優(yōu)化設(shè)計，提升推理能力

姚園

摘要：推理能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)十大核心素養(yǎng)之一，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的能力之一。本文從日常教學(xué)中的問題出發(fā)，通過設(shè)計和實(shí)踐教學(xué)過程，得出了幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，以期培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)? ?三角形? ?三邊關(guān)系? ?推理能力

一、緣起：尋找瓶頸，落實(shí)推理

《三角形三邊關(guān)系》屬于空間與圖形范疇的內(nèi)容，它建立在學(xué)生初步認(rèn)識角、認(rèn)識三角形的基礎(chǔ)上。要想提高《三角形三邊關(guān)系》的教學(xué)效率，教師必須有效解決以下四個問題：①給學(xué)生一些線段，學(xué)生能從中選取合適的線段圍成三角形嗎？②圍成或圍不成三角形的關(guān)鍵在哪里？教師提供的材料會影響學(xué)生操作或者結(jié)論的產(chǎn)生嗎？③這些問題的思考是停留在操作層面，還是在操作中需要學(xué)生具備一定的推理能力？④如何在教學(xué)環(huán)節(jié)落實(shí)發(fā)展學(xué)生推理能力的目標(biāo)？

基于以上四個問題，筆者設(shè)計和實(shí)踐了《三角形三邊關(guān)系》的問題情境與練習(xí)，并論述了實(shí)踐后的反思與思考。

二、踐行：追根漣源，落地抓手

筆者對《三角形三邊關(guān)系》的教學(xué)進(jìn)行了如下設(shè)計與實(shí)踐：

1.復(fù)習(xí)引入，埋下推理的種子

筆者提出問題：“如圖1所示，判斷下面哪些圖形是三角形，并說明理由？思考是不是任意的三條線段都能圍城一個三角形？”

在本環(huán)節(jié)中，筆者選取了最常見的一種導(dǎo)入方式——復(fù)習(xí)引入，讓學(xué)生通過判斷圖中哪些是三角形，以此明確三角形有三條邊，且三角形是一個由三條線段圍成的封閉圖形，從而讓學(xué)生復(fù)習(xí)已有的知識，主動進(jìn)行思維活動。“是不是任意的三條線段都成圍成三角形呢？”這一問題不僅順勢引出了本節(jié)課的學(xué)習(xí)主題，還給學(xué)生埋下了推理的種子。

2.關(guān)系展開，促進(jìn)推理能力的發(fā)展

學(xué)生推理能力的形成是一個緩慢的過程，它必須通過整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動才能形成。

（1）情境設(shè)計，搭建推理平臺

本案例中，筆者為每個學(xué)生提供了4根長短不一的小棒，分別為4厘米、5厘米、6厘米、10厘米，讓學(xué)生任意取3根，開展圍三角形的實(shí)驗(yàn)，為學(xué)生后續(xù)的推理搭建平臺。同時，筆者還設(shè)計了“每次都能圍成三角形嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？”等問題情境，明確告知學(xué)生需要做什么，該怎么做。這樣一來，學(xué)生能在更加自由廣闊的空間中合作、探究和發(fā)現(xiàn)。除此之外，筆者還提供了4根小棒讓學(xué)生展開圍三角形的實(shí)驗(yàn)。一方面，讓學(xué)生明確三角形是一個由三條邊圍成的封閉圖形，重溫了三角形的特征知識;另一方面，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、激疑、觀察、合作交流、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，發(fā)現(xiàn)并不是任意的三根小棒都可以圍成三角形（如表1所示），三角形的三邊具有特定關(guān)系。由此可見，問題的設(shè)計起到了知識點(diǎn)間承前啟后的作用，使得推理有根可尋。

（2）分析特例，提供推理依據(jù)

在學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)后，筆者問學(xué)生：“第二組確定不能圍成三角形嗎？”

學(xué)生1說：“我把兩條邊往下壓，兩條邊越來越接近，最后在很低的時候接上了。”

筆者接著問：“那是圍成了三角形，還是沒有圍成三角形呢？”

學(xué)生2說：“我反對。一直把兩條邊往下壓，兩條邊越來越接近，直到最后是三條邊重合在了一起，而不是圍成三角形。”

學(xué)生3說：“這樣不能圍成三角形，因?yàn)?+6=10，最終只能重合。”

筆者最后問：“通過實(shí)驗(yàn)，你們得出了什么結(jié)論？”

學(xué)生齊聲回答：“兩邊之和等于第三邊不能圍成三角形。”

針對第二組的結(jié)論，學(xué)生分歧很大，部分學(xué)生認(rèn)為可以圍成三角形，部分學(xué)生認(rèn)為不能圍成三角形。于是，筆者讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并交流，一步步引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)和解決問題。當(dāng)兩根小棒之和等于第三邊時，實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)的結(jié)果不是很明確，所以筆者繼續(xù)追問學(xué)生，使得學(xué)生不斷在圍成與圍不成三角形中進(jìn)行操作與推理，最終得出正確的結(jié)論。

筆者繼續(xù)問學(xué)生：“第四組真的不可以圍成三角形嗎？”

學(xué)生1回答：“我把4和5的兩條邊不斷往下壓，發(fā)現(xiàn)兩條邊越來越靠近，但是直到平行還是會有一個缺口，所以圍不成三角形。”

學(xué)生2回答：“4+5=9，兩條短邊加起來比10小，所以永遠(yuǎn)不可能圍成三角形。”

筆者說：“通過這組實(shí)驗(yàn)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？”

學(xué)生3回答：“當(dāng)兩短邊之和小于第三邊，不能圍成三角形。”

這一組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果很一致，學(xué)生通過操作后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)短的兩根小棒之和都不及一根長的小棒時，那么這三根小棒是不可能圍成三角形的。在這一環(huán)節(jié)的交流過程中，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、觀察和驗(yàn)證，自然而然地得到了結(jié)論。

（3）猜測結(jié)論，指明推理方向

學(xué)生通過分析四組實(shí)驗(yàn)的情況，尤其是分析兩個反例后，借助前面已有的結(jié)論與經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有目的地猜測（合情推理），得到一個結(jié)論。推理是建立在大膽的猜想之上的，所以筆者鼓勵學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、歸納等方法大膽提出猜想，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，學(xué)會了探求知識的方法。

（4）驗(yàn)證數(shù)據(jù)，證明推理結(jié)果

最后，筆者問學(xué)生：“請你們觀察一下，任意兩條邊之和大于第三條邊就能圍成三角形嗎？”

學(xué)生1回答：“這個說法不對，第二組中4+10>6，可是這三根小棒不能圍成三角形。”

學(xué)生2回答：“是的，第四組中4+10>5，也圍不成三角形。”

筆者問：“那么到底什么情況下才可以圍成三角形呢？”

學(xué)生3回答：“我發(fā)現(xiàn)了，只要加上任意兩字就可以了。你看第一組中4+5>6，5+6>4，4+6>5。”

筆者問：“你們能得出結(jié)論嗎？”

學(xué)生齊聲回答：“任意兩邊之和大于第三條邊才能圍成三角形。”

學(xué)生4說：“我有補(bǔ)充，只要兩條短邊的和大于第三邊就行了。”

學(xué)生從已有的事實(shí)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)在圍不成三角形的實(shí)驗(yàn)中，仍然存在兩邊之和大于第三邊的情況，所以結(jié)論其實(shí)是不正確。隨即，筆者提出質(zhì)疑：“到底三角形的三邊有何關(guān)系？”伴隨著猜測，學(xué)生通過事實(shí)數(shù)據(jù)得到了證實(shí)，進(jìn)一步完善了第一猜測的結(jié)論。這樣一來，學(xué)生用已有實(shí)驗(yàn)的結(jié)果事實(shí)推翻了前一次的猜測結(jié)論，然后又大膽進(jìn)行第二次猜測，再一次得到證實(shí)，合情推理與演繹推理完美結(jié)合，兩者相輔相成。

3.分層練習(xí)，助力推理能力的提升

練習(xí)不僅能鞏固所學(xué)知識，還能升華知識。因此，筆者設(shè)計了鞏固型、拓展型、應(yīng)用型三個層次的練習(xí)。

（1）鞏固型

筆者設(shè)計了這樣一道目：下面四組線段能圍成三角形嗎？（單位：厘米）

①4，9，5;②8，7，6;③3，10，5;④6，7，10。

通過出示四組數(shù)據(jù)的線段，筆者讓學(xué)生判斷它們能否擺成三角形，并給出合理的解釋，從而簡單鞏固與應(yīng)用三角形三邊關(guān)系的特征，提高學(xué)生的推理能力。

（2）拓展型

筆者設(shè)計了這樣一道題目：已知兩條線段的長度分別為4厘米與9厘米。①另有長度分別為5厘米、6厘米、7厘米、13厘米的線段，能與前兩條線段組成三角形的線段有哪幾條？②第三條線段還可以是哪些長度（取整理米數(shù)），它最長是多少厘米？最短是多少厘米？

在解答這道題目時，學(xué)生需要逆向思維，所以筆者把問題分為兩個小問題，讓學(xué)生利用已有的知識（三角形任意兩邊之和大于第三邊）進(jìn)行演繹推理，選取合適的第三條邊。在解答第二個小問題時，學(xué)生在深刻體會兩短邊之和大于第三邊的規(guī)律后，發(fā)現(xiàn)要保證圍成三角形，除了兩邊之和要有關(guān)系，兩邊之差也同樣存在關(guān)系，從而得出三角形中兩邊之差必定小于第三邊的結(jié)論。

（3）應(yīng)用型

如圖2所示，這道練習(xí)題的設(shè)定，一方面，能讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)結(jié)論不僅可以解決數(shù)學(xué)問題，還能解決生活問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為培養(yǎng)學(xué)生推理能力打下良好的基礎(chǔ);另一方面，學(xué)生通過已有的知識又推理出了一個新的結(jié)論，即兩點(diǎn)間直線段最短。

三、啟迪：形成策略，提升學(xué)力

《小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。”那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力呢？

1.還原數(shù)學(xué)的思考，提供推理平臺

“三角形任意兩邊之和大于第三邊”是個事實(shí)性結(jié)論，學(xué)生接受起來十分容易。但他們常常難以洞悉結(jié)論背后隱藏的思考，如為什么三角形中任意兩邊的和會大于第三邊。因此在教學(xué)中，筆者花費(fèi)了大量時間讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)，觀察、猜想、證明這些過程，得出“任意兩邊之和大于第三邊就能圍成三角形”這個逆命題，從而理解原有的事實(shí)性結(jié)論。筆者認(rèn)為，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)努力還原數(shù)學(xué)的思考過程，無論是計算方法的獲得、規(guī)律公式的應(yīng)用，還是問題的解決，教師應(yīng)多提出諸如“為什么”“你是怎么想的”等問題，鼓勵學(xué)生從數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、意義上出發(fā)進(jìn)行推理，以獲取方法的總結(jié)或結(jié)論的成立。

2.外化推理的過程，培養(yǎng)推理能力

簡單而言，推理的目的是為了證實(shí)結(jié)論。但是，在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的過程中往往存在一些問題。第一，在引領(lǐng)學(xué)生推理時，教師重視結(jié)論、輕視推理的過程;第二，學(xué)生的推理過程比較內(nèi)隱，教師會忽視學(xué)生推理過程是否正確，導(dǎo)致學(xué)生的推理能力無法得到真正意義上的提高。因此，教師必須讓學(xué)生的推理過程外顯化。

在教學(xué)《三角形三邊關(guān)系》的過程中，筆者讓學(xué)生把圍三角形的操作結(jié)果記錄在表中，呈現(xiàn)出操作結(jié)果。然后，學(xué)生通過觀察，以及同學(xué)間的相互交流、師生的對話，分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并最終獲得結(jié)論。這樣，學(xué)生能學(xué)會用語言描述數(shù)學(xué)知識的形成過程，有利于學(xué)生的思維外化，也有利于教師有針對性地引導(dǎo)學(xué)生的推理過程、方法等，有效培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

3.積累活動的經(jīng)驗(yàn)，提升推理能力

經(jīng)驗(yàn)是個性化的產(chǎn)物，它看不見，也摸不著，但經(jīng)驗(yàn)的積累離不開個體的親身經(jīng)歷。在教學(xué)過程中，筆者讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生體會了探究新知識的樂趣，積累了數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，提升了數(shù)學(xué)推理能力，這也是實(shí)驗(yàn) 的教學(xué)價值。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師要讓學(xué)生多經(jīng)歷“猜想—證明”的問題探究過程。值得注意的是，在教學(xué)過程中，教師要處理好自身的進(jìn)退關(guān)系，關(guān)注學(xué)生的親身經(jīng)歷，鼓勵學(xué)生用合情推理進(jìn)行大膽推測，最后發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再用演繹推理證實(shí)結(jié)論，完成整個推理過程，進(jìn)而提高學(xué)生的推理能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]劉加霞.探究性教學(xué)要選擇“好素材”[J].教育大觀，2011，（23）.

（作者單位：杭州市賣魚橋小學(xué)）