明晰算理 靈活運算
——《兩位數乘兩位數的練習》教學設計

羅 靚

【教材簡析】

兩位數乘兩位數的練習是在學生學習了兩位數乘整十數口算和兩位數乘兩位數筆算乘法后進行的。本課內容重在讓學生運用已有知識經驗和計算方法，解決“積最大”這一新問題，利用數形結合探索新算法，并利用新算法探究新的規律。在問題解決中強化算理理解，提升運算能力。

【教學過程】

一、情境引入，初探問題

1.情境引問題。

學校數學港灣邀請大家幫忙設計一面“樂高墻”，出示問題：設計的底板上每行幾個顆粒，每列幾個顆粒，才能擺的更多呢？最多能擺多少個顆粒呢？注意，行與列都是兩位數，且數字不能重復。

2.初探問題。

引導學生嘗試用4個不同的數字寫乘積最大的兩位數乘兩位數。

預設：98×76、97×86、96×87，將學生想到的算式羅列在黑板上。

追問：有沒有什么辦法能馬上判斷出哪個算式的積不太可能是最大的？

預設：計算十位，排除98×76。

設問：96×87，97×86 這兩個能快速判斷嗎？

【設計意圖：借助熟悉的生活情境引出用4個不同數字寫乘積最大的兩位數乘兩位數的問題，激發學生解決實際問題的欲望。在首次比較過程中，鼓勵學生用已有知識經驗快速判斷，通過調動學生的原有認知，初步解決問題，縮小比較范圍，為接下來進一步探究積最大的算式奠定基礎。】

二、引發沖突，明晰算理

1.回顧舊知。

出示《兩位數乘兩位數》的教學圖片，引導學生回顧兩位數乘兩位數的學習過程，并說一說有哪些算法。

梳理兩位數乘兩位數的計算方法：第一種，通過數的分解進行分步計算；第二種，通過數的拆分進行分步計算；第三種，列豎式計算。

【設計意圖：這一環節，主要是讓學生回顧兩位數乘兩位數的學習過程，通過點子圖、數的分解、數的拆分及列豎式等方法的重現，回顧兩位數乘兩位數的算法，借助圖示，將計算過程與圖形聯系起來，為后續進一步的數形結合做鋪墊。】

2.深入研究。

用已學的方法判斷比較97×86與96×87哪個積最大，并解釋計算的過程。

小組合作要求：（1）每人選一種方法，獨立研究；（2）組內交流；（3）準備匯報。

全班匯報交流，判斷每一種算法是否正確。

方法一：列豎式計算，比較結果。

方法二：分拆數計算，比較結果。

方法三：數形結合，比較中間過程。

小結比較，這三種方法有什么區別？

引導學生關注：方法一和方法二都是比較計算結果，得出積最大的算式，而方法三則是通過比較中間過程來判斷積最大的算式。

【設計意圖：根據已有知識經驗和方法，獨立研究新問題的同時小組合作交流，豐富算法、加強溝通。用原有知識經驗解決新問題，同時利用數形結合幫助學生進一步理解算理，明白兩位數乘兩位數計算本質，從而為新算法的得出奠定基礎。】

3．數形結合，拓展新算法。

進一步理解圖示，逐步給出新算法。

根據圖示，引導學生得出新豎式的寫法，即圖上相同部分先算（十位相乘，個位相乘），圖上不同部分逐次算（個位與十位交叉相乘）。進一步發現，無論怎么乘，都是兩位數的十位與個位分別于另一個兩位數的十位與個位相乘，與原來豎式的算理一致，不同的是計算順序發生了變化，但不會改變結果。

【設計意圖：從通法到尋求合理簡潔的運算途徑，培養學生的創新意識。計算教學應在理解算理的基礎上探索算法。計算學習的基礎是基本概念、運算定律和性質，但計算法則不是固定的，而是可以改變和創造的。因此在引導學生思考數與數之間的關系，數與圖示之間的關系，尋求合理簡潔的運算途徑，實現計算策略的“靈活性”和“創造性”的同時，本環節旨在理解算理的基礎上靈活計算，提升運算能力，提升數學思維。】

4.跟進練習。

解決問題：用4個不同的數字（0除外）組成積最小的兩位數乘兩位數。

交流匯報：可以組成積較小的兩個算式：13×24和14×23，借助新豎式算法快速比較大小，得出結論。

【設計意圖：對新算法的鞏固，跟進一個現實問題，是對上一問題（寫積最大算式）的拓展，也是對方法的鞏固，引導學生在解決新問題時，利用新學的知識技能和方法，遷移類比，解決新問題。同時及時跟進對新算法的練習鞏固，提供給學生足夠嘗試、體驗的時間和空間，充分感受新算法的便捷性。】

三、靈活運算，探究規律

下面這些算式，用今天的方法試一試。

校對答案，說說發現。

延伸：是不是所有的回文算式積都相等呢？自主舉例驗證并研究。

發現：不是所有的回文算式積都相等。要讓積相等，需要保證兩個兩位數十位數字相乘的積與個位數字相乘的積一致。

【設計意圖：鞏固交叉相乘新算法，學生在計算訓練中不知不覺感受到隱藏的規律，激起學生探究的欲望，在自主探究規律中進一步強化算理理解，同時，讓學生感受到計算并不是枯燥乏味的，計算中有無盡的樂趣與奧秘值得探究。】

四、課堂總結

學了今天這節課，你對兩位數乘兩位數有沒有什么新認識？

【設計綜述】

1.問題解決中比較算法，理解算理。

本節課是在一個具體開放的問題情境中，讓學生經歷嘗試、列舉、計算、說理等過程，強化兩位數乘兩位數筆算乘法的算理理解，提升運算能力。在經歷多樣方法比較的過程中，利用數形結合進一步理解位值原則和豎式計算原理。進而拓展出新算法，培養學生靈活運算的能力。

2.數形結合中溝通算法，明晰算理。

本節課中，試圖通過圖的呈現，讓學生理解每一步計算的意思，又與豎式計算進行溝通，凸顯出豎式計算的算理。同時借助圖明確尋找積最大的算式只要比較圖上不同的兩塊圖形的大小即可，而這恰恰就是豎式中個位與十位交叉相乘的結果。在學生充分理解算理的基礎上，又做了進一步的拓展，利用交叉相乘的方法來計算兩位數乘兩位數，在豎式的計算和書寫過程中溝通算法間的本質聯系，借助圖的直觀理解算理，明確多樣算法背后的內在關聯。明確數形結合與算理理解之間相輔相成的關系，數形結合能非常直觀顯性地讓學生理解算理，算理的理解能進一步助力學生對數與形的溝通。

3.靈活運算中探究新發現，內化算理。

本課最后讓學生進行三個題組的訓練，進一步強化新算法，學生在計算的過程中，不知不覺發現問題，提出猜想：“所有回文算式的積是否都相等？”進一步嘗試探究規律，隨后引導學生自主創造回文算式驗證猜想，進一步引發沖突，進而發現，并不是所有的回文算式積都相等。此時再引導學生去關注積相等的幾組回文算式的特點，原來積相等的本質在于個位與十位交叉相乘的結果無論十位與個位的位置如何調整，交叉相乘結果是不變的。而需要考慮的是十位與十位相乘和個位與個位相乘，怎樣做到十位相乘和個位相乘隨著十位、個位位置的互換而答案不變呢，就需要保證十位數字的乘積與個位數字的乘積是相等的才能做到。經歷這樣的嘗試、猜想、驗證、分析的過程，學生從關注計算過程去發現問題，在對計算過程的研究中進一步強化了算理的理解，又進行了算法的鞏固。