平行可知：∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠DAE=∠BAC，ADAB=AEAC，只要證ADAB=DEBC，就可以了，同學們思考，如何證？

生4：過點D作DF∥AC交BC的延長線于F，這樣DE平移到BC上，然后利用平行線分線段成比例證出，ADAB=DEBC。

師：非常棒！在這一題中，我們需要把不在同一直線上的線段平移到同一條直線上，利用剛剛學的結論解決此題，對于ADAB，是連接這兩個比例式的中間比，即橋梁，從而此題得證。

（教師板演解題過程）

解：過點D作DF∥AC交BC的延長線于F。

∵DE∥BC，DF∥AC，∴ADAB=AEAC，ADAB=CFBC（兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例），∵四邊形DFCE是平行四邊形，∴DE=CF，ADAB=AEAC=DEBC

∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∵∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE。

師：通過上面的證明過程，我們得到如下的結論：

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似。

老師板書：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，記為：“A型”。

師：那同學們看一下變式，在△ABC中，點D、E分別在BA、CA的延長線上，且DE∥BC。試說明△ADE與△ABC相似的理由？

生5：過點E作DC∥EF交于BC的延長線于F，同例1的解法。

師：非常好，這位同學借鑒例1的解法，那同學們還有沒有不同的解法？

生6：作AF=AE，AH=AD，連接FH，分析：△ADE≌△AHF，△AHF∽△ACB。

師：這兩位同學用各自的方法出色地解決了此題，此圖像我們用英文字母“X”來表示，因此，我們可將其稱之為“X型”圖。

二、教學評價

1.動手操作，自主發現

動手操作是課程內容不可缺少的一部分，是向學生傳授學科知識的媒介，是教學目標達成的主要途徑，是調動學生興趣的主要動力，以活動為主線或以講授為主線，這是不同教學流派分歧的主要表現之一。本節課在教學設計的一個突出特點就是把新知放在活動中，學生通過動手度量，找出對應線段成比例，再用類比、探究等方法得出平行線分線段成比例定理。這一活動圍繞一個基本圖形展開，目的明確，循序漸進，通過平移讓學生感受到由特殊到一般數學思想。

2.精選例題，循序漸進

數學活動，特別是數學思維活動能有序進行的關鍵是例題的設計。要想使探究活動層層遞進，井然有序，教師必須設計好既能啟發學生思考又能與新知聯系緊密的例題。本課例1是蘇科版本的例題，是一個大題，解決此題只能用三角形相似的定義，利用平行很容易把三個角證出，但是對于邊對應成比例，對一部分同學來說有點難度，特別是證明ADAB=DEBC，能夠想到將DE平移到BC上是一大難點，需要利用活動中得出的平行線分線段成比例這一結論，同時需要借助中間比（橋梁）來轉化，因此，教師通過例1的學習培養學生數學邏輯思維以及逆向思維，從而豐富了學生的數學思想方法。

3.總結反思，提升能力

解題后及時總結反思，是幫助學生積累知識的有效方法，也是鞏固新知的有效途徑。執教者非常重視授課后的反思，如活動探究后得出基本事實，對于這一基本事實有部分同學難以消化，可以出幾個填空或簡單的計算題小試牛刀從而加深對基本事實的理解以及應用。執教者對例1進行變式，讓學生結合例1的思想解決此題，同時引導學生嘗試用不同的方法解決此題，通過一題多解，培養學生思維的分散性，通過不同解法的“優選”，優化學生的思維結構。在解決例1時，執教教師注重學生的符號語言的完美性以及邏輯思維的嚴謹性，通過解此題的過程，感受轉化、數形結合的思想方法，更加體現了數學的“美”。

[參考文獻]

[1]劉東升.“開放”需要“放開”“對話”促進“生成”[J].初中數學教與學（人大），2013（02）.

[2]石樹偉.為了改善學生的學而設計[J].中國數學教育（初中版），2013（1/2）.

（作者單位：南京市江寧區銅山中學，江蘇 南京210000）