如何理解“運算順序的數學規定”并展開教學

管小冬

“整數四則混合運算”是在學生掌握整數四則運算的基礎上，解決綜合算式中運算順序的問題。教材安排這部分內容的學習，一方面是因為解決問題時，由分步走向綜合，是思維發展的必然追求。列綜合算式既簡化了計算過程，提高計算效率，又進一步促進了學生分析與綜合能力的提高。另一方面，綜合算式的出現，也推動著我們進一步展開對運算律的研究，進而又促進了運算能力的提升。

然而，實際教學中，學生對“先乘除、后加減”這一運算順序的未教先知，教師對運算順序這一數學規定的粗淺理解，往往使不少教師忽視、淡化對這一教學內容的思考與設計。那么，如何深入理解“運算順序的數學規定”并據此展開教學呢？以下是我在觀摩、學習后的一些粗淺想法，供大家參考。

【教學】

一位教師執教蘇教版三年級下冊《混合運算》一課。

課始，教師出示兩道混合運算：1．34-18+52；2．12×6÷9。

學生計算后，教師總結：加、減是低級運算，乘、除是高級運算。在只含有同一級運算的算式中，要從左往右依次計算。

教師繼續出示：20+5×3。

師：這道題又該怎么算呢？

生：先算乘法，再算加法。

師：有不同意見嗎？（學生都表示沒有）也就是在一道算式中，如果既有加法，又有乘法，要先算（乘法），再算（加法）。咦，你們是怎么知道的？

生：爸爸媽媽告訴我的。

生：從書上看到的。

……

師：你們真善于學習！不過，我們學習計算，最終目的是為了解決實際問題。下面，讓我們借助實際問題來看看，為什么先算乘法再算加法。

教師出示教材情境圖：

學生根據題意列式解答，隨后將分步列式合并為綜合算式：5×3+20 或 20+5×3。

師：要求一共用去多少元，就要先求什么？再求什么？

生：先求3本筆記本要多少元，再求一共用去多少元。

師：也就是要先算（乘法），再算（加法）。想想，可以先算加法，后算乘法嗎？

生：不可以。

師：真好！根據事理，數學中規定在既有乘法又有加法的算式中，我們要先算乘法，再算加法。

【剖析】

整數四則混合運算的計算順序是“先乘除，后加減，有括號要先算括號里的”。教學中，我們如何引導學生理解這一看似簡單的“數學規定”呢？以上教學片斷恰可視為近幾年中對這一問題的典型處理方式。即通過創設情境，讓學生基于解決問題的需要理解為什么“先乘除，后加減”。在一次教研活動中，這樣的設計就因“從數學規定的簡單告知轉為有意義的深度理解”而得到了不少聽課者的稱贊。然而，深入思考后，我以為這樣的設計仍有值得推敲之處。

一、問題解決的順序不可與運算順序混為一談

如上述片斷中所言，“學習計算，最終目的是為了解決實際問題”。但將“先乘除，后加減”這一數學規定的原由片面地解釋為解決問題的需要，顯然是不太妥當的。試想，如果上述情境中，提出的問題改為“小軍買3本筆記本和3個講義夾，一共用去多少元？”而有學生的解法是：先算1本筆記本和1個講義夾多少元，再算3本筆記本和3個講義夾共多少元。即先算5+7=12（元），再算12×3=36（元）。那么，根據事理，此處由分步轉向綜合得到的算式“5+7×3”豈不是要“先加減，后乘除”？但實際上，根據運算順序的規定，此處要“先加再乘”我們必須給加法添上括號才行。由此，我們應該明白，解決問題時，先算什么，再算什么，是由問題中數量間的關系而定，此時的先與后指向的是解決問題的步驟，而非運算順序，兩者不可混為一談。

再者，雖然我們未必知道“歷史上何時在何種情況下開始使用綜合算式（混合運算）”，但這并不妨礙我們理解綜合算式產生及獲得廣泛使用的原因。即，一方面，由分步走向綜合，源于我們對現實世界數量關系認識的不斷提高，更是數學簡潔性表達的必然追求；另一方面，綜合算式的出現，讓我們將具體計算從實際問題中抽象出來，進而去研究如何使更合理簡潔地進行計算成為可能。

如此，正如我們說“數學源于生活而高于生活”一樣，四則運算、運算順序及運算律等與運算相關的數學規定，也是“源于生活而高于生活”的。

二、從四則運算的意義本身去理解運算順序的規定

那么，如何理解“先乘除，后加減”這一數學規定呢？我以為，還得回溯我們對現實世界數量關系的認識過程，回到四則運算的意義上來。

我們知道，加法是“將兩個或者兩個以上的數、量合起來，變成一個數、量的計算”，減法是加法的逆運算。隨著認識水平的提高，在“求幾個相同加數的和”時，我們又將這樣的算式進行了簡化，產生了乘法。作為乘法逆運算的除法也因之而生。正因為乘法是“求幾個相同加數和的簡便運算”，我們才規定“加減法是低級運算，乘除法是高級運算”，當“一個算式中既有乘除，又有加減時，應先乘除，后加減”。

以上述片斷中的問題為例，求“3本筆記本和1個書包一共多少元？”是將3本筆記本和1個書包的錢數合起來，即5+5+5+20或20+5+5+5，而其中3個5相加又可簡潔地表示為5×3，表示的是3本筆記本一共的錢數。如此算式又變為5×3+20 或者 20+5×3，都應該先乘后加。

再以筆者前面提出的問題“小軍買3本筆記本和3個講義夾，一共用去多少元？”為例，用加法表示為5+5+5+7+7+7，其中3個5相加與3個7相加分別可簡潔表示為5×3與7×3，進而算式變為 5×3+7×3，同理，也是先乘后加。而隨著認識的不斷提高，我們又發現這個問題還可以先算“1本筆記本和1個講義夾多少元，再算3本筆記本和3個講義夾共多少元”，即先算5+7=12，再算 12+12+12=36，而第二步又可簡潔表示為12×3。如此就又有了當這兩個分步算式合并為“5+7×3”時，基于數量關系要先加后乘的需求，與之前基于運算意義規定的“先乘后加”相悖。為此，我們又引入括號改變運算順序，既使混合運算能契合問題解決的需求，又確保了數學規定的統一性與運算結果的唯一性。如此，我們可進一步理解，乘法分配律表示成 a×c+b×c=（a+b）×c，而非反過來，正是基于認識的不斷提高與數學的逐步發展。

【對策】

在深入理解“運算順序的數學規定”的基礎上，再參考《數學課程標準（2011版）》（下稱《課程標準》）論及“零指數”教學方案的設計時的要求：“教學目標不僅要包括了解零指數冪的‘規定’、會進行簡單計算，還要包括感受這個‘規定’的合理性，并且在這個過程中學會數學思考、感悟理性精神?！蔽覍θ绾握归_這部分內容的教學形成了以下幾點認識。

一、問題解決是探討運算順序的有效載體

在四則混合運算的教學中，根據教學目標的具體要求及混合運算的具體類型創設情境，將混合運算與問題解決緊密結合是《課程標準》的具體要求。首先，綜合算式的出現，是我們對問題解決過程中數學表達簡潔化的必然追求。脫離實際問題而單純討論四則混合運算的順序是無意義且無價值的。如，在運算順序的規定未明確前，算式“5+7×3”是沒有意義的，必須首先明確其“前身”——分步計算的算式是什么。其次，以實際問題為依托，有利于學生對運算順序數學內涵的思考與理解。比如，本文之前“教學片斷”中的購物情境，就可以契合混合運算的不同類型提出相應的問題，作為學生學習這部分內容的有力支撐。再次，嘗試列綜合算式來解決實際問題，也有助于學生綜合與分析能力的提升及問題解決能力的提高。

二、多元表征是理解運算順序規定的有效手段

混合運算看似簡單，實則易錯。究其原因，既與低年級接觸到的相關試題均為從左往右依次計算，由此帶來的負遷移較強有關；也與不少學生“未教先知”，從而弱化了對運算順序規定的深層次探究與理解有關。教學中，引導學生通過多元表征，探究、思考、理解“規定”背后的道理，可進一步增進學生對運算順序規定的理解與記憶，促進學生運算能力的不斷提高。比如，解決問題時，引導學生使用圖式表示問題中的數量關系，用綜合法、分析法理清數量間直接或間接的聯系，觀察所列綜合算式的計算順序是否與問題解決的步驟一致。練習時，引導學生不忙動筆，先觀察，然后在先算的部分下面劃線，最后計算，以此培養學生良好的計算習慣。設計根據圖式列綜合算式、根據給定的綜合算式編故事等類型的練習。

三、適度抽象是發展運算能力的重要過程

“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力”。實際教學中，我們會發現，在解決實際問題時，有些學生仍停留在分步列式階段，有些學生雖能列出綜合算式，但缺乏主動尋求更為合理簡潔的運算途徑的意識。一方面，這與他們的認知發展水平正處于“具體運算階段”有關；另一方面，也因為問題解決進入計算階段時，學生的思維仍囿于具體數量關系的思考。因此，培養、發展學生適度的抽象能力，也應是混合運算教學中不容忽視的目標之一。比如，在學生立足實際問題列出算式20+5×3后，除從事理層面理解算式的含義外，進一步引導學生理解其表示的是1個20與3個5的和。從而使混合運算的算式從實際問題的事理中抽象出來，獲得數理層面更為本質的意義闡釋。這也將“有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”