從“簡單”到“多元”的數形結合

陳 云

“數”與“形”是數學中最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化，將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，我們稱之為“數形結合”。在小學數學教學中，數形結合在各個領域都有滲透，特別是利用“形”作為各種直觀工具幫助學生理解和掌握知識、解決問題。數形結合能力的培養，要經歷由易到難、由簡到繁的發展變化，從“簡單易變”到“對應穩定”，再到“多元豐富”，一步步走向成熟。

一、簡單易變——數形結合的初級形式

嚴格意義上的數形結合應該是數與形之間的一一對應關系，是“以數解形”和“以形助數”的完美結合。事實上，在小學階段（特別是小學低段）我們對數形結合的應用多半著力于“借助于直觀形象模型理解抽象的數學概念以及抽象的數量關系”，這固然是小學生學習數學的重要方法，但這一方法與嚴格意義上的“數形結合”方法在內涵上是不一致的。

例如：在學生學習“3+4=7”時，必定要借助具體的實物讓學生感受“加”的意義。教師的操作可能是這樣的：先拿出3個蘋果，再拿出4個蘋果，問學生現在講臺上有幾個蘋果？

也可能是這樣的：左手拿著3根小棒，右手拿著4根小棒，兩只手并攏到一起，問學生兩只手上一共有幾根小棒？

還有可能是這樣的：左邊畫4個圓，右邊畫3個圓，問學生黑板上一共有幾個圓？

……

這里借助蘋果、小棒、圓形都十分簡單，是學生已有生活經驗中的東西，不需要學生重新認識和加以理解。所以，這些實物或圖形加上教師的操作就能夠較為輕松地幫助學生理解加法的算理。但是，這里的實物和圖形并不能算作數形結合的“形”，因為蘋果有大有小，還可以換成梨子；小棒有紅有綠，換成彈珠也未嘗不可；圓形變成三角形同樣不影響學生的理解。甚至于，有教師提出，在最初借助實物或圖片幫助學生理解數學概念時，借用的實物或圖片不能始終保持不變，以免學生形成思維定勢，好比一直用靜止的水果圖片表示3+4的意思，再換成活動的羊群，學生就不知道怎么辦了。所以這里的實物和圖片并不是數形結合中的“形”，因為這里并不關心幾何圖片的形狀和大小、具體實物的性質和狀態，并沒有賦予圖片和實物本身形狀和大小量化的特征，運用各種不同的材料都能起到相同的作用。因此，這里的“數形結合”還只是一種“雛形”，算是“數形結合”的初級形式——簡單易變。

二、對應穩定——數形結合的高級形式

當“數學結合”在課堂中演變為用數軸、線段圖、正方形、圓、圖像等抽象的“形”來幫助學生理解數、數量關系時，就是真正的以形助數了。教師在引導學生研究問題的過程中，要注意把數和形結合起來考查，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，把“數”和“形”建立起一一對應的關系，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，以達到化難為易，獲得解決問題簡便、易行的成功方案。

例如：直線、線段在教學中的運用。從低年級開始就會借助直線認識數的順序，從認識整數（如圖1）到認識小數、分數（如圖2），再到高年級的畫線段圖幫助學生理解實際問題的數量關系（如圖3）。這里的每一條線、每一個點、每一份間距都有特定的含義，如在認識整數、小數、分數的數軸中，指向“0”的點都是一個起點，而在認識負數的數軸上，指向“0”的點很顯然只是一個分界點，一端為正，則另一端為負。再如圖3的線段圖，表示楊樹棵數的線段長度由表示柳樹棵數的線段長度所決定，而且這里即便不是楊樹、柳樹，換成紅花、綠花；男生、女生……只要數量關系不變，線段圖都不變。這就實現了把抽象的數的概念和數量關系與圖中的點、線緊密結合、一一對應，簡潔、直觀、易懂。

圖1

圖2

圖3

在小學數學課堂中，“數”和“形”有著對應穩定關系的內容還有很多，學生比較熟悉的除上面提到的還有用代數（算術）方法解決幾何問題。如角度、周長、面積和體積等的計算，一個小正方形、一個小正方體都是一個特定的計數單位；通過計算三角形內角的度數，可以知道它是什么樣的三角形等等都是“以數解形”的較好運用。至于平面直角坐標系，雖然在小學階段還只是滲透，應用得比較淺顯，但位置、正反比例關系圖像等內容，能很好地幫助學生體會代數與幾何之間的聯系，成為學生今后進一步學習數學的基礎。再有統計圖本身和幾何概念模型都是數形結合思想的體現，統計圖表把抽象的、枯燥的數據直觀地表示出來，便于分析和決策。這些才是真正意義上的數形結合，就是讓“數”與“形”之間具備了某種特定的關系或結構，讓學生看到某個“形”就能想到某些特定的“數”或“數量關系”，看到某些“數”或“數量關系”就能畫出特定的“形”，其實就是從所給問題的情境中辨認出符合問題目標的某個熟悉的“模式”，這稱之為數形結合思想的高級形式。

三、多元豐富——數形結合思想的理想形式

數形結合思想在問題解決中比較困難的就是根據對象的屬性和問題的特點將“數”與“形”巧妙對應，也就是把“數”對應的“形”或與“形”對應的“數”找出來，利用“數”與“形”的關系來解決問題。但是任何一種思想方法都不是孤立和固定不變的，我們的數學課堂不必太過“中規中矩”，特別是小學數學課堂，我們還可以給學生更多的自由，為培養學生的創造精神留出更大的空間，充分發揮學生在學習中的創新求變意識，更廣泛地挖掘教學素材和生活素材，使“數”的理解更寬泛、“形”的表達更多元，這正是我們在“圖解數學”過程中希望達到的理想境界。

例如：有這樣一道兩步計算的簡單問題：“圖書館故事書和童話書共借走72本，其中故事書比童話書多借走12本，兩種書分別借走了多少本？”我們似乎很期望得到如圖4這樣的“標準”的數形結合方式，但事實上我們還能看到圖5、圖6、圖7，其實每一種想法都是一種特別難得的思路，像這樣一些“非標準”畫法，反而給其他同學提供了更多的變式思路，如果我們引導學生從這些“異樣”的“形”中找出“變”與“不變”，就能夠很好地凸顯知識核心、問題本質——萬變不離其宗。

圖4

圖5

圖6

圖7

雖然數形結合總體來說還是會趨向對應穩定，但在小學數學學習中，我們沒有必要過早給學生“定勢”的表達，可以讓學生在“數”與“形”的關系變化中去感悟不變的本質，因為不同的形式往往會生成不同的內容，產生不同的效果，有利于處在不同層次上的學生的心智結構都能得到完善。