直線參數方程在解析幾何中的應用

王晨曦

摘 要 參數是解析幾何中常見的元素，參數方程在解決高中數學解析幾何題時有著意想不到的效果，例如利用參數方程可以求解軌跡問題、定點定值問題、最值問題等等，這些問題的綜合性及應用性都很強，因而參數方程的學習十分必要。

關鍵詞 相交弦長及中點問題 最值問題 共圓問題 軌跡方程

定理：設直線過定點，且傾斜角為、，是上的動點，則直線的一個參數方程為

其中為直線的傾斜角，參數的幾何意義是，即有向線段的數量，我們稱之為是定點到定點的有向距離，其中，當在點上方時，，當在點下方時，。

那我們來看看直線參數方程中可以解答的幾種問題。

1相交弦長及中點問題

例1：（2016年江蘇）平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數），橢圓的參數方程為（為參數），設直線與橢圓相交于、兩點，求線段的長。

解法一：把直線、橢圓參數方程轉化為直角坐標方程，聯立方程，利用韋達定理求解。

解法二：因為直線參數為標準形式，且過點，設點、對應的參數為，可得橢圓方程為，將直線參數方程代入到橢圓方程，可得，得，，故

一般經過點，傾斜角為直線參數方程為（為參數），若、為直線上兩點，對應參數為，線段中點為，所對應參數。