數形結合 自然生成

劉佳

數與形，是數學研究的兩個最基本的對象，數是形的抽象概括，形是數的直觀表達。我們把數量關系和空間形式結合起來研究數學問題的方法叫做數形結合。很多問題，僅從代數角度考慮，很難人手，如果借助圖像的直觀性將抽象的數學概念、復雜的數量關系具體化、形象化，給人以直觀的感受，那么很多難題都將迎刃而解。

在一次函數的學習中，這種根據函數圖像的性質和圖像中特殊點來解決代數問題的應用非常廣泛。我們通過解決“一元一次方程kx+b=0（k≠0）的根和一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸交點的關系”“一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與一元一次不等式kx+b>0或kx+b<0，或kx+b≥0等）的解集關系”“兩個一次函數在有交點的情況下比較兩個函數值的大小關系”等諸如此類的問題，逐步體會用數形結合的思想來解決數學問題的便捷性。

一次函數是初中數學的一個重點，數形結合思想在一次函數中的應用也是中考命題的一個熱點。本文結合2019年南京市中考數學試卷第23題，談一談數形結合思想在實際解題中的應用。

例（2019江蘇南京）已知一次函數y₁=kx+2（k為常數，k≠0）y₂=x-3。

（1）當k=-2時，若y₁>y₂，求x的取值范圍。

（2）當x<1時，y₁>y₂。結合圖像，直接寫出k的取值范圍。

【分析】本題考查了一次函數的圖像和性質，一次函數與一元一次不等式、一元一次方程之間的關系，一次函數圖像與k，b值之間的關系等。

問題（1）可用代入法并建立不等式解答，也可利用函數圖像解答。

問題（2）關鍵是隨著k值的變化，熟悉y=kx（k≠0），y=kx+b（k≠0）函數圖像的變化規律，即“實踐操作經驗”。

當k>0時，隨著k值的逐漸增大，y=kx（k≠0）位于第一象限的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大，并且向y軸無限接近，可看成其圖像繞原點作逆時針旋轉;當k<0時，隨著k值的逐漸增大，y=kx（k≠0）位于第二象限的圖像與x軸正方向的夾角遂漸增大，并且向x軸無限寒近，也可看成其圖像繞原點作逆時針旋轉。

y=kx+b（k≠0）的圖像可看作是把y=kx（k≠0）的圖像沿y軸平移|b|單位后所得，隨著k值的逐漸增大，其圖像的變化與y=kx（k≠0）的圖像類似：當k>0時，隨著k值的逐漸增大，y=kx+b（k≠0）位觴x？軸上方的圖……