依托直觀操作 優化認知階梯
——《有余數的除法》教學案例（二）

陳雙雙

【教學過程】

一、復習導入，激活思考

1.聯接舊知：同學們，今天老師和大家一起來學習新的數學知識。首先請大家看黑板上的算式，一起來讀一讀。（學生齊讀：8÷4=2）你能清楚地說一說每個數在除法算式中的名稱嗎？

2.模型應用：想一想生活中的哪些問題可以用“8÷4=2”這道算式來解決？

【思考：齊讀算式能讓學生獲得強烈的情感體驗，增強學好數學的信心，為后續課堂活動的順利開展做情感鋪墊。依托學生表內除法的學習經驗，開門見山，可以幫助學生梳理除法算式中各部分的名稱，并初步感知其中蘊含的模型思想。】

二、解決問題，感知余數的產生

1.談話切入：看樣子，同學們對除法的知識掌握得不錯。今天這節課，我們就繼續來學習除法。剛才同學們舉了很多分東西的例子，老師也帶來了一個。（課件呈現：用小棒擺正方形、雜亂的9根小棒）從大屏幕上，你知道了哪些數學信息？要解決什么數學問題呢？

2.自主嘗試：原來，簡簡單單的一幅圖能告訴我們這么多信息。請同學們拿出學案，用自己喜歡的方式來解決問題，可以擺一擺、畫一畫或算一算。

【思考：通過直觀操作，能使抽象的數學知識變得簡單明了，讓學生由被動接受知識轉向主動探究知識。同時，學生通過直觀操作能夠體會到“平均分有剩余”的情況，初步感受余數產生的必要性，獲得對余數初步的感性認識和直接體驗。】

3.交流展示：現在，請幾位同學與大家分享一下自己的想法。（選取了幾幅具有代表性的學生作品，請學生介紹）

4.反饋聚焦：同學們可真能干，這么短的時間內就想出這么多有意思的作品！老師發現，無論是畫圖，還是列算式，這些作品里都隱藏著一些相同的數，比如說9，你們發現了嗎？9在這里表示什么？（9根小棒）你還能發現其他相同的數嗎？它表示什么呢？（板書：9、4、2、1，并明確各數所表示的含義，特別強調“1”的含義，借此引出“余數”的概念）

【思考：教師溝通不同作品之間的關系，引導學生從“變”中尋求“不變”，讓學生明白不同作品雖然表達形式不同，但是表示的結果是相同的。這也為后續“有余數的除法”算式的引出做好了鋪墊。】

三、深入體驗，理解余數的意義

1.算式表征，揭示意義。

（1）符號表征：像這種分完后有剩余的情況，數學家們習慣用這樣的算式來表示（把板書補充完整）。看一看，和這里的哪幅作品的表示方法相同呢？還有誰是這樣表示的？現在，讓我們一起來讀一讀這道算式：9÷4=2（個）……1（根）。

（2）交流提煉：你能說說這道算式表示什么含義嗎？商是幾？余數是幾？余數在這里表示什么意思？（完整課題：有余數的除法）

【思考：此環節中，教師借助直觀操作幫助學生把困難的數學問題變得容易，把抽象的問題變得直觀。通過師生對話、生生對話，進一步幫助學生理解抽象算式中各數表示的含義，初步建立有余數的除法中“形”與“式”之間的聯系。】

2．變式探究，強化意義。

（1）小組合作：如果小棒的數量增加了，同樣是擺正方形，你們還會擺嗎？接下來，我們開展四人小組合作，請大家先聽清楚要求：一要把《合作學習單》上的內容填寫完整；二要在填寫完整后互相說一說每道算式表示的含義。（教師給予每組學生一定數量的小棒及《合作學習單》。學生作品如下圖）

（2）反饋交流：現在老師想請這個小組（指著作品1）的代表和大家分享一下想法。教師隨學生匯報，適時追問：①老師有個疑問，余1、余2、余3，那我這里余4也可以啊（指著作品2），你是怎樣想的？②那像這樣余0呢（指著作品3），可以嗎？

【思考：這一環節，重在讓學生在小組合作、互動交流中進一步鞏固余數及有余數的除法算式的含義，再次體會“余數”是在“平均分物”時出現剩余產生的，而“正好分完”時不會出現“余數”。這也為后續探討余數與除數之間的關系埋下伏筆。】

四、引領想象，提煉余數的特征

1．深入研究：如果再增加1根小棒，那就有幾根小棒了呢？你能快速推算出用13根小棒擺正方形的結果嗎？

2．遷移列式：不擺小棒、不畫圖，根據上面的規律，你們能快速推算出用14、15、16根小棒擺正方形的結果嗎？想一想。（引導學生脫離表象，大膽推理，交流結果）

3．觀察比較：請你仔細觀察這些算式，說說你發現了什么？

生：被除數一個比一個大。

生：除數都是4。

生：余數都是 1、2、3。

生：“除數減余數”的結果都是 3、2、1、3、2、1。

教師適時追問：（1） 為什么余數總是 1、2、3，而不是其他數？（2）余數和除數有什么關系呢？（3）為什么“除數減余數”結果都比0要大？（4）為什么余數一定要比除數小呢？

4．拓展延伸：想一想，我們用一堆小棒來擺五邊形，如果有剩余，最多會余幾根小棒？說說你的理由。那擺六邊形呢？

【思考：在學生理解有余數除法的意義的基礎上，借助根數不同的小棒擺圖形的操作過程，教師引導學生進行有層次的思考，有效加深學生對有余數的除法意義的理解。另外，教師有意識地引導學生觀察余數和除數之間的關系，以問題串的形式共同探討發現在有余數的除法中“余數＜除數”的道理。這樣既能深化學習內容，在一定程度上也滲透了“借助直觀研究問題”的意識和方法。】

五、分層鞏固，助力建構

1．基礎練習：圈一圈，填一填。

圈了（ ）組，剩下（ ）個。

18÷5=□（組）……□（個）

□÷6=3（組）……□（個）

3．開放性練習：我知道，用一堆小棒擺（ ），最多會余（）根。

【思考：本環節教師設計了多樣化的練習，旨在基礎練習中幫助學生鞏固新知，在提升練習中深化新知，在開放性練習中拓展思維，讓不同學習水平的學生都能有所得。】

六、知識梳理，促進內化（略）

【課后反思】

本節課秉持“以學生發展為本”的教學理念，基于學生學情，以“用根數不同的小棒擺正方形”為明線，以“依托經驗、借助直觀、活化思維（幾何直觀、模型思想）”為暗線展開教學。整堂課下來，筆者再一次感受到“直觀操作助推數學思考、促進概念建構、活化學生思維”的強大魅力。

在本課教學伊始，依托學生“表內除法”的學習經驗，出示“8÷4=2”這道算式幫助學生梳理除法算式中各部分的名稱，并滲透其中蘊含的模型思想。而后，依托學生“平均分物”的生活經驗，充分發揮學生的主觀能動性，教學時給予學生三組材料，引導學生在直觀操作中不斷深化感悟、建構經驗：一是“直觀操作材料”，即用自己喜歡的方式表示出用9根小棒擺正方形的結果，初步體會余數的產生，理解余數及有余數除法算式的含義；二是“應用建構材料”，即四人小組合作探究用10、11、12根擺正方形的結果，引導學生在小組合作、互動交流中進一步理解有余數除法的含義；三是“思維聯想材料”，即引導學生快速推理出用13、14、15、16根擺正方形的結果。之后，又引導學生通過觀察、比較、探索余數和除數之間的關系，理解余數比除數小的道理。接著，讓學生快速推算用一堆小棒擺五邊形、六邊形最多會余幾根小棒，進一步深化學生對余數的理解。最后，設計多樣化的練習，力求讓不同學習水平的學生在數學學習上得到不同的發展。

實踐表明，直觀操作能最大限度地調動學生的參與熱情，促使學生于直觀操作中發現規律、提煉概念、掌握方法，于交流探討中感悟思想、內化知識、活化思維。相信這樣的“以形助學”能幫助學生實現具象思維到抽象思維的轉化，促使學生樂學善思！