超聲電機速度與位置的高精度控制

陳 寧，鄭杰基，范世珣，李華峰，范大鵬*

(1. 國防科技大學 智能科學學院，湖南 長沙 410073;2.南京航空航天大學 航空學院，江蘇 南京 210016)

1 引 言

近年來，隨著超聲電機在空間機器人、生物醫學微操作設備等領域的應用，其速度與位置控制精度的要求也越來越高[1-2]。而超聲電機將壓電陶瓷的微觀高頻振動轉化為輸出轉子的宏觀旋轉運動的過程中，非線性、多變量、強耦合的特性引起了系統模型的不確定性[3]，使電機呈現出復雜的動力學行為，難以獲得精確的模型。同時，由于μs級調控、μm級振動的特點，能否充分利用微觀特性使電機更精細地判斷與調整運動狀態，成為最終速度位置控制性能優劣的根本性問題。

在速度控制層面，重點是如何實現電機的速度平穩性控制，人們主要采用速度閉環控制[4-5]和頻率跟蹤控制[6]兩種方式。傳統的速度閉環控制既從結構上缺乏位置環的輔助作用，也忽略了超聲電機μs級快速定位的優勢。而在頻率跟蹤控制上則涌現出以孤極電壓[7]、阻抗角[8-10]為反饋量的多種控制方式，但由于頻率跟蹤截取的多為定轉子摩擦傳力前的陶瓷機電信號，難以實現較好的控制效果。近年來，隨著控制理論的發展，學者提出了諸如模糊控制[11]、神經網絡控制[12]、混沌控制[13]等超聲電機速度控制策略。雖然取得了一定成果，但是多數因模型集獲取困難及訓練復雜等原因難以在工程上廣泛應用[14-15]。從位置控制來看，主要難點在于高分辨率定位，這需要精確的開環或閉環步進運動，特別是開環步進模式下的高分辨率運動，對于緊湊空間的精密定位應用是很有意義的。若想把握開環步進運動的規律，需要盡可能地細化其中的啟動關斷過程，尤其是當周期數較小時(N≤10)，關斷過程的動態特性對步進位移量的影響不能忽略[16]。因此，為了實現高分辨率的步進運動，有必要分析少周期數條件下關斷過程的規律，并提出行之有效的位置增量預測方法。

綜合上述分析，速度平穩性控制與位置分辨率控制構成了超聲電機控制性能提升的兩個核心問題。二者均要建立在對電機參數調控機理以及微觀狀態演變的建模分析上。因此，本文從連續運動與步進運動兩種模型機理進行研究，目的在于充分利用電機的自身特性，運用工程上快速易行的方法實現控制目標。在速度平穩性控制上，提出并辨識了多輸入多輸出速度模型，設計了雙環復合的速度控制策略；在位置分辨率控制上，開展了電機步進運動特性尤其是關斷過程速度規律的研究，提出步進量預測模型，并通過優化驅動參數實現電機的高分辨率步進運動。

2 連續運動與步進運動機理分析

超聲電機在兩相正弦波的共同激勵下工作，通過驅動參數和波形關斷時間的控制可以實現連續運動與步進運動，分別對兩種模型及其影響因素進行分析。

2.1 連續運動機理

2.1.1 多參數調速模型

超聲電機的運動及控制的實質在于改變行波的振幅、速度以及質點的橢圓軌跡，其相應的控制量有兩相驅動電壓幅值(u)、頻率(f)和相位差(α)。由行波的運動方程可知，波峰處的切向速度可以表示為：

(1)

式中:ξ為定子振幅，h為定子厚度的一半，ω=2πf為驅動的角頻率，n為行波振動的波節數。可以看出，一定頻率和相位差的峰值速度與定子振幅ξ呈線性關系，而定子振幅ξ與電壓幅值u成正比，因此速度值νs與激勵幅值u滿足線性關系。同時根據文獻[14-15]，在一定幅值和相位差條件下定子速度峰值與頻率呈指數關系。考慮到相位差不為±90°時，定子的兩相駐波波形不正交，在帶來波形畸變的同時也將使速度變化規律更加復雜，因此在控制時只考慮相位差α為±90°時的速度模型，從而將轉子速度的穩態值等效為定子的切向速度峰值。進一步整合超聲電機轉子轉速的動態傳遞函數H(s)，得到的轉子速度表達式為：

vr=(au+b)e(cf+d)H(s),

(2)

式中a,b,c,d為待定系數，將通過后面的辨識獲得。

2.1.2 速度平穩性及表征

超聲電機的速度時刻處在變化當中，主要成因是電機軸線在加工和裝配過程中存在角度偏差，使得摩擦界面接觸不平衡，周向壓力分布不均[17]。定性來看，超聲電機在工作狀態下，接觸壓力大的一側接觸范圍較大，阻止區較大，定子振幅較小，導致速度偏小；而接觸壓力小的一側接觸范圍窄，驅動區相對較大，定子振幅較大，速度較高[18]。由于速度分布在周向的不一致，超聲電機轉動一圈，速度將會產生持續的周期性波動，從而加重定轉子相對速度差異帶來的滑移，在增加摩擦損耗降低效率的同時還會影響電機服役壽命。為了減少這類誤差，不僅需要改進定轉子結構、提高制造精度，還需要研究波動誤差抑制或補償方法。

(3)

式中νr為電機實時測得的速度。顯然速度平穩性控制的最終目標就是盡可能降低控制殘差的占比。

2.2 步進運動機理

步進運動是指超聲電機在間歇性的電壓激勵下產生的反復啟停運動過程，其速度規律不再是連續運動狀態下速度均化的結果，而是包含了啟動、運行、關斷等響應全過程。假設當驅動信號周期數發生變化時，啟動后的轉速曲線是沿著同一軌跡逐漸延伸的。如圖1所示，將啟停過程轉速曲線以關斷點Ai為界分為啟動與關斷兩個階段，并定義Bi為關斷后電機運動的自鎖點。

圖1 不同周期數的速度曲線Fig.1 Speed curves under different period numbers

顯然，在不同的周期數條件下，啟動階段與關斷階段的速度函數可以分別表示為：

(4)

(5)

式中：ξs與ξp代表啟動階段與關斷階段的阻尼系數，ωs與ωpi則表征各自傳遞函數的諧振頻率，Ks與Kp為各自的增益系數。

此時可以采用面積包絡法計算位移增量，通過計算速度曲線與坐標軸的面積得到步進量Si，如式(6)所示：

(6)

式中:N為激勵波形的周期數，fs為激勵電壓的頻率，tp為最終的關斷時間。

3 高精度測試裝置

為了辨識超聲電機的速度模型，也為了能在控制中實現更高的速度位置分辨精度，本文在多參數綜合測控系統中的編碼器進行替換。所選用的編碼器為美國MicroE Systems公司的分立式增量編碼器，主要由光柵盤、讀數頭及細分電路構成，如圖2所示。其中，光柵刻線數為16384(214)，即物理細分為14位，而細分電路模塊對讀數頭輸出的脈沖信號進行1 024(210)的細分處理，即電氣細分為10位。兩者綜合后編碼器的整體分辨位數為24位，檢測分辨率為0.375 μrad，能夠滿足超聲電機高精度控制的反饋與評估需求。所采用的電機為新研的PMR60-PI1電機，集成了新型壓電陶瓷與摩擦功能材料，具有較好的工作穩定性。

圖2 高精度編碼器組成Fig.2 Composition of high-precision encoder

4 模型辨識及控制實驗

為了實現電機的高精度速度與位置控制，對模型中的待定參數進行辨識和分析，進而提出有針對性的高平穩性速度控制策略與高分辨率位置控制策略。

4.1 高平穩性速度控制

4.1.1 連續運動多參數模型辨識

在多參數模型辨識環節，設定電壓幅值為[200 V,260 V]，頻率測試區間為[42 kHz ,44 kHz]，在相應的幅值與頻率作用下，求取電機運行10 s后的平均速度，得到的穩態速度點如圖3所示。

圖3 幅值-頻率-速度關系的三維曲面Fig.3 Three-dimensional speed curves under different amplitudes and frequencies

按照線性關系與指數關系相乘的表達式，利用Levenbert-Maquetety規則下的非線性最小二乘算法對數據進行擬合，得到的綜合模型為：

νr(u,f)=(9.39u+10.29 )e(58.16 -1.411f).

(7)

在辨識分析系統動態部分時，以幅值為輸入，速度為輸出，掃頻區間為0.1～200 Hz，得到如圖4所示的幅頻與相頻曲線。可以看出，不同驅動參數歸一化后的掃頻曲線吻合度比較好，可以統一用一種傳遞函數進行表征。

圖4 不同驅動參數的幅值掃頻曲線Fig.4 Amplitude sweeping curves under different driving parameters

運用最小二乘算法對圖4中歸一化后的掃頻模型進行辨識，參數速度模型的動態部分可以表示為:

H(s)=

(8)

結合上述穩態部分與動態部分，在Simulink上建立起如圖5所示的超聲電機多參數調速模型。

圖5 多參數調速模型Fig.5 Multi-parameter speed model

4.1.2 雙環復合速度控制策略

4.1.2.1 仿真分析

圖6 速度平穩性控制框圖Fig.6 Control diagram of speed stability

從控制框圖上看，單一速度環控制時速度誤差的表達式為：

(9)

而采用“位置環+速度環”雙環控制所獲得的速度誤差表達式為:

(10)

因而兩個誤差的比值為:

(11)

如果在實施時，通過調節能控制:

(12)

當速度指令為72 (°)/s時，設計速度環PI控制器的參數Kp=2，Ki=150，位置環PI控制器的參數為Kp=70，Ki=1。通過仿真獲得式(11)誤差傳遞函數的波特圖，如圖7所示。結果證實了當電機的速度波動處于10 Hz的頻帶內，所提出的雙環控制器都能有效補償波動影響，在仿真條件下能夠獲得優于單環控制的效果。

圖7 誤差比值掃頻曲線Fig.7 Sweeping curves with error ratio of different period numbers

從圖7可以看出，雙環控制能夠獲得比單環控制更小的穩態誤差。這是由于雙環控制既能夠得到更高的幅值及相位裕度，也可以充分發揮超聲電機快速定位的優勢，使得速度環控制后的殘差在位置環內進一步得到消除，從而提升整體的速度控制精度。

4.1.2.2 實驗結果

與仿真相似，當速度指令為72 (°)/s時，通過調節，設計速度環PI控制器的參數Kp=2，Ki=150，位置環PI控制器的參數Kp=70，Ki=1。通過實驗，將單速度環控制與雙環復合控制的速度控制效果進行比較(圖8)，可以發現雙環復合控制的控制誤差(0.44%)約為單速度環控制誤差(0.89%)的一半，說明雙環復合的方法能夠進一步補償速度環的殘差。

圖8 速度平穩性控制對比Fig.8 Block diagram of performance evaluation

將雙環復合的控制策略應用到40,50,60,70 (°)/s的恒速控制中，結果如圖9所示。由圖可知，每組控制后上升時間約為22 ms，速度穩定度均低于0.44%。

圖9 速度平穩性控制效果Fig.9 Control results of speed stability

4.2 步進運動位置控制

通過驅動電源對超聲電機實施控制，即由驅動電源的通、斷，使電機產生間歇性的起、停動作而實現步進運動[18]。為了獲得不同參數條件下的步進運動規律，測試了不同周期數的轉速響應曲線，進而提出步進量的預測與控制模型。

4.2.1 步進量模型辨識

為了得到步進量預測的穩定區間，測試了不同周期數的轉速曲線，如圖10所示。可以看出，周期數較少的啟動曲線與周期數較多的啟動曲線部分重疊，表明了相同激勵參數條件下的電機啟動過程呈現較好的可重復性，而從關斷后過零部分的速度響應看，不同周期數的關斷曲線也表現出了相似的振蕩特征。

圖10 不同周期數的啟停速度響應曲線Fig.10 Startup-stopping speed response under different period numbers

結合圖1與式(4)，對速度響應曲線進行分段二階函數的辨識。首先是啟動段，通過辨識可以得到的啟動階段的傳遞函數Gs為：

(13)

其次是關斷段速度傳遞函數的辨識，圖11為辨識得到的關斷段的增益、阻尼系數、固有頻率以及每一個周期數下的關斷點速度。

辨識結果表明，周期數小于10時模型參數的變化趨勢相對穩定，這是由于周期數在[1,10]之內時，速度仍處于上升的初始階段，未到達階躍響應的上升節點，即穩態速度的0.707，沒有突破彈性波動的極限，因此斷電后的回復過程相對比較接近，綜合曲線后確定關斷過程阻尼系數在0.012，自然頻率為4 200 rad/s。對辨識后的參數與關斷點速度之間的關系進一步進行探索，如圖12所示，模型增益與關斷點轉速成正比，且比例系數為0.197。根據上述分析，建立了如式(14)所示的關斷速度的傳遞函數，該表達式將關斷過程的傳遞函數與關斷點的速度相互關聯，從而實現了啟動段與關斷段的銜接。

圖11 辨識得到的關斷階段的模型參數Fig.11 Identified parameters of stopping process

圖12 5Kp/vstop與之間的數值關系Fig.12 Relationship between 5Kp/vstop and

(14)

聯合關斷點前后的辨識結果，通過式(5)進一步獲得不同周期數的步進位移增量，和實驗結果對比(圖13)發現，辨識結果吻合度在85%以上，并且具有較好的一致性，說明所提出的兩階段二階模型能夠有效地預測超聲電機周期數在10以內的步進運動規律。

圖13 不同周期數的擬合結果Fig.13 Fitting results under different period numbers

4.2.2 高分辨率步進運動

依據步進量預測模型，控制激勵電壓幅值和頻率分別為200 V和43 kHz，在周期數區間[1,10]內尋找運行穩定且定位可靠的參數使電機實現開環狀態下的微步進運動。圖14為周期數為2.1的步進曲線，由圖可知，通過周期數的控制實現了3.3 μrad的步進量。從位移響應上看，不同時間片的運動在啟動階段的瞬時響應上存在一定的差異，有些階段的超調量大，有些階段的超調量小，但是在穩定階段的表現則比較接近。

圖14 施加周期數調控后的步進結果Fig.14 Stepwise curves under adjustment of period number

通過不同周期數步進狀態的分析與整合，對超聲電機所能達到的極限步進分辨率進行測試。設置驅動幅值為178 V，驅動頻率為44.6 kHz，周期數為4.7，可以得到如圖15所示的步進運動結果。由圖可知，超聲電機的步進運動可以達到現有編碼器的極限分辨率，即0.375 μrad。

圖15 開環步進位移曲線Fig.15 Open-loop stepwise position curve

4.2.3 角度定位控制

在傳統的位置閉環控制中，當實際位置超過期望值需要解決速度換向時的突變問題,在增加控制系統復雜性的同時也會影響最終的位置精度。為解決這一問題，設計了一種分段逼近的控制方法。為了實現全局范圍內的穩定運動，在以幅值為變化量，保持頻率為44 kHz的基礎上，具體的分段控制方法如下：當實際位置與指令位置之差大于10°時，速度指令為50 (°)/s；當差值大于5°小于10°時，速度指令為20 (°)/s；當差值大于0.1°小于5°時，速度指令為10 (°)/s；差值達到0.1°時，斷開其中速度環，同時切換到步進運動模式，整個定位調整時間不超過1 s。

(15)

圖16 電機定位控制效果Fig.16 Positioning control performances

5 結 論

針對超聲電機不同的控制模式，本文提出了針對性的控制策略,在穩速控制上建立并辨識了多參數調速模型，采用“速度環+位置環”的雙環控制策略使速度穩定性達到0.44%；在步進運動控制上，通過驅動參數調控與周期數控制實現了0.375 μrad的位置分辨率；在角度定位控制上，通過逐步逼近方法達到了1.7 μrad的定位精度。

本文充分發揮超聲電機響應快，可定脈沖控制的優點，提出了有針對性的速度穩定性與位置分辨率控制策略，不僅能夠保證控制精度，也能有效簡化控制結構，對于推進壓電驅動功能部件在高端裝備的應用具有積極意義。