一道流傳甚廣的錯題的研究

【摘要】在科技日益發達的今天，知識的傳播速度空前的迅猛，而一些錯題也在各大網絡和電子產品上快速的傳播，并通過終端流傳于各個學校之間，大多時候我們都只注重解題方法的實用性，忽略了題目本身的合理性和正確與否。稍有不慎這些題目就會出現在我們的身邊，躍然于我們的考試中，卻渾然不知。

【關鍵詞】錯題;網絡;傳播;學校;考試

【中圖分類號】G633.6;【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）07-0132-01

【例1】定義在R上的奇函數f（x）的導函數滿足f′（x）

【來源】山西三區八校2017屆高三第二次模擬數學（理）試題

【錯解1】因為f（x）·f（x+3）=-1，所以f（x）的周期為6;

因為f（2015）=f（-1）=-e，因為f（x）是奇函數，所以f（1）=e，

令g（x）=，則g′（x）=<0，即g（x）在R上單調遞減，且g（1）=1，f（x）1，故答案為（1，+∞）。

【錯解2】f（x）是定義在R上的奇函數？圯f（0）=0<1=e，故答案為{0}∪（1，+∞）。

【例2】定義在R上的奇函數f（x）的導函數滿足f ′（x）

【來源】（19年4月成都市郫都區高二期中考試第15題）;;;;【解】同上（此處略）

此兩題大同小異，本質一樣。在各地學校和網絡之間流傳。學科網，百度等皆可找到原題。而且目前主流的幾款搜題軟件（含作業幫、學霸君、小猿搜題）都能搜到本題及答案，解法基本一致，殊不知這是錯題。

以例1為例，在網絡及各類軟件的答案中，僅一個為【錯解2】的形式，其余均為【錯解1】。此函數作為周期函數，f（-6），f（-12），f（-18）……都為0，且都滿足不等式。那么{-6k}∪（1，+∞）其中k∈N，是否正確呢？答案是否定的，分析如下。

【錯因初探】（以例1為例）f（x）·f（x+3）=-1？圯T=6;;;

f′（x）>…

定義在R上的奇函數f（x）？圯f（0）=0？圯===…=0

顯然結論相互矛盾，由此可見，本題中的條件是互斥的。因此本題為錯題。

【錯因再探】將“定義在R上”刪去，上述答案是否正確呢？

由上面的分析可知，f（0）=0與單調條件矛盾，故f（0）≠0，又f（x）是奇函數，故0不在定義域中，則{-6k}其中k∈Z，都不在定義域中。

故，上述答案仍然錯誤。

分析：f（x）是奇函數，若？堝x0，f（x0）<0，則f（-x0）>0

又f（x）周期函數，則f（x0+kT）<0，f（-x0+kT）>0，其中k∈Z。

即，在定義域上f（x）函數值正負擺動，則g（x）=必然正負擺動。

即，g（x）=不可能是單調函數。

故f（x）≡0，這與f（x）·f（x+3）=-1，f（2015）=-e都矛盾。

綜上，奇函數條件，加周期條件，必然與f ′（x）

【錯因深究】將“定義在R上的奇函數”改為“定義在R上的偶函數”呢？

即偶函數條件，有周期，且f ′（x）

其實只需取f（x）=（cos（x）+2），經驗證，上述三個條件能成立。

只不過卻找不出原函數與條件“f（2015）=-e”同時滿足。

分析：f（2015）=-e<0，即f（2015+kT）=f（2015）<0，其中T為最小正周期。

∴g（2015）=<·=g（2015+T）<0

故，與g（x）=單調遞減沖突，即與f ′（x）

【錯誤根源】“偶函數”條件下，再將條件“f（2015）=-e”改為“f（2015）=e”呢？

分析：f（x）·f（x+3）=-1，則必？堝x0，f（x0）<0，即f（x0+kT）=f（x0）<0

也有g（x0）=<·=g（x0+T），故沖突。

結論：綜上所述，一切都是負值惹的禍，負值是矛盾產生的根源。

奇函數隱含正負，故原題矛盾。f（2015）=-e為負，故改編矛盾。

f（x）·f（x+3）=-1也有隱含正負值，故上述改編仍然矛盾。

【試題改編】由上文中的結論，此題有三個隱含負值的條件，改編方案如下：

①將條件“R上的奇函數”改為“R上的偶函數”

②將條件“f（2015）=-e”改為“f（2015）=e”

③將條件“f（x）·f（x+3）=-1”改為“f（x）·f（x+3）=1”，則原題可解。

【新編】定義在R上的偶函數f（x）的導函數滿足f ′（x）

【解】略。

【注】可以構造分段函數驗證本條件下確實存在函數滿足上述條件，過程略。

【新編】定義在R上的奇函數f（x）的導函數滿足f′（x）≤f（x），且f（x）=f（x+6），則不等式f（x）

【解】由以上的分析可知f（x）≡0，f（x）=0

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