巧消元，妙運算

李月明

摘 要：解二元一次方程組的基本思想就是“消元”，把二元方程轉化為一元方程，將未知數的個數由多化少，逐一解決。代入消元法和加減消元法是解二元一次方程組的基本方法。在解答與二元一次方程組有關的計算過程中，許多學生往往只生硬地套用兩種基本方法，解題過程繁冗而準確率低。一些實際問題中，可以根據具體特點選擇適當的方法，巧妙靈活地消元，求出二元一次方程組的解，促進運算的準確度和速度。

關鍵詞：消元 整體換元 等量轉化 運算

一、狀況分析

學生已完成代入消元法和加減消元法兩種解二元一次方程組的基本方法，并會熟練解答一些簡單的二元一次方程組。

但當教師出示例1：解二元一次方程組

學生花了大量時間，解答情況如圖表1：

圖表說明：

A：不會解答;

B：只會化簡②式;

C：能化簡兩式，但計算錯誤;

D：通過大量化簡，成功解題。

通過統計發現，大部分學生面對題目，沒有經過觀察、思考，就盲目地循著基本套路走。顯然，由于前置知識的扎實程度、知識之間的應用遷移能力和有效計算能力等因素的影響，大部分學生難以勝任此類問題。^[1]

根據課題組的研究，為提高學生計算能力，僅有兩種基本方法不夠，后面的教學需立足實驗班學生的實際學習能力，適當地進行一些簡便方法的補充，引導學生靈活、巧妙地消元，減少運算過程的障礙，以期快速、準確完成二元一次方程組的計算。^[2]

二、方法拓展

本次課題的實驗班是平行班，學生普遍在小學升上初中時，數學學習基礎薄弱，計算能力欠缺，計算出錯率高，故本次補充的內容緊緊依托學生現有水平進行適度拓展。

1.仔細觀察，整體換元

[方法分析]通過觀察兩個方程的特點，有共性：，用整體換元法解方程組可化繁為簡，避開去分母、去括號、移項、合并同類項等整理方程的復雜程序，大量減少運算量，還可快速、精準地求出方程組的解，尤其減輕計算能力薄弱學生的心理負擔，增強其自信運算，能學好數學的信心。

2.善于比較，等量轉化

例2：解二元一次方程組

要解這道二元一次方程組，若先化簡，再用代入消元法或加減消元法，則計算容量較大，特別是約公分母，往往是學生容易出錯的高難區，學生感覺非常吃力。

通過比較方程組中兩個二元一次方程的結構，不難發現，把任意一個方程中的兩個未知數互換位置，恰好得到另一個方程。不難驗證，有。這時，可把方程組的求解轉化為取原方程組中任意一個方程與聯立的方程組，其解即為原方程組的解。

解： 由題意可知，原方程組與以下方程組的解相同

[方法分析]通過比較兩個方程的結構，挖掘方程組中未知數的本質，其含有恒等量關系：，運用等量轉化法使問題的解決直觀、有明晰的方向，方法靈活，激發學生積極參與運算問題的興趣，潛移默化地幫助學生養成比較，轉化的數學思考習慣。

三、學習效果

在課題組的精心研究下，補充了整體換元和等量轉化的方法，使學生學會分析具體問題的特點，巧妙消元，高效解決問題。并以當堂檢測檢驗學生的學習效果。

[當堂檢測]若方程組的解、滿足，則的值是多少？

通過限時訓練，學生基本能自主解決，大致有以下的一些解法：

[解法一]把k看作常數，運用基本的代入消元法或加減消元法，求出用含的代數式來表示和，，，代入，即可求出k=6。

[解法二]通過觀察方程的共性，運用整體思想，

從圖表明顯地看到，通過方法拓展，精簡了過程的運算，很大一部分畏懼計算的同學變得有信心，敢于動手，嘗試巧妙方法并正確運算;大多數學生更傾向整體換元，因其整體性，有效化繁為簡，使計算更快更精準，提高了他們的計算能力，同時滲透了整體思想，促進學生思維品質再上一個臺階。

總之，在解決二元一次方程組相關問題時，要仔細觀察，善于比較，靈活地選用恰當的的方法，精準快速地解決問題。特別是在某些特定的情況下，選用整體換元和等量轉化的思想和方法，問題的解決更能起到事倍功半的效果。

參考文獻

[1]綦春霞.中學數學課程標準與內容分析[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[2]余文森.核心素養導向的課堂教學[M].上海：上海教育出版社，2017.