符合阿貝原則的數控機床幾何誤差建模

趙 壯，婁志峰，張忠寧，王曉東，范光照*，陳國華，向 華

(1.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024；2.襄陽華中科技大學先進制造工程研究院，湖北 襄陽 441053)

1 引 言

航空航天、醫療器械等高端制造業對于零部件的精度有很高的要求，數控機床作為機械裝備的母機，其加工精度的好壞直接影響被加工件的質量[1-2]，因此提高數控機床的加工精度對于發展我國高端制造業具有重要意義。幾何誤差作為數控機床重要的誤差源[3-4]，對機床加工精度有很大影響，其補償模型一直都是國內外研究人員的研究重點。

目前，針對機床幾何誤差的常用補償模型是以多體系統理論為基礎，通過齊次轉換矩陣所建立的誤差補償模型，即齊次坐標轉換矩陣(Homogeneous Transformation Matrix，HTM)法[5-7]。HTM法是由Hartenberg等在機構運動學的基礎上提出的[8]，Ferreira等將它應用到機床幾何誤差補償模型中[9]。劉又午基于多體系統理論推導出適用于三軸加工中心的誤差補償模型，通過9線法辨析幾何誤差，對模型的有效性進行了驗證[10]。由于對直線度誤差的定義不同，針對三軸機床的誤差補償模型又可以被分為兩種：包含18項幾何誤差的補償模型[11]和包含21項幾何誤差的補償模型[12]，董澤園等對這兩種模型存在的差異進行了分析，并在三軸機床上進行了補償精度的比較[6]。粟時平推導出適用于五軸機床的幾何誤差補償模型，并在虛擬加工條件下進行了加工精度的預測[13]。陳東菊、謝春等分別將多體系統理論應用于數控磨床和五軸車銑復合加工中心的補償模型推導中并驗證了模型的補償精度[14-15]。郭世杰等基于多體系統理論建立了轉臺-擺軸式五軸機床的補償模型，有效降低了轉動軸幾何誤差對機床精度的影響[16]。

以上研究都是使用激光干涉儀進行誤差測量，為降低補償成本、提高補償效率，有研究人員使用多自由度測量儀器替代激光干涉儀進行機床幾何誤差的測量，但由于測量過程不滿足阿貝原則，幾何誤差測量結果中存在阿貝誤差，嚴重影響補償精度。為此，范光照、Vahebi等分析了三軸機床幾何誤差傳遞機理以及阿貝誤差對于加工過程的影響[17-19]；楊建國等將阿貝臂的概念引入誤差建模中[20]；向華等分析了阿貝誤差對于幾何誤差測量結果的影響并設計了一種測量方法避免在測量結果中引入阿貝誤差[21]。

HTM法因具有易理解、推導簡單和適應性好等優點，而被廣泛應用于機床幾何誤差補償中，但使用HTM法進行誤差補償需要保證刀具切削點、幾何誤差測量點以及低序體坐標系原點的空間位置重合。在使用多自由度測量儀器配合HTM法進行空間誤差補償時，由于幾何誤差的測量點與低序體坐標系坐標原點不重合，兩點間存在空間偏位，使得一部分運動軸的角度誤差對于空間誤差的影響沒有被考慮，會降低補償精度。

本文以XYFZ型數控機床為例，介紹HTM法的推導過程，分析其中不足；然后，基于阿貝原則與布萊恩原則分析機床空間誤差傳遞機理和幾何誤差測量的不準確性，并進行驗證實驗；最后，對HTM補償模型進行優化，并對優化后的補償模型的準確性進行實驗驗證。

2 HTM誤差補償模型

2.1 機床幾何誤差

由于制造精度問題，機床運動軸在運動過程中的實際運動位姿與理想運動位姿存在偏差，此偏差被稱為幾何誤差[22]。單根運動軸有6項幾何誤差，包括3項角度誤差和3項平動誤差[6]，分別為偏擺角誤差、俯仰角誤差、滾動角誤差以及水平直線度誤差、豎直直線度誤差和定位誤差，如圖1所示。

此外，運動軸之間還存在垂直度誤差，故三軸機床共有21項幾何誤差，誤差表達式如表1所示。在加工過程中，這些誤差的存在會導致刀具切削點的實際位置與理想位置產生偏差，影響加工精度。

圖1 運動軸6項幾何誤差Fig.1 Six geometric errors of motion axis

表1 21項幾何誤差表達式

2.2 模型推導過程

首先，依照多體系統理論和低序體陣列法，將機床X，Y，Z運動軸和床身假設為存在相對運動的低序體并進行編號，機床床身為體0，Z軸為體3，X軸為體2，Y軸為體1，并在各低序體內預設一個固連坐標系，低序體坐標系設置如圖2所示。然后，通過相鄰低序體進行坐標轉換，將刀具切削點在刀具坐標系(體3固連坐標系)內和工件坐標系(體2固連坐標系)內的相對坐標轉換到機床床身絕對坐標系(體0固連坐標系)中，再通過齊次矩陣運算得出機床的空間誤差[6]。

在計算空間誤差時，機床導軌的理論運動值和幾何誤差值分別以理論運動矩陣和誤差特征矩陣(表2、表3)的形式表示[5]。

圖2 XYFZ型機床結構及低序體坐標系設置Fig.2 XYFZ machine tool structure and low sequence body coordinate system

表2 理想運動矩陣和誤差特征矩陣的表達式

表3 垂直度誤差特征矩陣表達式

Tab.3 Characteristic matrix expression of perpendicularity error

假設刀具切削點在工件坐標系(體2坐標系)中的齊次坐標為Pw，在刀具坐標系(體3坐標系)中的齊次坐標為Pt。可得齊次坐標Pw通過坐標轉換后在床身坐標系中的實際坐標值為：

Pactual-w=T01ΔT01CxyT12ΔT12Pw.

(1)

齊次坐標Pt轉換后在床身坐標系中的實際坐標值為：

Pactual-t=CyzCxzT03ΔT03Pt.

(2)

故由機床21項幾何誤差所引起的刀具切削點空間誤差為：

E=Pactual-t-Pactual-w.

(3)

2.3 模型不足

HTM法是從機構運動學中衍生出來的[9]，在使用HTM誤差補償模型對機床進行誤差補償時，必須要保證機床的刀具切削點與工件坐標系、刀具坐標系的坐標原點重合，同時保證幾何誤差測量點和機床運動軸的固連低序體坐標系原點的空間位置重合。

圖3 誤差測量點與刀具切削點偏位Fig.3 Offset between measuring point and cutting point of tool

但是在使用多自由度測量儀器測量機床運動軸幾何誤差時，在空間中刀具切削點和誤差測量點的位置并不重合，兩點間的偏位如圖3所示。此時帶入模型的幾何誤差在理論上由兩部分組成：儀器測量得到的誤差以及導軌角度誤差在刀具切削點和幾何誤差測量點間的空間偏位作用下產生的阿貝誤差。然而，現階段在將幾何誤差帶入補償模型時，兩點間空間偏位所造成的這部分誤差項并沒有被考慮，這就使得在使用HTM模型進行誤差補償時補償精度受到制約。

3 阿貝原則在機床空間誤差分析中的應用

3.1 空間誤差傳遞

阿貝原則是測量儀器設計的指導性原則，指測量軸線必須與基準軸線共線，否者會在測量結果中引入阿貝誤差[23]。這一原則也可被借鑒用來分析三軸機床的幾何誤差傳遞[19]。

在加工時，由于運動軸定位誤差的存在，刀具切削點的真實位置與理想位置不重合，影響機床的加工精度。在以光柵尺為位置控制單元的機床上，運動軸的位置是靠光柵尺實時反饋得到的，所以將光柵尺的位置作為基準軸線。在加工時，刀具切削點與光柵尺不在同一軸線上，在空間上存在阿貝偏位，且在加工過程中運動軸存在運動姿態角度誤差，所以會在刀具切削點處引入阿貝誤差。刀具切削點的真實位置誤差是由光柵尺處的定位誤差和角度誤差與阿貝偏位所引起的阿貝誤差共同組成。

假設刀具切削點與X軸光柵尺在Z方向的偏位為Lz(x)，X軸在運動時的俯仰角誤差為εy(x)，所以由X軸俯仰角誤差在刀具切削點引起的X方向阿貝誤差為：εy(x)×Lz(x)，如圖4所示。

圖4 阿貝偏位引入阿貝誤差Fig.4 Abbe offset introduces Abbe error

實際加工中，刀具切削點與光柵尺讀數頭在空間中有3個方向的偏位，如圖5所示，運動軸的偏擺角誤差也會在刀具切削點處引入阿貝誤差。所以刀具切削點處由X軸引入的X方向的幾何誤差應由三部分組成：光柵尺處的基準定位誤差、俯仰角誤差引入的阿貝誤差以及偏擺角誤差引入的阿貝誤差，計算公式為：

δxt(x)=δxα(x)+εy(x)Lz(x)-εz(x)Ly(x)，

(4)

其中：δxα代表X軸光柵尺讀數頭處的基準定位誤差，δxt代表刀具切削點處X方向的幾何誤差，Lz(x),Ly(x)分別為X軸光柵尺讀數頭與刀具切削點之間的Z向和Y向的偏位。

圖5 刀具切削點與光柵尺讀數頭間偏位Fig.5 Offset between cutting point and reading head

3.2 阿貝原則的驗證

為驗證上述理論推導的準確性，在機床X軸上進行實驗驗證。首先，使用雷尼紹公司XM-60型多自由度測量儀器(精度：±0.5×10-6，分辨力：1 nm，測量范圍：0～4 m)在距光柵尺水平偏位0 mm,豎直偏位分別為250，430和550 mm位置測量X軸的定位誤差和俯仰角誤差。定位誤差測量示意圖和儀器現場架設如圖6所示。

圖6 不同豎直偏位儀器架設方案及現場安裝圖Fig.6 Instrument erection scheme and installation in different vertical offsets

在3個不同豎直偏位測量的俯仰角誤差如圖7所示。由于3個測量位置的水平偏位都為0，故偏擺角誤差對于定位誤差的測量結果沒有影響，所以依照前述，在不同豎直偏位測量得到的定位誤差由兩部分組成：相同的基準定位誤差和由于不同阿貝偏位所產生的阿貝誤差。誤差測量點處的定位誤差值與光柵尺讀數頭處的定位誤差值滿足如下公式：

δxm(x)=δxα(x)+εy(x)Lmz(x)，

(5)

其中：δxα代表X軸光柵尺讀數頭處的基準定位誤差，δxm代表定位誤差測量點測量得到的定位誤差值，Lmz(x)為X軸光柵尺讀數頭與誤差測量點之間的Z方向偏位值。

通過公式(5)補償不同高度測量點處包含的阿貝誤差后，可得到光柵尺讀數頭處的基準定位誤差，計算結果如圖8所示。結果表明，3個不同高度的定位誤差中包含相同趨勢的基準定位誤差，且相互間的差值基本保持在2 μm內，符合理論推導。

圖7 不同豎直偏位測得俯仰角誤差Fig.7 Pitch angle errors measured in different vertical offsets

圖8 不同豎直偏位定位誤差比對Fig.8 Alignment of positioning errors in different vertical offsets

除了俯仰角誤差外，當測量軸線與基準軸線存在水平方向偏位時，導軌偏擺角誤差也會在定位誤差的測量結果中引入阿貝誤差。使用雷尼紹公司XM-60型多自由度測量儀器在距光柵尺豎直偏位250 mm，水平偏位分別為0 mm和290 mm的位置測量X軸定位誤差和偏擺角誤差，定位誤差測量示意圖和儀器現場架設如圖9所示。

圖9 不同水平偏位儀器架設方案及現場安裝圖Fig.9 Instrument erection scheme and installation in different horizontal offsets

當兩個測量位置相對于光柵尺讀數頭的豎直偏位相同且水平偏位不同時，可認為是偏擺角誤差在兩點間定位誤差中引入了阿貝誤差。即290 mm處測量得到的定位誤差是由0 mm處測量得到的定位誤差和偏擺角引入的阿貝誤差組成。兩點間定位誤差的計算公式如下：

δx290(x)=δx0(x)-εz(x)Lmy(x)，

(6)

式中：δx0,δx290分別代表在相對X軸光柵尺讀數頭水平偏位0，290 mm測得的定位誤差，Lmy(x)為兩誤差測量點間的水平偏位。將290 mm水平偏位處測得的偏擺角誤差(圖10)帶入公式(6)中可以計算得出0 mm處的“基準”定位誤差，并將之與水平偏位0 mm處實際測得的定位誤差進行比較，結果如圖11所示，兩者差值在1.3 μm內，符合理論推導。

圖10 水平偏位290 mm處測得的偏擺角誤差Fig.10 Yaw angle errors measured in horizontal offset of 290 mm

圖11 不同水平偏位定位誤差比對Fig.11 Alignment of positioning errors in different horizontal offsets

由于機床結構的特殊性，在加工過程中，運動軸的定位誤差在傳遞到刀具切削點時會引入角度誤差造成的阿貝誤差，具體計算如公式(4)所述。在使用HTM法進行補償時，有一部分阿貝誤差未被考慮，這是影響其補償的主要原因。所以，基于阿貝原則和空間誤差傳遞機理針對HTM補償模型存在的不足進行優化，以達到提高補償精度的效果就顯得很有意義。

4 基于阿貝原則優化補償模型

4.1 測量誤差轉換

誤差測量是補償的前提，由于使用便捷、測量效率高，多自由度誤差測量儀器被越來越多地應用于機床幾何誤差量的測量中。測量時，儀器多架設于機床工作臺上，這就使得誤差測量點與刀具切削點存在偏位，且在進行多次重復測量時，安裝人員很難保證儀器在工作臺上的架設位置不變。根據前述理論，儀器在不同的安裝位置測得的定位誤差值由于阿貝誤差的影響會產生變化，誤差測量點與刀具切削點的空間偏位也會發生變化。如果每次測量都記錄儀器位置，并針對測量點與切削點的偏位信息進行補償，就會加大補償工作量，使得補償流程變得非常繁瑣，同時也不利于補償的重復實現。所以，為提高補償精度以及不增加補償流程的復雜度，現對HTM法以阿貝原則為基礎進行優化。

由分析可知，雖然不同測量位置得到的定位誤差不同，但其中包含的光柵尺讀數頭處的基準定位誤差都是相同的，所以可以依照公式(4)把儀器測量得到的定位誤差轉換為光柵尺讀數頭處的基準定位誤差，然后再帶入補償模型。在基于多體系體理論推導誤差模型時，運動軸6項幾何誤差必須位于同一位置，所以在對定位誤差進行轉換時，也基于布萊恩原則[24]將直線度誤差由測量點轉換到光柵尺讀數頭處。由于運動軸可被視為剛體，角度誤差不需轉換。X軸定位誤差和直線度誤差轉換公式如下：

δxm(x)=δxα(x)+εy(x)Lmz(x)-εz(x)Lmy(x)，

(7)

δym(x)=δyα(x)-εx(x)Lmz(x)+εz(x)Lmx(x)，

(8)

δzm(x)=δzα(x)+εx(x)Lmy(x)-εy(x)Lmx(x)，

(9)

其中：δxα,δyα,δzα分別代表光柵尺讀數頭處x,y,z方向的誤差值，δxm，δym,δzm分別代表誤差測量點測量得到的x,y,z方向的誤差值，Lmx(x),Lmy(x),Lmz(x)分別代表X軸上幾何誤差測量點到光柵尺讀數頭處的X，Y，Z三個方向的偏位。

圖12 X軸誤差測量點與光柵尺讀數頭間偏位Fig.12 Offset between error measuring point and reading head on X-axis

4.2 誤差模型優化

誤差測量點與低序體坐標系原點重合是補償的前提條件，所以現將機床運動軸固連坐標系設置在各軸光柵尺讀數頭處。將床身絕對坐標系的坐標原點設定為機床位于絕對零點時Y軸光柵尺讀數頭處，為保證補償的準確性，在進行坐標轉換時還要考慮機床位于絕對零點時各相對坐標系間的空間偏位，坐標系設置及坐標系間偏位如圖13所示。此時的空間偏位信息也可用齊次坐標表示如表4。

圖13 優化后坐標系及坐標系間偏位Fig.13 Coordinate system and offset between coordinate systems after optimization

表4 相對坐標系間偏位表達式

Tab.4 Partial expression for relative coordinates

空間偏位矩陣機床位于絕對零點時,體2與體1固連坐標系間的空間偏位B12=100x12010y12001z120001機床位于絕對零點時,體3與體0固連坐標系間的空間偏位B03=100x03010y03001z030001

除了運動軸的幾何誤差外，各軸間的垂直度誤差也會對空間誤差產生影響。機床加工時，非基準軸在運動過程中會因為垂直度誤差的存在而在基準軸上產生一個誤差，如圖14所示。

圖14 垂直度誤差對空間誤差的影響Fig.14 Influence of verticality error on spatial errors

所以3個垂直度誤差對于空間誤差的影響可以按照齊次向量的樣式寫為：

C=(Zαxz,Xαxy-Zαyz,0,0).

(10)

基于阿貝原則優化后的空間誤差算法如下：

Pactual-w=T01ΔT01B12T12ΔT12Pw，

(11)

Pactual-t=B03T03ΔT03Pt,

(12)

E=Pactual-t-Pactual-w+C.

(13)

針對誤差補償模型的優化主要有三點：首先，考慮了由于誤差測量點與刀具切削點間偏位產生的誤差對于空間誤差的影響；然后，基于阿貝原則和多體系統理論規范了相鄰低序體固連坐標系坐標原點的選取原則；最后，在模型中加入表示機床位于絕對零點時相鄰低序體固連坐標系間空間偏位的特征矩陣，使得模型的計算過程更加合理。

5 實驗與結果分析

以江山華科XHK715型三軸數控機床為實驗對象，驗證針對HTM補償模型的優化是否有效。

5.1 幾何誤差測量

首先，使用雷尼紹公司XM-60型多自由度測量儀器分別測量機床X,Y,Z運動軸的6項幾何誤差，測量行程及測量間隔如表5所示。反復測量5次[19]，以5次測量的平均值作為導軌的幾何誤差。

表5 各軸測量行程及測量間隔

Tab.5 Measuring stroke and interval of each axis (mm)

測量行程測量間隔X軸0～-50050Y軸0～-30030Z軸0～-40040

機床各軸的測量現場以及測量結果分別如圖15和圖16所示。

圖15 測量X，Y，Z軸幾何誤差儀器安裝示意圖Fig.15 Instrument installation diagram for measurement of geometric errors of X, Y and Z axes

圖16 X，Y，Z軸幾何誤差的測量結果Fig.16 Measurement results of X, Y and Z axial geometric errors

運動軸幾何誤差測量完成后，使用雷尼紹公司QC20-W型球桿儀(精度：±(0.7+0.3%L)μm，分辨力：0.1 μm，測量范圍：±1 mm)測量機床的三項垂直度誤差，測量結果如表6所示，儀器測量現場如圖17所示。

表6 垂直度誤差

圖17 測量垂直度誤差儀器安裝示意圖Fig.17 Instrument installation diagram for measurement of perpendicularity errors

5.2 模型準確性驗證

根據ISO標準，可以通過檢測機床運動空間體對角線定位誤差估算機床的空間性能[25]。以此為基礎，提出一種補償模型驗證方法。將補償模型計算得到的空間誤差映射到體對角線上，得到機床體對角線預測定位誤差，再將預測定位誤差與使用干涉儀實際測得的體對角線定位誤差比對，反映補償模型的補償精度高低。

使用API公司XD激光干涉儀(精度：0.5×10-6，分辨力：0.02 μm，測量范圍：40 m)測量機床500 mm(X)×400 mm(Y)×300 mm(Z)空間體對角線的定位誤差，如圖18所示。

圖18 體對角線測量軌跡及儀器安裝示意圖Fig.18 Measured track and instrument installation diagram of body diagonal

將測量得到的21項幾何誤差分別帶入優化前和優化后的補償模型生成空間誤差補償值，擬合得到體對角線預測定位誤差，將實際測得的定位誤差與預測誤差進行比較，結果如圖19所示。測量所得的體對角線最的大定位誤差為41.15 μm，兩個補償模型擬合出的體對角線的最大定位誤差分別為47.51 μm和42.61 μm，且擬合得到的體對角線定位誤差與由干涉儀實際測量得到的定位誤差的變化趨勢基本相同。

圖19 擬合體對角線定位誤差比對Fig.19 Comparison of fitting body diagonal positioning errors

圖20 體對角線定位誤差補償殘差比對Fig.20 Comparison of compensation residual of body diagonal positioning errors

使用模型預測誤差對測量所得的定位誤差進行補償，補償后殘差如圖20所示。結果表明：未優化模型補償后的最大殘差為16.37 μm，優化后模型補償后的最大殘差為5.32 μm，優化模型的補償率為87.07%，未優化模型的補償率為60.22%，優化后補償模型的補償效果更好。

6 結 論

本文基于阿貝原則對HTM誤差補償模型進行了優化，提出符合多體系統理論的坐標系選取原則，使得補償模型的理論推導更加合理。首先推導出HTM補償模型，并指出使用多自由度測量儀器配合HTM補償模型進行空間誤差補償時，誤差測量點與補償點不重合會導致補償精度的降低。隨后分析了三軸機床空間誤差的傳遞機理，基于阿貝原則對HTM補償模型進行了優化。實驗表明，優化后的補償模型可將機床空間體對角線的定位誤差由41.15 μm補償至5.32 μm，補償率為87.07%；相比于傳統HTM補償模型，補償率提高了26.85%，對于機床空間誤差具有更好的補償效果。