“數形結合”求二次函數最值

康葉紅

“以形助數”“以數解形”，使復雜問題簡單化，是數學的規律性和靈活性的有機結合。我們從形的直觀和數的嚴謹兩方面思考問題，便拓寬了解題思路，使問題得以更快解決。

原題呈現 蘇科版《數學》九年級下冊第17頁例題：

畫出二次函數y=-x²-4x-5的圖像，并指出它的開口方向、頂點坐標、對稱軸、最大值或最小值。

【解析】本題考查的是二次函數的圖像和性質。想要畫出二次函數y=-x²-4x-5的圖像，可先將函數表達式變形為y=a（x-h）²+k的形式。結合圖像，得出二次函數的圖像特征和函數最值。

二次項系數a=-1<0，函黝圖像開口向下，頂點坐標是（-2，-1）對稱軸是直線x=-2。

二次函數y=-x²-4x-5的圖像如圖1所示。

當x=-2時，y的值最大，最大值是一1。

【總結】借助函數圖像上點的位置的“直觀變化”，結合函數表達式確定的“數量變化”，可求二次函數的最大值和最小值。

因此，歸納如下：

二次函數y=ax²+bx+c的圖像是一條

繼續思考

【變式一】已知二次函數y=-x²-4x-5，當-3≤x≤0時，求函數的最大值和最小值。

【解析】由例題可知：y=-x²-4x-5=（x+2）²-1。與例題不同的是，自變量x的取值范圍：例題中x可取一切實數，但在變式一中，x的取值范圍是-3≤x≤0，即原來二次函數y=-x²-4x-5的圖像的一部分。畫出圖像，直觀判斷，從而求出最值。

解：y=-x²-4x-5=-（x+2）²-1。

二次項系數a=-1<0，函數圖像開口向下，頂點坐標是（-2，-1），對稱軸是直線x=-2。

當-3≤x≤0時，二次函數y=-x²-4x-5的圖像如圖2所示。

觀察圖像可知：當x=0時，y的值最小，y_最小值=-5;當x=-2時，y的值最大，y最大值=-1。

【變式二】已知二次函數y=x²-2x-3，當-1/2≤x≤3/2時，求函數的最大值和最小值。

【解析】此問題是求二次函數y=x2²-2x-3的最值，但自變量x的取值范圍是-1/2≤x≤3/2。畫出二次函數的圖像并觀察，我們不難發現最值與x的取值范圍有關。如圖3，當-1/2≤x≤1時，y隨x的增大而減小，當1≤x≤3/2時，y隨x的增大而增大?！?br>